【复习指导】2020年中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质练习含解析

第六章 圆
第26课时 圆的基本性质
基础过关
1. (2016济宁)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A. 40° B. 30
° C. 20° D. 15°
第1题图 第2题图
2. (2016张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
3. (2016自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是( )
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 75°
第3题图第4题图
4. (2016陕西)如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为( )
A. 3 3
B. 4 3
C. 5 3
D. 6 3
5. (2016毕节)如图，点A、B、C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝( )
A. 100°
B. 72°
C. 64°
D. 36°
第5题图第6题图
6. (2016聊城)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的
延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
7. (2016南宁)如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，
则∠P 的度数为( )
A. 140°
B. 70° C ．60° D. 40°
第7题图 第8题图
8. (2016泰安)如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF ⊥OC 交圆O
于点F ，则∠BAF 等于( )
A. 12.5°
B. 15°
C. 20°
D. 22.5°
9. (2016达州)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则
tan ∠OBC 为( )
A. 13
B. 2 2
C. 24
D. 223
第9题图第10题图
10. (2016杭州)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则( )
A. DE＝EB
B. 2DE＝EB
C. 3DE＝DO
D. DE＝OB
11. (2016黄冈)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝70°，AB＝AC，则∠ABC＝________．
第11题图第12题图
12. (2016娄底)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是________．
13. (2016贵阳)如图，已知⊙O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，则tan∠OPA的值是________．
第13题图 第14题图
14. (2016长春)如图，在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB ︵上一点，若∠OAB ＝25°，∠OCA ＝40°，则∠BOC
的大小为________度．
15. (2016永州)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB ＝40°，直径CD ∥AB ，连接AC ，
则∠BAC ＝________度．
第15题图第16题图
16.(2016南京二模)如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O上，若⊙O的半径为5，AB＝4，则AD的长为________．
17. (2016宁夏)已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝23，求CD的长．
第17题图
满分冲关
1. (2016泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则
该三角形的面积是( ) A. 38 B. 34 C. 24 D. 28
2. (2016安徽)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB
＝∠PBC .则线段CP 长的最小值为( ) A. 32 B. 2 C. 81313 D. 121313
第2题图第3题图
︵3. (2016海南)如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧ABC
上，AB＝8，BC＝3，则DP＝________．
4. (2016威海)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为____________．
第4题图第5题图
5. (2016雅安)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为________．
6. (2016株洲)已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝7AF，求证CF⊥AB.
第6题图
答案
基础过关
1. C 【解析】如解图，连接CO ，∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝1
2
×40°
＝20°.
第1题解图
2. D 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°
－60°＝30°.
3. C 【解析】∵∠C ＝∠AMD －∠A ＝30°，又∵∠C 与∠B 为同弧所对的圆周角，∴∠B ＝∠C ＝30°.
4. B 【解析】如解图，延长CO 交⊙O 于点A ′，连接A ′B .设∠BAC ＝α，则∠BOC ＝2∠BAC ＝2α，
∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.又∵∠BAC 和∠BA ′C 都为BC ︵
所对的圆周
角，∴∠BAC ＝∠BA ′C ＝60°.∵CA ′为直径，故∠A ′BC ＝90°，则在Rt △A ′BC 中，由勾股定理
得：BC ＝A ′C ·sin∠BA ′C ＝2×4×
3
2
＝4 3.
第4题解图
5. C 【解析】如解图，设OB 与AC 的交点为E ，∵∠A ＝36°，∴∠O ＝72°，∴∠AEB ＝∠OEC ＝
180°－72°－28°＝80°，∴∠B ＝180°－80°－36°＝64°.
第5题解图
6. B 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝105°，∴∠ADC ＝75°，∵¼»DF
BC ，∴∠DCF ＝∠BAC ＝25°，∴∠E ＝∠ADC －∠DCF ＝50°.
7. B 【解析】由题知，∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°， ∴∠DOE ＝360°
－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠P ＝12∠AOB ＝1
2
×140°＝70°.
8. B 【解析】如解图，∵四边形ABCO 是平行四边形，OA ＝OC ，∴四边形ABCO 是菱形，连接OB ，
则△OBC 和△OAB 是等边三角形，∴∠COB ＝∠AOB ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OF ⊥OC ，∴∠AOF ＝
30°，∴∠BOF ＝∠AOB －∠AOF ＝30°，根据圆周角定理得：∠BAF ＝1
2
∠BOF ＝15°.
第8题解图 第9题解图
9. C 【解析】如解图，设⊙A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，则∠OBC ＝∠ODC ，∴tan ∠OBC
＝tan ∠ODC ＝OC OD ＝2CD 2－OC 2＝262－2
2
＝2
4. 10. D 【解析】如解图，连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB ，∵∠AOB ＝∠OBE ＋∠ADB , ∠AOB ＝3∠ADB ，
∴∠OBE ＝ 2∠ADB ，∴∠OEB ＝2∠ADB ，∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ，∴∠D ＝∠DOE ，∴DE ＝OB ，D 选项
正确；若EB ＝OE ＝OB ，即△OBE 是等边三角形时，DE ＝EB 才成立，∴A 选项错误；若∠BOE ＝90°，
即△OBE 是等腰直角三角形时，BE ＝2OE ，则2DE ＝EB 才成立，所以B 选项错误；若OD ＝3OE ＝
3OB ，则3DE ＝DO 才成立，∴C 选项错误，故选D.
