浅析数学解题教学中教师的引导
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时的教学中做个有心人ꎬ这种教学机智一定会从有痕到无痕ꎬ
从偶然到必然ꎬ我们相信ꎬ如果“引导性提问”能被教师熟练
运用于数学解题教学ꎬ数学习题课将会演绎更多的精彩ꎬ数学
解题教学将会更加有效ꎬ真正做到“减负增效”.
参考文献:
[１] 王满余. 浅谈初中数学应用题的教学策略及解题
技巧[ Ｊ] . 学周刊ꎬ２０２０(３４) :８７ － ８８.
求 ｋ 的取值范围.
生１ :因为原方程是一元二次方程ꎬ又有实数根ꎬ所以
△≥０ꎬ即建立关于 ｋ 的不等式ꎬ求出 ｋ 的取值范围.
这个问题难在审题ꎬ只要学生审题不仔细ꎬ那就肯定
会出错! 一 般 错 误 正 如 刚 才 那 位 学 生 一 样 思 考 不 够 全
面ꎬ教师应立刻展开引导性追问.
师:你刚才说该方程是一元二次方程ꎬ有依据吗?
１
生１ :原式要有意义ꎬ必须满足 － ≥０ꎬ即 ｘ < ０ꎬ因此
ｘ
１
１
＝ －
－ ( － ｘ) ２ ＝ －
－ｘ
ｘ
ｘ
注:该案例中ꎬ教师没有因为学生思考出现错误而指
责ꎬ也没有立刻换人回答ꎬ而是通过让该学生回忆前面所
原式 ＝ － ( － ｘ)
－
学的二次根式的性质“ ａ２ ＝ ａ ” ꎬ及时加以引导ꎬ进行
适当的提问ꎬ把该题和从二次根号内移出或从根号外移
师:既然考虑函数方法解决ꎬ自然少不了什么数学思想?
生３ :数形结合ꎬ画图解决!
注:该案例的问题ꎬ是一道易让学生思考偏离方向的
函数建模问题. 当学生思考偏离了方向ꎬ教师千万不要因
为怕浪费宝贵的课堂时间而打断学生的思考ꎬ而是要让
学生自己去发现自己的思考 偏 离 了 方 向 无 法 解 决 问 题
后ꎬ进而调整思路. 教师应适时转换角度ꎬ引导学生从与
师:内心在 ｙ 轴上 Ｃ 的坐标为(２ꎬ０) ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ
又能得到什么结论?
生４ :△ＢＯＣ 是等腰直角三角形ꎬ∠ＣＢＯ ＝ ４５°ꎬ又根据
ｙ 轴平分∠ＡＢＣꎬ从而∠ＡＢＯ ＝ ４５°ꎬ进而得出∠ＡＢＣ ＝ ９０°!
师:终于根据条件找到了有关∠Ａ 的直角三角形了!
如图 ３ꎬ直线 ｌ 过正方形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ｂꎬ点 Ａ、Ｃ 到直
线 ｌ 的距离分别是 １ 和 ２ꎬ则正方形的边长是
ꎬ有了刚
才的引导性追问ꎬ和老师的总结ꎬ不少学生积极举手.
最后得出 ｓｉｎα ＝
出正方形的边长为 ５ .
注:该案例中ꎬ教师 没 有 对 问
题蜻蜓 点 水ꎬ 而 是 通 过 引 导 性 追
教师已经做到:习题课前能根据教学目的准备好例题ꎬ注
意各例题之间的窜并联ꎻ但是也有不少教师在困惑ꎬ好的
例题找到了ꎬ可是习题课该怎样上ꎬ才能演绎出精彩?
下面ꎬ笔者就结合自己的教学实践ꎬ来谈谈解题教学
中教师的引导.
一、习题课提问存在的问题及分析
笔者认为ꎬ作为教师ꎬ能够精心准备例题是值得肯定
的ꎬ这是达到习题课教学目的的根本前提ꎬ但仅满足于此
师:刚才那位同学想通过解一元二次方程ꎬ设法求出
两根解决问题ꎬ但是实际操作过程中ꎬ发现此路不通! 我
们应及时调整解题的思路! 不妨先看看该方程的左边( ｘ
— ４２ —
－ ａ) ( ｘ － ｂ) ꎬ形式类似于前面学过的什么知识啊?
