吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试数学(文)试题 含答案

数学（文)试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3,4,5,2,4,6
P Q
，若M P Q ，则M 的子集个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2。

复数z 满足12i z (i 是虚数单位）
,则z 的共轭复数在复平面内对应的点是( ） A ．
1,1
B ．
1,1 C ．
1,1
D ．1,1 3。

已知命题若0
:p x R ，使0
5
sin 2
x ;命题:
0,
,sin q x
x x ,则下列判
断正确的是（ ）
A ．p 为真
B ．q 为假
C ．p q 为真
D ．p q 为假
4。

已知442log 6,log 0.2,log 3a b c ，则这三个数的大小关系是（ ）
A ．c
a b
B ．a
c b C ．a
b c
D ．b
c a
5。

已知数列
n
a 的前n 项和为n
S ,且21n
n S
a n
N
，则4
S 等于( ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16 6. 设点,M
x y
满足约束条件
133
00
x y
x y x
y ，且点1,2N ，则OM ON 的取值范
围是（ ） A ．
4,1
B ．
2,0
C ．1,2
D ．
3,3
7。

函数
2sin
0,
2
f x
x
的部分图像如图所示，则04
f
f
（ ）
A ．13
B ．13
C ．31
2 D ．31
2
8。

已知平面向量,a b 满足0b a b
,且2,1a
b
，则a b
（）
A ．1
B ． 3
C 5
D 79。

下列函数中，在定义域内是偶函数,且值域为
0+
，的是（ )
A ．2
1f x
x B ．sin f
x
x x
C ．2cos f
x
x x D ．22
2x x
f
x
10。

双曲线2
2
2
2
10,0
x y a b a
b 的一条渐近线与圆
2
2
1
3
1x y 相切，
则此双曲线的离心率为（ ） A 5 B ．2 C 23 D 211. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边形的面积可无限逼近于圆的面积,并创立了割圆术，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。

利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14 ,这就是著名的徽率，利用刘徽的割圆术设计的程序框图，如图所示，则输出的n （ ） (参考数据：
3 1.172,sin15
0.2588,sin7.5
0.1305,sin3.75
0.06540 ）
A ．24
B ．48
C ．96
D ．192
12。

f
x
是定义在
0，
上单调函数，且对
x 0，
,都有
2ln 2f f x
x
e ,则函数g x
f x
f
x
e 的零点所在的区间是(
）
A ．
2
10,
e B ．2
11,e e
C ．1,1e
D ．
1,e
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13。

已知2138f
x
x x 导数为f x
，且0=4f
x ,则0=x ．
14。

已知点,P x y
2
2
2
2
1
1
4x y x y ，则OP （O 为坐标原点）
的最大值等于 ． 15. 在正项等比数列n
a 中，若1
13a
，且1321
3,,22
a a a 成等差数列，3log n
n b a ，
数列
n
b 的前n 项和为n S ,则满足2016n
S
的最大正整数n 等
于 ． 16。

三棱锥P ABC 的直观图及三视图中的正视图和俯视图如图所示,则三棱锥P
ABC 外接球的表面积为
．
三、解答题 （本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17。

（本小题满分12分）
ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2
cos cos cosC
2cos 2
C
a B
b A a a （1）判断ABC 的形状;
（2）若23
B ，点D 为AB 边的中点，7CD ，求AB
C 的面积
18. (本小题满分12分)
四棱锥P
ABCD 的底面是正方形，PA
ABCD 平面， 1,,PA AB M N 分别是
,PB PD 的中点
(1）求证:MN PAC 平面;
（2）设MN 与PAC 平面交于点E ,求点E 到平面PMC 的距离 19. （本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班30位女同学，12位男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析
（1)如果按性别比例分层抽样,男、女生抽取多少位才符合抽样要求? （2)随机抽出7位，这7位同学的数学、物理成绩分数对应下表：
(i ）若规定85分以上(包括85分)为优秀,在该班级随机调查一位同学，则该生的数学和物理分数均为优秀的概率是多少?
(ii ）根据上表数据，用变量y 与x 的相关系数说明物理成绩y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱。