第10题解图
11. 35° 【解析】先根据“同弧所对圆周角是圆心角的一半”得∠BCA ＝1
2
∠AOB ，又∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠BCA ＝1
2
∠AOB ＝35°.
12. 平行 【解析】∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠D ＝∠C ，∴∠A
＋∠D ＝180°.∴AB ∥CD .
13.
5
3
【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵OA ＝OB ＝6 cm ，OM ⊥AB , ∴在等腰△OAB 中，BM ＝AB 2＝12
×8＝4 cm.∴在Rt △BOM 中，OM ＝62－4
2
＝2 5 cm.PM ＝BM ＋BP ＝6 cm ，∴在Rt △OPM 中，tan ∠OPA ＝OM PM ＝256＝5
3
.
第13题解图
14. 30 【解析】∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OAB ＝25°，∠OAC ＝∠OCA ＝40°，∴∠AOB ＝180°－
2×25°＝130°，∠AOC ＝180°－2×40°＝100°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝130°－100°＝30°.
15. 35 【解析】∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠B ，∵∠AOB ＝40°，∴∠B ＝70°，∵CO ∥AB ，∴∠B ＝
∠COB ＝70°，∴∠BAC ＝1
2
∠BOC ＝35°.
16. 6 【解析】如解图，连接OB ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，∠BAO ＝∠CDO ＝90°，∵OB ＝5，∴AO ＝52－42
＝3，同理可
得：DO ＝3，∴AD ＝3＋3＝6.
第16题解图
17. (1)证明：∵ED ＝EC ，
∴∠EDC ＝∠C ，
∵四边形ABED 是⊙O 的内接四边形，
∴∠B ＋∠EDA ＝180°，
又∵∠EDA ＋∠EDC ＝180°，
∴∠EDC ＝∠B ，
∴∠B ＝∠C ，
∴AB ＝AC ；
(2)解：如解图，连接AE ，
第17题解图
∵AB 为直径，
∴AE ⊥BC ，
由(1)知AB ＝AC ，
∴BE ＝CE ＝1
2
BC ＝3，
∵∠B ＝∠C ，∠C ＝∠CDE ，
∴∠B ＝∠CDE ，
∴△CED ∽△CAB ，
∴
CE CA ＝CD CB
， 即CE ·CB ＝CD ·CA ，
又∵AC ＝AB ＝4，
∴3·23＝4CD ，
∴CD ＝32
.
满分冲关
1. D 【解析】半径为1的圆内接正三角形的边心距为12，内接正方形的边心距为2
2
，内接正六边
形的边心距为
32，由12、22和32为边组成三角形时，由(12)2＋(22)2＝(32
)2
可得该三角形是直角三角形，所以该三角形的面积为12×22×12＝2
8
.
2. B 【解析】如解图，∵∠PAB ＝∠PBC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，
∴点P 始终在以AB 的中点O 为圆心，OA ＝OB ＝OP ＝1
2
AB ＝3为半径的圆上，由解图知，只有当点P
在OC 与⊙O 的交点处时， PC 的长最小，即为P ′C .在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝32＋42
＝5，
∴P ′C ＝OC －OP ′＝5－3＝2，∴线段CP 长的最小值为2.
第2题解图
3. 5.5 【解析】∵AB 和DE 都是⊙O 的直径，∴OA ＝OB ＝OD ＝4，∠C ＝90°，又∵DE ⊥AC ，∴OP
∥BC ，∴△AOP ∽△ABC ，∴
OP BC ＝AO AB ，即OP 3＝4
8
，∴OP ＝1.5.∴DP ＝OP ＋OD ＝5.5. 4. 2 6 【解析】如解图，连接AC 、OF ，正方形ABCD 的边长为4，AC ＝42＋42
＝42，即直径是
42，∴半径OF ＝2 2.过点O 作OM ⊥EF ，∵△FGE 是等边三角形，∴FG ＝FE ，又∵OF 过圆心，∴
OF 平分∠GFE ，∴∠OFM ＝12∠GFE ＝12×60°＝30°， ∴OM ＝12OF ＝12
×22＝2(在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∴MF ＝OF 2－OM 2＝（22）2－（2）2
＝6，∴EF ＝2MF
＝26，∴正三角形EFG 的边长是2 6.
第4题解图 第5题解图
5. 8 【解析】连接AD ，如解图，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴OD 是
△ABC 的中位线，∴DO ＝1
2
AC ，点M 是BE 的中点．∴MD 是△BCE 的中位线，∴CE ＝2MD ＝4，∵AC ＝
10，∴AE＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝AB2－AE2＝102－62＝8.
6. (1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠EFA＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠AEF＝∠CED＝60°，AC⊥DB，
∴∠FDB＝30°，
∴∠FBD＝∠FDB，
∴FB＝FD，
∴△DFB是等腰三角形；
(2)解：设AF＝a，
则AD＝7a，
连接OC，如解图，则△AOC是等边三角形，
第6题解图
由题意得，BF ＝2－a ＝DF ，
∴DE ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，
在Rt △ADC 中，DC ()271a -271a - 在△DCE 中，tan30°＝CE DC ＝271a -＝3
3，
解得，a ＝－2(舍去)或a ＝1
2，
在△AOC 中，OA ＝1，
∴AF ＝1
2＝1
2OA ，
则根据等边三角形的性质可得CF ⊥OA ， 即CF ⊥AB .。