生２ :这不是二次函数解析式中的交点式的右边部分嘛!
生３ :( 有所联想) 我们可以考虑令 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ －
收稿日期:２０２０ － ０８ － １５
作者简介:陈柯(１９８０. ８ － ) ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.
— ４１ —
例 ２ 在教学“ 二次根式的乘法” 一课时ꎬ教师在讲完
常规的二次根式的乘法例题后ꎬ引出以下问题:
１
ｘ
生１ :根据二次根号的意义ꎬｘ 移入根号内应变为 ｘ２ ꎬ
那么ꎬｔａｎＡ 怎样表示呢?
ＢＣ
生５ :ｔａｎＡ ＝
ꎬ易求 ＢＣ ＝ ２ ２ ꎬ只需求出 ＡＢ 的长.
ＡＢ
师:求 ＡＢ 的长ꎬ现已知点 Ｂ 的坐标ꎬ还要知道什么量?
生６ :只需求出点 Ａ 的坐标! 根据刚才得到的∠ＡＢＯ
＝ ４５°ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ求出直线 ＡＢ 的解析式ꎬ进而
１
联立直线 ＡＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｘ － １ꎬ求出点 Ａ 的坐标ꎬ进
ａ ﹤ ０ 时ꎬ ａ２ ＝ － ａ
师:由此可见ꎬ从二次根号内移出的因式有何特征?
生１ :从二次根号内移出根号外的因式应是非负因式.
师:那么从二次根号外移入的因式的符号又该如何呢?
生１ :( 立刻恍然大悟) 从二次根号外移入根号内的因
式也是非负因式ꎬ首先必须先判断式中 ｘ 的符号ꎬ再移入
根号内.
师:那么怎么判断式中 ｘ 的符号呢?
浅析数学解题教学中教师的引导
陈 柯
( 江苏省南通田家炳中学 ２２６０００)
摘 要:引导是课堂教学中发挥教师主导作用、落实学生主体地位的有效措施. 引导的质量和时机直接影响着
教学目的的实现和课堂效益的提高. 课堂上教师的引导常采用提问的方式进行ꎬ在数学解题教学中尤为重要.
关键词:解题教学ꎻ教师引导
两个根ꎬ则实数 ｘ１ 、ｘ２ 、ａ、ｂ 的大小关系为
Ａ. ｘ１ < ｘ２ < ａ < ｂ Ｂ. ｘ１ < ａ < ｘ２ < ｂ
Ｃ. ｘ１ < ａ < ｂ < ｘ２
Ｄ. ａ < ｘ１ < ｂ < ｘ２
生１ :先解方程ꎬ求出两根ꎬ再根据选项进行比较.
师:那么你试试看吧! ( 让该生上黑板解方程( ｘ － ａ)
间的距离都是 １ꎬ如果正方形 ＡＢＣＤ 的四个顶点分别在四
条直线上ꎬ则 ｓｉｎα ＝
.
( 下转封三)
( 上接 ４２ 页) 生１ ( 该生基础较
好) : 根 据 正 方 形 的 特 点ꎬ ＡＤ ＝
ＤＣꎬ∠ＡＤＣ ＝ ９０°ꎬ
选择过点 Ｄ 作这四条平行线
的垂线ꎬ分别交 ｌ１ 于点 Ｅꎬ交 ｌ４ 于
图３
问ꎬ以一题为载体ꎬ通过现象抓“ 基
本图形” ꎬ使学生达到“ 解一题ꎬ会一类” 的目的ꎬ避免了
“ 题海” 战术的困扰.
车尔尼雪夫斯基说:“ 机智是一个不喜欢拜访懒汉的
客人. ” 应该说ꎬ引导性提问这种课堂教学机智不是一朝
一夕可以完成的ꎬ需要教师在不断学习ꎬ不断总结ꎬ不断
反思中去积累ꎬ去完成. 只要善于观察和善于思考ꎬ在平
师:这张 图 中 存 在 一 个 在 相 似 中 很 熟 悉 的 基 本 图
形吗?