如果有较强的线性相关关系，求
y 与x 的线性回归方程，并估测该班某位同学数学分数是
95分时的物
理成绩；如果不具有线性相关关系，说明理由。

（系数精确到0.01）
参考公式:相关系数122
1
1
n
i i i n n
i
i
i i x x
y y r
x x
y y
;
对于相关系数r 的大小，如果1,0.75
r ，那么y 与x 负相关很强;如
果0.75,1
r
，那么y 与x 正相关很强；如果0.75,0.30
r
或0.30,0.75
r
，那
么y 与x 相关性一般;如果-0.25,0.25
r
，那么y 与x 相关性较弱.
回归直线方程:ˆˆˆ,y
bx
a 其中1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i i n i
i x x y y b a
y bx
x x
参考数据：
2
2
1
1
1
1
1
525,
581,
700,
336,
480,n n n n n i
i
i
i
i
i
i i i i i x y x x y y
x x
y y
700
26.5,33618.3
20。

（本小题满分12分） 已知抛物线2
20
y
px p ，过点5,2
M
的动直线l 交抛物线于,A B 两点，
线段AB 的中点为N ，当直线l 的斜率为-1时，点M 恰为线段AB 的中点 （1)求抛物线的方程;
（2）抛物线上是否存在一个定点P ,使得12
PN AB ，若存在，求出点P
坐标，若不存在,请说明理由
21. (本小题满分12分） 设0a
，函数1
1
x
ax
f x
e x x ，其导数为f
x
（1)当1a 时，求f x
的单调区间；
(2)函数f x 是否存在零点？说明理由; （3）设f
x
在0x
x 处取得最小值，求0
f x a 的最大值
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22。

(本小题满分10分） 如图,已知圆O 是ABC 的外接圆,,AB
BC AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的
直径，
(1）证明:AC
BC
AD AE ；
(2)过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ，若2,4AF
CF
，求AC 的长
23。

（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 为过点1
1,
2
P ，
且倾斜角为
2
的直线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C 2
2
:
1sin 2
（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1
3
PA PB
，求AB 的长
24。

（本小题满分10分)设函数212f x x x
(1）求不等式5f
x
的解集；
（2）对任意实数x ，不等式2
11
2
f
x
a a 成立，求实数a 的取值范围
参考答案
1。

B 2.A 3.B 4。

A 5。

C 6。

A 7.B 8。

D 9.D 10.C 11。

B 12。

B
13. 6 14。

2 15。

65 16。

112
3
三、解答题 17。

解：（1）由
2
cos cos cosC 2cos 2
C
a B
b A a a 得:
2
sin cos sin cos cosC sin 2cos 12
C
A B B A A 即:
sin cos sin cos cosC sin cos A B B A A C
即：sin cos sin cos C C
A C
故2
C A C 或，ABC 为直角三角形或等腰三角形
(2）若23
B
,则6
A
C
,设2c m ,则23b m
在ACD 中，2
2222cos 7CD AC AD AC AD A m
故
7=71m m ， 1
sin 32
ABC
S
AC AB A
18。

(1）证明：连接BD ，由于,M N 分别是,PB PD 的中点,所以MN BD ，
又PA ABCD 平面,BD
平面ABCD , 故PA
BD ,又ABCD 为正方形，故AC
BD
故BD
PAC 平面,故MN
PAC 平面
(2）连接BD 交AC 于点O ，连接OP ，则PBD PAC 平面与平面交线为OP ，又
,E
PBD E
PAC 平面平面，故E
OP ，由于,M N
分别是,PB PD 的中点，故E 为
OP 的中点,
又MN PAC 平面,故ME 为三棱锥M PEC 的高
又1
11
2222
8
PEC
POC S S PA OC 故1
1
3
48
M PEC PEC V
ME S ,又1
22
4PMC
S PM BC 设点E 到平面PMC 的距离为h ，113
3
PMC PEC
S h
S ME ，所以28
h
19。

