青海省平安县第一高级中学2015-2016学年高二4月月考数学(理)试题 含答案

平安县第一高级中学2016年4月月考
高二数学试题（理科）
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出
的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.如果0<<b a ，那么下列各式一定成立的是( ） A ．0>-b a B ．bc ac < C ．22
b a >
D ．b
a 1
1< 2.给定两个命题p 、q ,若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
5。

已知双曲线C ：122
22=-b
y a x (0,0>>b a ）的离心率为,则的渐近线方程为
（ ）
A ．x y 41±=
B ．x y 31±=
C ．x y 21
±= D ．x y ±= 6.在ABC ∆中，3,2,4
===∠BC AB ABC π
，则=∠BAC sin （
）
A ．
10
10 B ．
5
10 C ．10
103
D ．
5
5
7。

设等差数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，3,0,211
==-=+-m m m S S S
，则=m ( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8。

若在区域⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≤-+00
2y x y x 内任取一点P ,则点P 恰好在单位圆122=+y x 内的概率为( ）
A ．4
π B ．6
π C ．8
π D ．12π
9。

正四面体ABC P -，M 为棱的中点,则与所成角的余弦值为（ ） A ．
2
3
B ．
6
3 C ．
4
3 D ．
3
3
10。

已知⎩⎨
⎧-=为偶数
为奇数
n n n n n f ,,)(，若)1()(++=n f n f a n
，则=+++201421a a a （
）
A ．1-
B ．2012
C ．0
D ．2012-
11。

已知),(00y x M 是双曲线C ：12
22
=-y x 上的一点，1F 、2F 是C 上的两个
焦点，若02
1
<⋅MF
MF ，则0y 的取值范围是（
)
A ．)3
3
,33(-
B ．)6
3,63(-
C ．)3
22,322
(- D ．)3
32,332
(-
12.已知椭圆E ：122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,3(F ，过点F
的直线交
椭圆于A 、B 两点，若AB 的中点坐标为)1,1(-，则E 的方程为（ ）
A ．136
452
2=+y x
B ．127
362
2=+y x
C ．118
272
2=+y x
D ．19
182
2=+y x
第Ⅱ卷(共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上) 13.设23=+y x ,则函数y x
z 273+=的最小值是 .
14.已知圆07622
=--+x y x
与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则p 的值
为 。

15.设1F 、2F 为双曲线19
162
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足
6021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为 .
16。

正四棱柱''''D C B A ABCD -中，底面边长为1，侧棱长为2，且MN 是'AB ，
'BC 的公垂线，M
在'AB 上，N 在'BC 上，则线段MN 的长度为 。

三、解答题 （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17。

(本小题满分10分） 已知命题p ：方程012
=++mx x 有两个不等的负根；
命题q :方程01)2(442
=+-+x m x
无实根，若“p 或q ”为真，
“p 且q ”为假，求m 的取值范围.
18。

（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角C B A ,,的所对边分别为c b a ,,,ac c b a c b a =+-++))((。

（1）求B ； （2）若4
1
3sin sin -=
C A ，求C 。

19.（本小题满分12分）
n S 为数列}{n a 的前n 项和.已知0>n a ，3422
+=+n n n S a a
（1）求}{n
a 的通项公式；
（2）设1
1
+⋅=
n n n
a a b
,求数列}{n b 的前n 项和n T .
20。

(本小题满分12分) 如图，设P 是圆2522
=+y x
上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上
的一点，且||5
4
||PD MD =
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程；
（2）求过点)0,3(且斜率为54
的直线被C 所截线段的长度.
21.(本小题满分12分）
正ABC ∆的边长为2,CD 是AB 边上的高，F E ,分别是AC 和BC 的中点(如图（1））.现将ABC ∆沿翻折成直二面角ADCB （如图(2））.在图（2)中： （1）求证：//AB 平面DEF ；
(2）在线段BC 上是否存在一点P ,使DE AP ⊥?证明你的结论； （3）求二面角EDFC 的余弦值。

22。

(本小题满分12分）
已知两点)0,2(-A 和)0,2(B ,直线AM 、BM 相交于点M ，且这两条直线的斜率之积为4
3-.
(1）求点M 的轨迹方程;
（2)记点M 的轨迹曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，直线PE 、PF 与圆)2
3
0()
1(222
<<=+-r r y x 相切于点F E ,，又PE 、PF
与曲线C 的
另一交点分别为R Q ,，求OQR ∆的面积的最大值(其中点O 为坐标原点）.
高二4月考试数学参考答案（理科）
1-5 6—10 11—12 CABDC CCABC AD 13。

6 14。

2 15. 39 16.
3
2 17.（本小题满分10分） 已知命题p ：方程012
=++mx x 有两个不等的负根；命题q ：方程
01)2(442=+-+x m x 无实根，若“p 或q ”为真，
“p 且q "为假,求m 的取值范围。

解:若方程012
=++mx x 有两个不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0
42m m 解得2>m ,即命
题p ：2>m 若方程01)2(442
=+-+x m x
无实根，则0)34(1616)2(1622<+-=--=∆m m m ,解得
31<<m ，即q ：31<<m 。