生２ :正方形的特点“ ∠ＡＤＣ ＝ ９０°” 构造出“ Ｋ” 型的基
本图形
师:对ꎬ“ Ｋ” 型的基本图形往往可以构造相似ꎬ当然正
方形的特点“ ＡＤ ＝ ＤＣ” 还可以在相似的基础上构造全等!
接着ꎬ教师再出示以下问题:
二、把握教学中的引导性提问及时机
在课堂教学中ꎬ可以在以下几种情况下抓住提问时
机ꎬ实施引导性追问.
１. 当学生思考遇到障碍时
例 １ 在中考总复习第一轮复习“ 锐角三角函数” 一
课中ꎬ教师展示以下问题:
如图 １ꎬ△ＡＢＣ 的内心在 ｙ 轴上ꎬ点 Ｃ 的坐标为(２ꎬ
１
０) ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ直线 ＡＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｘ －
生１ :( 经 过 仔 细 观 察 后 发 现 ) 好 像 不 是 一 元 二 次
方程!
师:为什么?
生１ :该方程的二次项系数是 ｋꎬ可能为 ０.
师:那根据题设ꎬ该往哪个方向思考啊?
生１ :( 恍然大悟) 根据二次项系数的特征ꎬ分类讨论!
当 ｋ ＝ ０ 时ꎬ为一元一次方程ꎻ当 ｋ≠０ 时ꎬ为一元二次方
( ｘ － ｂ) ＝ １( ａ < ｂ) )
生１ 解了一会儿ꎬ发现解不下去了ꎬ打起了退堂鼓ꎬ老
师让其回位置!
显然ꎬ学生 因 为 思 维 定 势ꎬ 看 见 了 一 元 二 次 方 程 的
根ꎬ即想通过 解 方 程 求 出 根ꎬ 明 显 偏 离 了 教 师 预 设 的 方
向. 教师应立即根据具体情况ꎬ展开引导性追问.
还远远不够ꎬ一个高明的教师ꎬ需要同时考虑好引导性提
问. 引导性提问包括两方面的含义:一是当学生思考例题
出现问题时ꎬ教师应该转换角度或铺设台阶展开提问ꎬ使
学生能够顺利回答ꎻ二是当学生回答能够解决的例题后ꎬ
为了帮助学生掌握问题的本质 而 进 行 的 更 深 层 次 的 提
问. 无论是哪种提问ꎬ都需要教师的预知能力ꎬ更需要教
ｂ) ꎬｙ ＝ １ 通过函数的方法解决.
师:很好! 那么请问二次函数 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) 中
ａ、ｂ 的意义是什么啊?
生３ :是抛物线 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) 与 ｘ 轴的交点的横
坐标的值
师:ｙ ＝ １ 的图象又是什么啊?
生３ :是过(０ꎬ１) 的一条与 ｘ 轴平行的直线!
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０２０)３２ － ００４１ － ０３
习题课是是中学数学教学中的一种重要课型ꎬ是新
授课的延续ꎬ也是新授课的升华ꎬ承载着培养学生良好的
解题习惯和培养学生良好的解题思维的重要责任. 不少
师的教学智慧. 由此可见ꎬ有效的引导性提问来源于超前
的预知能力和灵活的教学机智. 应该说ꎬ它是课前的精心
设计和课堂的千变万化的有机结合. 在解题教学中ꎬ教师
必须根据实 际 情 况ꎬ 精 心 设 计 引 导 性 提 问ꎬ 抓 住 提 问 时
机ꎬ让引导性提问真正成为师生深入交流的平台ꎬ以此提
高数学解题教学的高效性ꎬ使数学习题课更加精彩.
２
而算出 ＡＢ 的长ꎬ因此算出 ｔａｎＡ!