解:（1)应选女生730
542
位，男生712
242
位
（2）（i ）由表中可以看出，所选的7位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数2人,所以概率是27
(ii)变量y 与x 的相关系数4800.990.75,1
26.518.3
r ，可以看出物理成绩y 与
数学成绩x 之间正相关很强，设y 与x 的线性回归方程是ˆˆˆy
bx
a ，根据所给数据可得
1
2
1
480
480
ˆˆ0.69,837531.57700
700
n
i
i i n i
i x x y y
b
a
x x
所以y 与x 的线性回归方程是ˆ0.6931.57y
x
当95x ,可算97y ，数学分数是95分时的物理成绩约为97
(2）设直线l 的方程为2
5x
m y ,代入2
4y x 得248200y my m ，
设点22
1212,,,,44y y A y A y 则12
12
4,820y y m y y m ，
假设存在点2
00
,4
y P y 使得12
PN
AB ，则点P 总是在以弦AB 为直径的圆
上，则2222001210
2
0444
4
y y y y PA
PB
y y y y
102010
2
116
016
y y y y y y y y
当1
=y y 或2
=y y 时,等式显然成立；
当1
0y
y 或2
0y y 时，则有10
20
16y y y y ,
即220
000482016,
4840my
y m y m y
02
480
40
y y ，解得0
02,1y
x ，所以存在点1,2P 满足题意
21.解：（1）当1a 时，2
11
x
f
x
e x ，由于0
0f
，且10x 时，
0f x
;0x 时,0f
x
,所以f x 在
1,0
的单调递减，在0,
单调递增
（2)2
1
x
a f x
e x ，令2
1
x
a g
x f x e x ，所以3
21
x
a g
x
e x
因为0,1a x
，所以3
201
x
a g x
e x ，所以
f x
在
1,
单调递增
因为2
1
2
11
21
04
2a a f
a e e a
,又001g f a
所以当1a 时，0
10g f a ，此时f
x
必有零点,且唯一;
当01a 时，1
110a f a e
,而2
1
2
11
21
04
2a a f
a e e a
故0a 时,f
x
存在唯一零点
（3）由（2）可知f
x
存在唯一零点，设零点为1
x
当1
1,x x 时，0f
x
；当1,x
x 时，0f
x
，
故f
x
在
1
1,x 的单调递减，在
1,
x 单调递增
所以当1x x 时，f x 取得最小值,由条件可得1
0x
x ，f x 的最小值为0f
x
由于0
2
0=01
x a f x e x ，所以0
2
01x a e x 所以0000
20
000000=111x x x x ax f x e e e x x e x x x 设2
2
21
1
231x
x x g x e x x e x e x x
x
则2273213
1x x g x
e x x e x x x
令0g x ，得1
12
x
；令0g x ,得12
x
故g x
在
11,
2
的单调递增，在
1,2
单调递减，所以112g
x
g
e
故0
f
x a 22.解：（1）连接BE ,由题意知
AEB 为直角三角形,因为
90,,
ABE
ADC AEB
ACB ABE
ADC ，则
,AB
AE
AD AC
即AB AC AD AE ，又
=AB BC ,所以AC BC AD AE
（2）因为FC 是圆O 的切线，所以2=FC
FA FB ，又2,4AF CF ，所以
8,6FB AB FB FA 因为,ACF CBF 又CFB AFC ,所以AFC CFB 所以AF AC FC BC ，即3AF BC AC CF
23.解：（1）直线l ：1cos 1sin 2x t y t （t 为参数，其中2),22:12x C y （2)把l ：1cos 1sin 2x t y t 代入2212x y ，整理得2211+sin 2cos sin 02t t ， 由于点11,2P
在椭圆内，则0恒成立，由韦达定理1
212222cos sin 11+sin 21+sin t t t t ， 由于13PA PB ，由t 的几何意义知1213t t ，所以21sin =2,又2，则3=4 所以21212122343AB t t t t t t
24。

解:（1）因为13,2131,223,2
x x
f x x x x x , 当12x
时，35x 得8x ，8x 当1
22x ,315x 得2x ，此时无解
当2x 时,35x 得2x ，2x 综上所述:不等式5f x 的解集为28x x x 或 (2）由（1）知，f
x 在1,2上递减，在1,22与2,+上递增,故min 52f x
若对任意实数x ,不等式2112f
x a a 成立，则只需251122a a ，解得1
52a。