广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中高三上学期联考数学理试题

南宁三中、柳铁一中、玉林高中2015～2016学年度上学期高三联考
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题.每题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．假如集合{}
|520M x y x ==-，集合{}3|log N x y x ==则M N =（ ）
A ．{}|04x x <<
B ．{}|4x x ≥
C ．{}|04x x <≤
D ．{}|04x x ≤≤
2．己知2(,)a i
b i a b R i
+=+∈．其中i 为虚数单位，则a b -=（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．-3
3．已知等差数列{}n a 满足：33,13133==a a ，求7a （ ）
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >0，0，x ＝0，
－1，x <0，
g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，x 为有理数，
0，x 为无理数，则g(f (π))的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．π
5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．
10
3
B ．4
C ．
16
3
D ．6
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知22
11(2)5x y -+=，22240x y -+=，
则22
1212()()x x y y -+-的最小值为（ ）
A ．
55
B ．
1
5 C ．
121
5
D ．
115
5
7．右图是一个算法的流程图，则最后输出的（ ） A ．6 B ．-6 C ．9 D ．-9
8．定义运算a ⊕b =⎩⎨
⎧>≤)
()
(b a b b a a ，则函数()1f x =⊕2x 的图象是（ ）
9．若某几何体的三视图如下图，则此几何体的外接球表面积等
于（ ）
A ．75
2
π
B ．30π
C ．43π
D ．15π
10．26
1(2)(1)x x
+-求的展开式的常数项是（ ）
A ． 15
B ． -15
C ．17
D ．-17
11．已知21F F 、 是双曲线22
221x y a b
-= (00a b >>， )的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对
称点恰好落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ． 3
C ．2
D ． 2
12．函数f(x)=1,1,
11,1,2x a x x -=⎧⎪⎨⎛⎫+≠⎪ ⎪⎝⎭
⎩若关于x 的方程2
2()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的
实数解12345,,,,x x x x x 求12345x x x x x ++++=（ ）
A ．3
B ．5
C ．3a
D ．5 a
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两局部。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每题5分。

13．已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且a b ⊥，则实数m 的值为
14．双曲线
19252
2=-+-k
y k x 的焦距为 15．设 ,x y 满足约束条件30
02x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
,则
22x y + 的最大值为 ．
16．已知数列{}n a 是递减数列，且对任意的正整数n ，2
n a n n λ=-+恒成立，则实数λ的取值
范围为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（此题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，已知b =2，5
4cos =
A （1）若△ABC 的面积S=3，求a ；
（2）若△ABC 是直角三角形，求a 与c 18．（此题满分12分） 某校50名学生参加2015年全国数学联赛初
赛，成绩全部介于90分到140分之间．将成绩结果按如下方式
分成五组：第一组[)100,90，第二组[)110,100，…，第五组
[]140,130．按上述分组方法得到的频率分布直方图如下图．
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中
成绩良好的人数；
（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记x 为取得第一组成绩的个数，求x 的分布列与数学期望．
19．（此题满分12分）如图，已知正四棱柱ABCD A B C D １１１１－中，
底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交1B C 于点F ． （1）求证：1A C ⊥平面BDE ； （2）求二面角1E BD A --的余弦值。

20．（此题满分12分） 已知椭圆方程C 为：22
221x y a b
+=，(0)a b >>椭圆的右焦点为(1,0)，
离心率为1
2
e =，直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，且34OA OB k k ⋅=-
（1）椭圆的方程及求AOB ∆的面积；
（2）在椭圆上是否存有一点P ，使OAPB 为平行四边形，若存有，求出OP 的取值范围，若不
存有说明理由.
频率0组距
038.0032
.0O 分数
90 100 110 120 130 140
016
.0008.0006
.