注:该案例中ꎬ教师没有因为大部分学生思考遇到障
碍ꎬ无从下手ꎬ而让优秀生讲解或自己讲解ꎬ而是将整个
问题的解决思路设置为若干个连续的引导性提问ꎬ层层
推进ꎬ步步为营ꎬ逐渐向待求的问题靠拢ꎬ让学生充分体
会到“ 拔云见日” 的艰辛和成功.
２. 当学生思考出现错误时
将根号外的因式移至根号内:ｘ
－
１
ｘ２ ＝
－ｘ
ｘ
这个问题有一定难度ꎬ部分学生很容易上当受骗ꎬ不
注意从二次根号内移出或从根号外移入的因式必须是非
负因式ꎬ思考出现错误ꎬ马上展开以下引导式提问.
因此结果为
－
师:请你回忆二次根式 ａ２ ＝ ａ 吗?
生１ : ａ２ 不一定等于 ａꎬ只有当 ａ≥０ 时ꎬ ａ２ ＝ ａꎻ当
２
１ꎬ则 ｔａｎＡ 的值是
.
面对该 题ꎬ 大 部 分 学 生 思
路受阻ꎬ根本无从下手ꎬ此时教
师可设置若干个小问题ꎬ 展 开
引导性提问ꎬ设法启发学生 去
解决问题.
师:ｔａｎＡ 的 解 决 必 须 在 什
图１
么图形中解决?
生１ :当然是设法将∠Ａ 放入直角三角形中!
师:△ＡＢＣ 的内心的定义?
生２ :△ＡＢＣ 的三条角平分线的交点!
点 Ｆꎬ这时
易证 △ＡＥＤ ≌ △ＤＦＣꎬ ꎬ
生３ :分别过点 Ａ、点 Ｃ 向直线
ｌ 作 ＡＭ⊥ｌ 于 Ｍꎬ作 ＣＮ⊥ｌ 于 Ｎꎬ可
证△ＡＭＢ ≌ △ＢＮＣꎬ ꎬ 从 而 求
图２
５
５
问题解决后ꎬ为防止就题论题ꎬ学生的思考仅停留在
表层ꎬ而达不到实质ꎬ教师可以通过引导性追问ꎬ让学生
找出其中的基本图形ꎬ真正掌握其本质.
[ 责任编辑:李 璟]
欢迎投稿及订阅« 数理化解题研究»
«数理化解题研究» 创刊于 １９９７ 年 １２ 月ꎬ是由国家科委和国家新闻出版广电总局正式批准发行( 文件批号为
程ꎬ加以讨论.
注:该案例中ꎬ教师并没有因为学生思考不够全面而
直接给出答案ꎬ而是通过及时展开引导式提问ꎬ先找出学
生一开始回答出的破绽ꎬ要学生自己去攻破ꎬ使学生明白
本题的解决必须分类讨论.
５. 当学生思考不达本质时
例 ５ 教师在教学“ 锐角三角函数习题课” 时ꎬ出示以
下问题让学生思考:
如图 ２ꎬ已知直线 ｌ１ ∥ｌ２ ∥ｌ３ ∥ｌ４ ꎬ相邻两条平行直线
之相关的其它知识点去看问题ꎬ从而把学生引向建立函
数模型的正确轨道ꎬ使学生感受到“ 山穷水尽疑无路ꎬ柳
暗花明又一村” . 在培养学生函数思想建模的同时ꎬ又培
养了学生良好的数学解题习惯.
４. 当学生思考不够全面时
例 ４ 教师在教学“ 一元二次方程的根的判别式” 时ꎬ
出示以下问题让学生思考:
已知关于 ｘ 的方程 ｋｘ２ － (２ｋ ＋ １) ｘ ＋ ｋ ＝ ０ 有实数根ꎬ
入的因式必须是非负因式的本质联系起来ꎬ在解决问题
的同时ꎬ突出了从二次根号内移出或从根号外移入的因
式必须是非负因式的本质特征.
３. 当学生思考偏离方向时
例 ３ 在初三总复习的一节习题课上ꎬ教师出示以下
问题:
若 ｘ１ 、ｘ２ ( ｘ１ < ｘ２ ) 是方程( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) ＝ １( ａ < ｂ) 的
从偶然到必然ꎬ我们相信ꎬ如果“引导性提问”能被教师熟练
运用于数学解题教学ꎬ数学习题课将会演绎更多的精彩ꎬ数学
解题教学将会更加有效ꎬ真正做到“减负增效”.