∴⎩⎨
⎧≥≤>3
12m m m 或或⎩⎨
⎧<<≤3
12
m m ，解得3≥m 或21≤<m . 18.（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角C B A ,,的所对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((. （1)求B ； （2）若4
1
3sin sin -=
C A ，求C . 解：（1）因为ac c b a c b a =+-++))((，所以ac b c a
-=-+222
，由余弦定理得
2
12cos 222-=-+=ac b c a B ,因此 120=B .
(2)由（1）知
60=+C A ，所以
2
3
413221sin sin 2)cos(sin sin 2sin sin cos cos sin sin cos cos )cos(=
-⨯+=++=+-=+=-C A C A C A C A C A C A C A C A
故
30=-C A 或
30-=-C A ,因此
15=C 或
45=C .
19.（本小题满分12分）
n S 为数列}{n a 的前n 项和.已知0>n a ，3422
+=+n n n S a a
（1）求}{n
a 的通项公式；
（2)设1
1
+⋅=
n n n
a a b
，求数列}{n b 的前n 项和n T .
解：(1）由3422+=+n n n
S a a ,可知342112
1+=++++n n n S a a ，
可得112214)(2+++=-+-n n n n n a a a a a ，即))(()(2112
211
n n n n n n n n a a a a a a a a
--=-=-++++,由于0>n a ，可得21=-+n n a a ，又
3421121+=+a a a 解得11-=a （舍去),31=a ，所以}{n a 是首项为3，公差为2的
等差数列，通项公式为12+=n a n。

(2)由12+=n a
n
可知，)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=⋅=
+n n n n a a b n n n
设数列}{n
b 的前n 项和为n
T ，则
)
32(3)]321121()7151()5131[(2121+=
+-+++-+-=+++=n n
n n b b b T n n ……………12分
20。

（本小题满分12分） 如图，设P 是圆2522
=+y x
上的动点，点D 是P 在x 轴上的射影，M 为PD 上
的一点，且||5
4
||PD MD = (1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 方程;
（2)求过点)0,3(且斜率为54
的直线被C 所截线段的长度。

解：(1)设M 的坐标为),(y x ，P 的坐标为),(p
p
y
x
由已知⎪⎩
⎪⎨⎧==y
y x x p p 45
∵P 在圆上，∴25)45(22
=+y x ，即的方程为116
252
2=+y x 。

（2)过点)0,3(且斜率为54的直线方程为)3(54
-=x y ，设直线与C 的交点为),(),,(2211y x B y x A ，将直线方程)3(54-=x y 代入C 的方程，得125
)3(252
2=-+
x x 即08322=-+x x ，∴2
41
3,241321+=-=
x x ∴线段AB 的长度为5
41
412541))(25161()()(||221221221=⨯=-+
=-+-=x x y y x x AB . 21。

（本小题满分12分）
正ABC ∆的边长为2，CD 是AB 边上的高，F E ,分别是AC 和BC 的中点(如图（1）).现将ABC ∆沿翻折成直二面角ADCB (如图(2））。

在图(2）中: （1）求证：//AB 平面DEF ；
（2）在线段BC 上是否存在一点P ,使DE AP ⊥？证明你的结论； （3）求二面角EDFC 的余弦值。

解:（1）证明：在ABC ∆中，因为F E ,分别是BC AC ,的中点,所以AB EF //，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF ,所以//AB 平面DEF 。

（2）以点D 为坐标原点，以直线DA DC DB ,,分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（图略），则
)1,0,0(A ，)0,0,1(B ,)0,3,0(C ，)21,23,
0(E ,)0,2
3
,21(F ，)1,0,1(-=AB ，)0,3,1(-=BC ，)2
1,23,
0(=DE ，)0,23
,21(=DF
设BC BP λ=，则)1,3,1(--=+=λλBP AB AP ，注意到⇔=
⇔=⋅⇔⊥3
1
0λDE AP DE AP BC BP 3
1
=，所以在线段BC 上存在点P ，使DE AP ⊥.
（3)平面CDF 的一个法向量)1,0,0(=DA ,设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0n DE n DF ,即⎪⎩⎪⎨
⎧=+=+0303z y y x ，取)3,3,3(-=n ，721||||,cos =>=<n DA n DA n DA ，所以二面角C DF E --的余弦值为
7
21
. 22。

（本小题满分12分）
已知两点)0,2(-A 和)0,2(B ,直线AM 、BM 相交于点M ，且这两条直线的斜
率之积为4
3-.
（1）求点M 的轨迹方程；
（2)记点M 的轨迹曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，直线PE 、PF 与圆)2
3
0()
1(222
<<=+-r r y x 相切于点F E ,，又PE 、PF
与曲线C 的
另一交点分别为R Q ,，求OQR ∆的面积的最大值（其中点O 为坐标原点）.
解：（1）设点),(y x M ,因为43-
=BM AM k k
，所以4
3
22-=-⋅+x y x y ，整理得点M 所
在曲线的方程为)2(1342
2±≠=+x y x .
(2）由题意可得点)2
3,1(P ，因为圆222
)
1(r y x =+-的圆心为)0,1(，
所以直线PE 与直线PF 的斜率互为相反数。

设直线PE 的方程为2
3)1(+-=x k y ，与椭圆方程联立消去y ，得0)3124()812()34(2222=--+-++k k x k k x k
由于1=x 是方程的一个解,所以方程的另一解为343
1242
2+--=k k k x Q ， 同理3
43
12422+-+=k k k x Q ,故直线RQ 的斜率为
213
424)23468(23
)1(23)1(222=+-+--=----+--=--=k k k k k x x x k x k x x y y k Q R Q R Q R Q R PQ 。

把直线RQ 的方程b x y +=2
1代入椭圆方程，消去y 整理得0322=-++b bx x ，所以2
22242
15
1)3(4)21(1||b b b RQ -=--⋅+=，原点O 到直线RQ 的距离为
5
|
2|b d =
，
所以32)4(23)4(235
|2|42152122222=-+⋅≤-=⋅-⋅=∆b b b b b b S
ORQ。