21．（此题满分12分）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且
(1)1g =-，设函数19
()()ln 28
f x
g x m x =+++（m R ∈，0x >）．
（Ⅰ）求()g x 的表达式；
（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12,[1,]x x m ∀∈
恒有12()() 1.H x H x -<
请考生从第22、23、24题中选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）.如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ADC ∆的外接圆交BC
于点E ，2AB AC =． （Ⅰ）求证：2BE AD =；
（Ⅱ）当3AC =，6EC =时，求AD 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点O (0,0)， B ⎝
⎛⎭⎫22，π
4． （1）求以OB 为直径的圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，判断直线l 与圆C 的位置关系． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()|21||2|f x x x =--+ （1）求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．
高三联考（理）试题 答案
1． B
2． D 试题分析：由已知得2()1a i b i i bi +=+=-+，根据复数相等的条件得1,2a b =-=，
故3a b -=-．
3． C 试题分析：由等差数列的求公差的变通公式知：n m
a a d n m
-=
-，所以
133
3313
2133
133
a a d --=
=
=--，
313
8232
a a a +=
= 772321a d a ∴+=⇒=选C 4． A
5． C 试题分析：根据题意，作出图形（阴影局部），联立⎩
⎨⎧-==2x y x
y ，
得)2,4(C ，)0,2(B ，DCB OAB ∆≅∆∴,
则所求阴影局部的面积为316432|322
3
40234
=⨯=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==
⎰
x dx x S ． 6． B 解析：由已知得点11(,)x y 在圆22(2)5x y -+=上，点22(,)x y 在直线042=+-y x 上，
故22
1212()()x x y y -+-表示22(2)5x y -+=的点和直线042=+-y x 上点的距离平方，
而距离的最小值为
24555
14
+-=
+，故22
1212()()x x y y -+-的最小值为15．
7． D 8． A
9． C 解析：由题意可知该几何体的直观图如下列图所示，
可知该几何体的外接球2
22
253343R =++=，应选C ． 10． C
11． C 解析：设F 2关于渐近线对称点为P, F 2P 的中点为M ，显然M 在渐近线上，连PF 1,OP
则112//OM PF PF PF ∴⊥ 1212,F F c PF c ==
点F 2到渐近线的距离22222
(2)(2)bc d b c c b a b =
=∴=++ 2242c a e ∴=∴=
12． B 解析:由2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得f(x)=32
或f(x)=a.由已知画出函
数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x 的方程2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与直线y=
3
2
、y=a 共有五个不同的交点,结合图象分析不难得出,12345x x x x x ++++=5,应选B 13． -2 14． 8
15．
29 试题分析：不等式组表示的平面区域如图阴影所示，
22x y +表示的几何意义是点()y x ,到()0,0距离，由图可
知，点A 到原点的距离最远，⎩
⎨
⎧=+-=032y x x ，得⎩⎨⎧==52
y x ，
22222529x y +=+=
16．
3λ< 试题分析：
{}n a 是递减数列，2n 1n n a <a a n n λ+∴=-+，恒成立
即2
2
n 1n 1n n 2n+1λλλ++++∴<-（）（）<-，对于n ∈N *恒成立．而2n+1在n 1=时取得最小值3，3λ∴<， 17．试题解析：（1）∵54cos =
A ，∴53sin =A ∵3sin 2
1
=A bc ，∴5=c ∴13cos 22
2
=-+=A bc c b a …………………………6分
（2）若B=90º，则56sin =
=A b a ，58cos ==A b c ； 若C=90º，则25cos ==A b c ，23
sin ==A c a ……………………12分
18．（1）27人；（2）6
7
.
解析：（1）由频率分布直方图知，成绩在[)120,100内的人数为：
2738.05016.050=⨯+⨯（人） 所以该班成绩良好的人数为27人．………………6分
（2）解：由题意0,1,2x =0234272(0).7C C p x C ∴===11
342
74
(1),7C C p x C === 20
342
71
(2).7
C C p x C === x ∴的分布列为
x 的期望为2416
()012.7777
E x =⨯
+⨯+⨯=…………………………12分 19．（1）见解析（2）69
解析：（1）连接AC ，因为1111ABCD A B C D -是正四棱柱，
x
0 1 2
p
2
7 47 17
所以 1111BD AC
BD AA BD A AC BD AC AC AA A ⊥⎫⎪
⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面 ……………………3分
同理可得
1111111111BE B C
BE A B BE A B C BE A C B C A B B ⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪=⎭
平面
又因为BD
BE B =,所以1A C ⊥平面BDE ． ……………………6分
（2）解法一：以DA 、DC 、1DD 分别为,,x y z 轴，建立直角坐标系，设,CE a =则(2,2,0).B
11(0,2,),(2,2,4),(0,2,0),(2,0,4)E a B C A ，由11