参考文献:
[１] 王满余. 浅谈初中数学应用题的教学策略及解题
技巧[ Ｊ] . 学周刊ꎬ２０２０(３４) :８７ － ８８.
求 ｋ 的取值范围.
生１ :因为原方程是一元二次方程ꎬ又有实数根ꎬ所以
△≥０ꎬ即建立关于 ｋ 的不等式ꎬ求出 ｋ 的取值范围.
这个问题难在审题ꎬ只要学生审题不仔细ꎬ那就肯定
会出错! 一 般 错 误 正 如 刚 才 那 位 学 生 一 样 思 考 不 够 全
面ꎬ教师应立刻展开引导性追问.
师:你刚才说该方程是一元二次方程ꎬ有依据吗?
１
生１ :原式要有意义ꎬ必须满足 － ≥０ꎬ即 ｘ < ０ꎬ因此
ｘ
１
１
＝ －
－ ( － ｘ) ２ ＝ －
－ｘ
ｘ
ｘ
注:该案例中ꎬ教师没有因为学生思考出现错误而指
责ꎬ也没有立刻换人回答ꎬ而是通过让该学生回忆前面所
原式 ＝ － ( － ｘ)
－
学的二次根式的性质“ ａ２ ＝ ａ ” ꎬ及时加以引导ꎬ进行
适当的提问ꎬ把该题和从二次根号内移出或从根号外移
师:既然考虑函数方法解决ꎬ自然少不了什么数学思想?
生３ :数形结合ꎬ画图解决!
注:该案例的问题ꎬ是一道易让学生思考偏离方向的
函数建模问题. 当学生思考偏离了方向ꎬ教师千万不要因
为怕浪费宝贵的课堂时间而打断学生的思考ꎬ而是要让
学生自己去发现自己的思考 偏 离 了 方 向 无 法 解 决 问 题
后ꎬ进而调整思路. 教师应适时转换角度ꎬ引导学生从与
师:内心在 ｙ 轴上 Ｃ 的坐标为(２ꎬ０) ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ
又能得到什么结论?
生４ :△ＢＯＣ 是等腰直角三角形ꎬ∠ＣＢＯ ＝ ４５°ꎬ又根据
ｙ 轴平分∠ＡＢＣꎬ从而∠ＡＢＯ ＝ ４５°ꎬ进而得出∠ＡＢＣ ＝ ９０°!
师:终于根据条件找到了有关∠Ａ 的直角三角形了!
如图 ３ꎬ直线 ｌ 过正方形 ＡＢＣＤ 的顶点 Ｂꎬ点 Ａ、Ｃ 到直
线 ｌ 的距离分别是 １ 和 ２ꎬ则正方形的边长是
ꎬ有了刚
才的引导性追问ꎬ和老师的总结ꎬ不少学生积极举手.
最后得出 ｓｉｎα ＝
出正方形的边长为 ５ .
注:该案例中ꎬ教师 没 有 对 问
题蜻蜓 点 水ꎬ 而 是 通 过 引 导 性 追
教师已经做到:习题课前能根据教学目的准备好例题ꎬ注
意各例题之间的窜并联ꎻ但是也有不少教师在困惑ꎬ好的
例题找到了ꎬ可是习题课该怎样上ꎬ才能演绎出精彩?
下面ꎬ笔者就结合自己的教学实践ꎬ来谈谈解题教学
中教师的引导.
一、习题课提问存在的问题及分析
笔者认为ꎬ作为教师ꎬ能够精心准备例题是值得肯定
的ꎬ这是达到习题课教学目的的根本前提ꎬ但仅满足于此
师:刚才那位同学想通过解一元二次方程ꎬ设法求出
两根解决问题ꎬ但是实际操作过程中ꎬ发现此路不通! 我
们应及时调整解题的思路! 不妨先看看该方程的左边( ｘ
— ４２ —
－ ａ) ( ｘ － ｂ) ꎬ形式类似于前面学过的什么知识啊?
