坐标系与伸缩变换(上课)
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2 2
得9x -9y =9 即x -y =1
2 2
3
x′＝2x 将曲线 C 经过伸缩变换 1 后对应图形的方程为 y′＝3y
x2－y2＝1，则曲线 C 的焦点坐标为________．
1 解析：由条件知点(2x， y)在曲线x2－y2＝1上， 3 y 1 2 ∴4x － ＝1，∵a ＝ ，b2＝9， 9 4
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
5、说明
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系。 解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， C 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 E 坐标分别为 c
y
C
P
B o A
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听 到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s 听到爆炸声， y 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
y 3 y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 x 2 x x 2 x 解： 由伸缩变换 1 得 y 3 y y 1 y 3 代入2x+3y=0
1 x 2 x x 2 x 2 由伸缩变换 得 y 3 y y 1 y 3 x2 y2 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1
x x y 3 y
2
通常把 2 长变换。
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2 x
O
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应 p x, y 称
教学目标
（1）学会用坐标法来解决几何问题 （2）掌握变换公式，能求变换前后的 图形或变换公式。
教学重点：应用坐标法的思骤与
应用，总结体会伸缩变换公式的应 用。
一．平面直角坐标系
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向 三个观测点的报告：正西、正北两个 观测点同时听到一声巨响，正东观测 点听到巨响的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中心的距离都 是 1020m ， 试 确 定 该 巨 响 的 位 置 。 （假定当时声音传播的速度为340m/s， 各 相 关 点 均 在 同 一 平 面 上 ）
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变， 1 将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 p x, y 2 坐标对应关系为：
B
P
C
o
A
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 2 1 上， 2 a b
2 2
a 680 , c 1020 b c a 1020 680 5 340
2 2 2 2 2 2 2 2
x y 故双曲线方程为 1 ( x 0) 2 2 680 5 340
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F (
,0 ).
B
x
即 x 2 y 2 c 2 5[( x c)2 y 2 ]. 2 2 2 整理得 2 x 2 y 2c 5cx 0.
x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 因此，BE与CF互相垂直. 2 2 2
用y=－x代入上式，得 x 680 5， ∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P ( 680 5 ,680 5 ), 故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10 m 处.
解决此类应用题的关键： 标 法 坐 1、建立平面直角坐标系
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2 x
O
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比 较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直 角坐标系应注意什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
1 x＝2x′， x′＝ x， 2 解析：∵ ∴ 1 y′＝3y， y＝3y′. 代入 y＝sinx 得 y′＝3sin2x′.
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
1 x 3 x 得 y 1 y 2
x 3 x 后， 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 y y
曲线C变为 x2 9 y2 9 ，求曲线C的方程并画出 图形。
x 3 x 2.解：将 代入 y y
2 2
x -9y =9
2 2
37 ∴c ＝a ＋b ＝ ， 4
2 2 2
37 37 ∴c＝ ，∴焦点坐标为(± ，0)． 2 2
1 x′＝ x， 2 4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 y′＝3y， 则 在 这 一 坐 标 变 换 下 正 弦 曲 线 y ＝ sinx 的 方 程 变 为 ________．
得x+y=0
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解：设伸缩变换 ， 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 又4 x 9 y 36 则 1 2
2 O (A) xFy 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 22 2 2 2 2 2 由b c 5a ，可得到 | AC | | AB | 5 | BC | ，
c x y 因为 BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2
得9x -9y =9 即x -y =1
2 2
3
x′＝2x 将曲线 C 经过伸缩变换 1 后对应图形的方程为 y′＝3y
x2－y2＝1，则曲线 C 的焦点坐标为________．
1 解析：由条件知点(2x， y)在曲线x2－y2＝1上， 3 y 1 2 ∴4x － ＝1，∵a ＝ ，b2＝9， 9 4
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
5、说明
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系。 解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， C 边AB所在的直线x轴，建立直角 坐标系，由已知，点A、B、F的 E 坐标分别为 c
y
C
P
B o A
x
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020) 设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听 到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s 听到爆炸声， y 故|PA|－ |PB|=340×4=1360
y 3 y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 x 2 x x 2 x 解： 由伸缩变换 1 得 y 3 y y 1 y 3 代入2x+3y=0
1 x 2 x x 2 x 2 由伸缩变换 得 y 3 y y 1 y 3 x2 y2 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1
x x y 3 y
2
通常把 2 长变换。
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2 x
O
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下，点P(x,y)对应 p x, y 称
教学目标
（1）学会用坐标法来解决几何问题 （2）掌握变换公式，能求变换前后的 图形或变换公式。
教学重点：应用坐标法的思骤与
应用，总结体会伸缩变换公式的应 用。
一．平面直角坐标系
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向 三个观测点的报告：正西、正北两个 观测点同时听到一声巨响，正东观测 点听到巨响的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中心的距离都 是 1020m ， 试 确 定 该 巨 响 的 位 置 。 （假定当时声音传播的速度为340m/s， 各 相 关 点 均 在 同 一 平 面 上 ）
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变， 1 将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 p x, y 2 坐标对应关系为：
B
P
C
o
A
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 2 1 上， 2 a b
2 2
a 680 , c 1020 b c a 1020 680 5 340
2 2 2 2 2 2 2 2
x y 故双曲线方程为 1 ( x 0) 2 2 680 5 340
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F (
,0 ).
B
x
即 x 2 y 2 c 2 5[( x c)2 y 2 ]. 2 2 2 整理得 2 x 2 y 2c 5cx 0.
x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 因此，BE与CF互相垂直. 2 2 2
用y=－x代入上式，得 x 680 5， ∵|PA|>|PB|,
x 680 5 , y 680 5 , 即P ( 680 5 ,680 5 ), 故PO 680 10
答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10 m 处.
解决此类应用题的关键： 标 法 坐 1、建立平面直角坐标系
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2 x
O
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为 p x, y
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比 较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直 角坐标系应注意什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为 坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐 标轴； （3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
1 x＝2x′， x′＝ x， 2 解析：∵ ∴ 1 y′＝3y， y＝3y′. 代入 y＝sinx 得 y′＝3sin2x′.
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
1 x 3 x 得 y 1 y 2
x 3 x 后， 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换 y y
曲线C变为 x2 9 y2 9 ，求曲线C的方程并画出 图形。
x 3 x 2.解：将 代入 y y
2 2
x -9y =9
2 2
37 ∴c ＝a ＋b ＝ ， 4
2 2 2
37 37 ∴c＝ ，∴焦点坐标为(± ，0)． 2 2
1 x′＝ x， 2 4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 y′＝3y， 则 在 这 一 坐 标 变 换 下 正 弦 曲 线 y ＝ sinx 的 方 程 变 为 ________．
得x+y=0
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解：设伸缩变换 ， 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 又4 x 9 y 36 则 1 2
2 O (A) xFy 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（ ，）. 2 22 2 2 2 2 2 由b c 5a ，可得到 | AC | | AB | 5 | BC | ，
c x y 因为 BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2