0 1.(0,2,1)BE BC BE BC a E ⊥⇒⋅=⇒=∴ 设面DBE 的法向量为(,,)n x y z =.由(,,)(2,2,0)00n DB x y z x y ⊥⇒=∴+=
由(,,)(0,2,1)0n DE x y z ⊥⇒=20y z ∴+= 令1y =得：1,2,(1,1,2)x z n =-=-∴=-- 设平面1DBA 的法向量为111(,,)m x y z =.由0m DB x y ⊥⇒+=，由120m DA x z ⊥⇒+= 令2x =得：2,1(2,2,1)y z m =-=-∴=-- 设m 与n 所成的角为θ，
则值cos 4m n m n
θ⋅=
=
==+
⋅
由题意：二面角1A DB E --为锐角，∴二面角1A DB E --
(12)
分 解法二：连AC 交BD 于O ，可证1A OE ∠是二面角1A
DB E --的平面角
OE ==
1A E ==
1OA == 2
22111
1
cos 2OE OA A E AOE OE OA +-∴∠=⋅⋅
== ∴二面角1A DB E -- …………………………12分 20．解析：（1）由已知1
1,2c c a == 2a ∴= 2223b a c ∴=-=
∴椭圆方程为：22
1x y += …………………………3分
设)(1,1y x A ，消去y
（2OP OA OB =+，设P 2
2
436k m
+= ，从而化简得 )43(162222++k m k 化简得 22434m k =+ ①， 由3
4
OA OB K K ⋅=-，知34222=-k m ②
联立方程①②知0m =，故不存有P 在椭圆上的平行四边形. …………………12分
21．解：（Ⅰ）设()2g x ax bx c =++，于是22
(1)(1)2(1)2(1)2,g x g x a x c x -+-=-+=--
所以121.
a c ⎧=⎪
⎨
⎪=-⎩，
又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--． …………3分 （Ⅱ）()
2
191()ln ln (0).
282
f x
g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，
当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分
当m =0时，2
()02
x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； …………5分
当m <0时，由()0m
f x x x m x
'=+
=⇒=-，列表： x (0)m -， m - ()m -+∞，
()f x ' － 0 ＋ ()f x
减
极小
增
[]min ()()ln .2
m
f x f m m m =-=-+-这时， 由题意min 0ln 0[()]2
m m m
f x m ⎧
≥-+-⎪≥∴⎨⎪<⎩.m e ∴≤- 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．…………9分
（Ⅲ）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()
()0x x m H x x
--'=
≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减．
于是21211
|()()|(1)()ln .
22H x H x H H m m m m -≤-=-- 2121113
|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--<
记13
()ln (1e)22h m m m m m =--
<≤，则()2
21133111()02233
2h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13
()ln 22h m m m m
=--在(1e]，是单调增函数，
所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e
h m h -+≤=
--=<，故命题成立． …………12分 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.2
3
=AD
解：（Ⅰ）连接DE ,因为ACED 是圆内接四边形，
所以,BCA BDE ∠=∠又,CBA DBE ∠=∠DBE ∆∴∽CBA ∆,
即有
,CA
DE
BA BE =又因为AC AB 2=，可得,2DE BE = 因为CD 是ACB ∠的平分线，所以DE AD =, 从而AD BE 2=；………………5分
（Ⅱ）由条件知62==AC AB ，设t AD =，则62,2+==t BC t BE ，
根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅,即),62(26)6(+⋅=⨯-t t t 即018922=-+t t ， 解得23=
t 或6-（舍去），则.2
3=AD ……………………10分
23．（1）为22220x y x y +--=． （2）直线与圆相切。

（1）设P (ρ，θ)是所求圆上的任意一点，因为OB 为直径，所以90OPB ∠=︒，
则OP ＝OB cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，即ρ＝22cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
4，………………………３分 亦即22220x y x y +--=，
故所求的圆C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=．……………………5分 注：也可现将,O B 化为直角坐标后直接求圆方程．
（2）圆C 的圆心的坐标为()1,1
l 的直角坐标方程为4x y +=，……７分
因为圆心到直线距离为d ==……………………10分
24．（1）[)4,6,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
（2
）t >
或t <解析：（1）13,21()31,223,
2x x f x x x x x ⎧
-≥⎪⎪
⎪
=---≤<⎨⎪
-<-⎪⎪⎩
，
所以原不等式转化为1122223333313x x x x x x ⎧⎧<-≥-≤<⎧⎪⎪
⎨⎨
⎨-≥⎩⎪⎪-≥--≥⎩⎩
或或 所以原不等式的解集为[)4,6,3
⎛⎤-∞-+∞ ⎥
⎝
⎦
…………………………5分
（2）只要2
max ()3f x t t <-，由（1）知2
max ()13f x t t =-<-
解得t >
或t <10分。