生２ :这不是二次函数解析式中的交点式的右边部分嘛!
生３ :( 有所联想) 我们可以考虑令 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ －
收稿日期:２０２０ － ０８ － １５
作者简介:陈柯(１９８０. ８ － ) ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ中学二级教师ꎬ从事初中数学教学研究.
— ４１ —
例 ２ 在教学“ 二次根式的乘法” 一课时ꎬ教师在讲完
常规的二次根式的乘法例题后ꎬ引出以下问题:
１
ｘ
生１ :根据二次根号的意义ꎬｘ 移入根号内应变为 ｘ２ ꎬ
那么ꎬｔａｎＡ 怎样表示呢?
ＢＣ
生５ :ｔａｎＡ ＝
ꎬ易求 ＢＣ ＝ ２ ２ ꎬ只需求出 ＡＢ 的长.
ＡＢ
师:求 ＡＢ 的长ꎬ现已知点 Ｂ 的坐标ꎬ还要知道什么量?
生６ :只需求出点 Ａ 的坐标! 根据刚才得到的∠ＡＢＯ
＝ ４５°ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ求出直线 ＡＢ 的解析式ꎬ进而
１
联立直线 ＡＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｘ － １ꎬ求出点 Ａ 的坐标ꎬ进
ａ ﹤ ０ 时ꎬ ａ２ ＝ － ａ
师:由此可见ꎬ从二次根号内移出的因式有何特征?
生１ :从二次根号内移出根号外的因式应是非负因式.
师:那么从二次根号外移入的因式的符号又该如何呢?
生１ :( 立刻恍然大悟) 从二次根号外移入根号内的因
式也是非负因式ꎬ首先必须先判断式中 ｘ 的符号ꎬ再移入
根号内.
师:那么怎么判断式中 ｘ 的符号呢?
浅析数学解题教学中教师的引导
陈 柯
( 江苏省南通田家炳中学 ２２６０００)
摘 要:引导是课堂教学中发挥教师主导作用、落实学生主体地位的有效措施. 引导的质量和时机直接影响着
教学目的的实现和课堂效益的提高. 课堂上教师的引导常采用提问的方式进行ꎬ在数学解题教学中尤为重要.
关键词:解题教学ꎻ教师引导
两个根ꎬ则实数 ｘ１ 、ｘ２ 、ａ、ｂ 的大小关系为
Ａ. ｘ１ < ｘ２ < ａ < ｂ Ｂ. ｘ１ < ａ < ｘ２ < ｂ
Ｃ. ｘ１ < ａ < ｂ < ｘ２
Ｄ. ａ < ｘ１ < ｂ < ｘ２
生１ :先解方程ꎬ求出两根ꎬ再根据选项进行比较.
师:那么你试试看吧! ( 让该生上黑板解方程( ｘ － ａ)
间的距离都是 １ꎬ如果正方形 ＡＢＣＤ 的四个顶点分别在四
条直线上ꎬ则 ｓｉｎα ＝
.
( 下转封三)
( 上接 ４２ 页) 生１ ( 该生基础较
好) : 根 据 正 方 形 的 特 点ꎬ ＡＤ ＝
ＤＣꎬ∠ＡＤＣ ＝ ９０°ꎬ
选择过点 Ｄ 作这四条平行线
的垂线ꎬ分别交 ｌ１ 于点 Ｅꎬ交 ｌ４ 于
图３
问ꎬ以一题为载体ꎬ通过现象抓“ 基
本图形” ꎬ使学生达到“ 解一题ꎬ会一类” 的目的ꎬ避免了
“ 题海” 战术的困扰.
车尔尼雪夫斯基说:“ 机智是一个不喜欢拜访懒汉的
客人. ” 应该说ꎬ引导性提问这种课堂教学机智不是一朝
一夕可以完成的ꎬ需要教师在不断学习ꎬ不断总结ꎬ不断
反思中去积累ꎬ去完成. 只要善于观察和善于思考ꎬ在平
师:这张 图 中 存 在 一 个 在 相 似 中 很 熟 悉 的 基 本 图
形吗?
生２ :正方形的特点“ ∠ＡＤＣ ＝ ９０°” 构造出“ Ｋ” 型的基
本图形
师:对ꎬ“ Ｋ” 型的基本图形往往可以构造相似ꎬ当然正
方形的特点“ ＡＤ ＝ ＤＣ” 还可以在相似的基础上构造全等!
接着ꎬ教师再出示以下问题:
二、把握教学中的引导性提问及时机
在课堂教学中ꎬ可以在以下几种情况下抓住提问时
机ꎬ实施引导性追问.
１. 当学生思考遇到障碍时
例 １ 在中考总复习第一轮复习“ 锐角三角函数” 一
课中ꎬ教师展示以下问题:
如图 １ꎬ△ＡＢＣ 的内心在 ｙ 轴上ꎬ点 Ｃ 的坐标为(２ꎬ
１
０) ꎬ点 Ｂ 的坐标为(０ꎬ２) ꎬ直线 ＡＣ 的解析式为 ｙ ＝ ｘ －
生１ :( 经 过 仔 细 观 察 后 发 现 ) 好 像 不 是 一 元 二 次
方程!
师:为什么?
生１ :该方程的二次项系数是 ｋꎬ可能为 ０.
师:那根据题设ꎬ该往哪个方向思考啊?
生１ :( 恍然大悟) 根据二次项系数的特征ꎬ分类讨论!
当 ｋ ＝ ０ 时ꎬ为一元一次方程ꎻ当 ｋ≠０ 时ꎬ为一元二次方
( ｘ － ｂ) ＝ １( ａ < ｂ) )
生１ 解了一会儿ꎬ发现解不下去了ꎬ打起了退堂鼓ꎬ老
师让其回位置!
显然ꎬ学生 因 为 思 维 定 势ꎬ 看 见 了 一 元 二 次 方 程 的
根ꎬ即想通过 解 方 程 求 出 根ꎬ 明 显 偏 离 了 教 师 预 设 的 方
向. 教师应立即根据具体情况ꎬ展开引导性追问.
还远远不够ꎬ一个高明的教师ꎬ需要同时考虑好引导性提
问. 引导性提问包括两方面的含义:一是当学生思考例题
出现问题时ꎬ教师应该转换角度或铺设台阶展开提问ꎬ使
学生能够顺利回答ꎻ二是当学生回答能够解决的例题后ꎬ
为了帮助学生掌握问题的本质 而 进 行 的 更 深 层 次 的 提
问. 无论是哪种提问ꎬ都需要教师的预知能力ꎬ更需要教
ｂ) ꎬｙ ＝ １ 通过函数的方法解决.
师:很好! 那么请问二次函数 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) 中
ａ、ｂ 的意义是什么啊?
生３ :是抛物线 ｙ ＝ ( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) 与 ｘ 轴的交点的横
坐标的值
师:ｙ ＝ １ 的图象又是什么啊?
生３ :是过(０ꎬ１) 的一条与 ｘ 轴平行的直线!
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０２０)３２ － ００４１ － ０３
习题课是是中学数学教学中的一种重要课型ꎬ是新
授课的延续ꎬ也是新授课的升华ꎬ承载着培养学生良好的
解题习惯和培养学生良好的解题思维的重要责任. 不少
师的教学智慧. 由此可见ꎬ有效的引导性提问来源于超前
的预知能力和灵活的教学机智. 应该说ꎬ它是课前的精心
设计和课堂的千变万化的有机结合. 在解题教学中ꎬ教师
必须根据实 际 情 况ꎬ 精 心 设 计 引 导 性 提 问ꎬ 抓 住 提 问 时
机ꎬ让引导性提问真正成为师生深入交流的平台ꎬ以此提
高数学解题教学的高效性ꎬ使数学习题课更加精彩.
２
而算出 ＡＢ 的长ꎬ因此算出 ｔａｎＡ!
注:该案例中ꎬ教师没有因为大部分学生思考遇到障
碍ꎬ无从下手ꎬ而让优秀生讲解或自己讲解ꎬ而是将整个
问题的解决思路设置为若干个连续的引导性提问ꎬ层层
推进ꎬ步步为营ꎬ逐渐向待求的问题靠拢ꎬ让学生充分体
会到“ 拔云见日” 的艰辛和成功.
２. 当学生思考出现错误时
将根号外的因式移至根号内:ｘ
－
１
ｘ２ ＝
－ｘ
ｘ
这个问题有一定难度ꎬ部分学生很容易上当受骗ꎬ不
注意从二次根号内移出或从根号外移入的因式必须是非
负因式ꎬ思考出现错误ꎬ马上展开以下引导式提问.
因此结果为
－
师:请你回忆二次根式 ａ２ ＝ ａ 吗?
生１ : ａ２ 不一定等于 ａꎬ只有当 ａ≥０ 时ꎬ ａ２ ＝ ａꎻ当
２
１ꎬ则 ｔａｎＡ 的值是
.
面对该 题ꎬ 大 部 分 学 生 思
路受阻ꎬ根本无从下手ꎬ此时教
师可设置若干个小问题ꎬ 展 开
引导性提问ꎬ设法启发学生 去
解决问题.
师:ｔａｎＡ 的 解 决 必 须 在 什
图１
么图形中解决?
生１ :当然是设法将∠Ａ 放入直角三角形中!
师:△ＡＢＣ 的内心的定义?
生２ :△ＡＢＣ 的三条角平分线的交点!
点 Ｆꎬ这时
易证 △ＡＥＤ ≌ △ＤＦＣꎬ ꎬ
生３ :分别过点 Ａ、点 Ｃ 向直线
ｌ 作 ＡＭ⊥ｌ 于 Ｍꎬ作 ＣＮ⊥ｌ 于 Ｎꎬ可
证△ＡＭＢ ≌ △ＢＮＣꎬ ꎬ 从 而 求
图２
５
５
问题解决后ꎬ为防止就题论题ꎬ学生的思考仅停留在
表层ꎬ而达不到实质ꎬ教师可以通过引导性追问ꎬ让学生
找出其中的基本图形ꎬ真正掌握其本质.
[ 责任编辑:李 璟]
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«数理化解题研究» 创刊于 １９９７ 年 １２ 月ꎬ是由国家科委和国家新闻出版广电总局正式批准发行( 文件批号为
程ꎬ加以讨论.
注:该案例中ꎬ教师并没有因为学生思考不够全面而
直接给出答案ꎬ而是通过及时展开引导式提问ꎬ先找出学
生一开始回答出的破绽ꎬ要学生自己去攻破ꎬ使学生明白
本题的解决必须分类讨论.
５. 当学生思考不达本质时
例 ５ 教师在教学“ 锐角三角函数习题课” 时ꎬ出示以
下问题让学生思考:
如图 ２ꎬ已知直线 ｌ１ ∥ｌ２ ∥ｌ３ ∥ｌ４ ꎬ相邻两条平行直线
之相关的其它知识点去看问题ꎬ从而把学生引向建立函
数模型的正确轨道ꎬ使学生感受到“ 山穷水尽疑无路ꎬ柳
暗花明又一村” . 在培养学生函数思想建模的同时ꎬ又培
养了学生良好的数学解题习惯.
４. 当学生思考不够全面时
例 ４ 教师在教学“ 一元二次方程的根的判别式” 时ꎬ
出示以下问题让学生思考:
已知关于 ｘ 的方程 ｋｘ２ － (２ｋ ＋ １) ｘ ＋ ｋ ＝ ０ 有实数根ꎬ
入的因式必须是非负因式的本质联系起来ꎬ在解决问题
的同时ꎬ突出了从二次根号内移出或从根号外移入的因
式必须是非负因式的本质特征.
３. 当学生思考偏离方向时
例 ３ 在初三总复习的一节习题课上ꎬ教师出示以下
问题:
若 ｘ１ 、ｘ２ ( ｘ１ < ｘ２ ) 是方程( ｘ － ａ) ( ｘ － ｂ) ＝ １( ａ < ｂ) 的