同构方程视角下的高中数学解题研究

㊀㊀解题技巧与方法
㊀㊀１２２数学学习与研究㊀２０２３ ２０
同构方程视角下的高中数学解题研究
同构方程视角下的高中数学解题研究Һ肖小甜㊀（庆阳第六中学，甘肃㊀庆阳㊀７４５０００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学教学中，解题教学处于十分重要的位置．广大一线教师为了提高学生解题教学的效率，提高学生的解题能力，探索出了很多新的方法和方向．其中，将同构方程运用于高中数学解题教学，对提高学生的解题能力及解题效率十分有帮助．基于此，文章先分析了同构方程的内涵，然后结合高中数学解题教学的现状进一步分析了基于同构方程思想的高中数学解题应用方式，旨在提高高中数学解题教学的效率．
ʌ关键词ɔ高中数学；同构方程；解题研究
引㊀言
数学解题中的同构方程法是指通过分析相同结构形式来解题的手段．目前，该方法对于解方程㊁解析几何㊁数列㊁解不等式以及比较函数式大小等题型的解答都十分有效，将其运用于高中数学解题教学对提高教学效率有非常积极的作用．因此，对同构方程思想在高中数学解题中的应用进行研究非常有必要．
一㊁同构方程的概念及其在高中数学解题中的优势
数学学科中的同构就是指构建出相同结构，对于表达式来说，可定义为同构方程式．利用同构方程解决一些常见的数学问题可以使学生的化归思维得到进一步提升，因此，同构方程法也被看作重要的思维方式．在当前的数学教学当中，其主要被应用在解不等式㊁数列㊁方程以及解析几何等数学问题当中．同构方程是指除了变量之外，其余均使用相同的表达式，即均为相同结构的方程．若将同构内涵延伸到图像中，则要构建同构图像．不管是在方程中还是在图像中，其都是对原有模式的一种变化和超越．把同构方程应用在高中数学教学实践中，许多难题都可通过寻找相同结构方程或其变形来进一步解决，比如在恒成立问题中进行参数取值范围的求解以及不等式的证明时，运用同构方程法可以使解题过程变得更容易理解．
二㊁高中数学解题教学的现状
当前社会逐渐发展的过程中，基础教育改革也迈
进新发展时期．对于数学教学来说，当下最重要的突破性任务就是培养学生的数学核心素养，推动学生的全面发展．数学学科的核心教育内容包括解题教学，而在当下高中数学解题教学中，许多教师在讲解解题流程时倾向于模仿教学．具体来讲，就是先对典型例题进行讲解，然后让学生背诵解题的方法和技巧，再进行大量类似题目的训练，这使学生的思想逐渐形成定式，不会进行主动思考和发散思维．在这种教学模式下，虽然对于许多类似题目学生也能够解决，但只要题型稍加改变，学生就会觉得解题难度变大，思路一下子就被卡住，不知所措，无法真正提高数学核心素养．另外，许多高中数学解题教学都是以教师为主导，这限制了学生的思维发展，使其解题出现困难．
三㊁基于同构方程思想的高中数学解题应用分析
（一）同构方程在比较函数式大小中的应用在高中数学中，比较函数式大小是较为基础的题目，也是近些年高考的一个高频考点，很多考试都将该类问题放在选择题的压轴位置．这类问题的常规解题思想通常是先考察函数性质，再通过作商或作差方式进行比较，其中要进行化简转化㊁找中间量，再进一步列出函数图像或分析其性质来比较，这对学生的联想能力㊁观察能力以及函数模型构造能力都具有较高要求，同时需要学生具备数形结合的思想．这种解题方式的难点在于比较中对哪个函数进行构造，需要针对原式实施变形．而若是利用同构方程思想来进行函数比较就具有一定的技巧性．其往往是将式子两边函数适当变形，使其结构相同，再依据函数性质比较大小．例题㊀若０＜ｘ１＜ｘ２＜１，则下述大小比较正确的选项是（㊀㊀）．
Ａ．ｅｘ－ｅｘ＞ｌｎｘ２－ｌｎｘ１㊀㊀㊀Ｂ．ｅｘ－ｅｘ＜ｌｎｘ２－ｌｎｘ１
Ｃ．ｘ２ｅｘ＞ｘ１ｅｘ
Ｄ．ｘ２ｅｘ＜ｘ１ｅｘ
对该函数比较大小题目，可以通过同构方程思想进行解答．首先是可以将Ａ和Ｂ两个选项结合起来看，变形为两个式子：ｅｘ－ｌｎｘ２＞ｅｘ－ｌｎｘ１，ｅｘ－ｌｎｘ２＜ｅｘ－
㊀㊀㊀
解题技巧与方法
１２３
㊀数学学习与研究㊀２０２３ ２０
ｌｎｘ１，同时构造出函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎｘ（０＜ｘ＜１），则可得到ｆᶄ（ｘ）＝ｅｘ
－１
ｘ
，由此得知，导函数ｆᶄ（ｘ）在（０，１）上
呈现出递增趋势，另ｆᶄ１２æèçöø
÷＜０，ｆᶄ（１）＞０，故存在着ｘ０ɪ（０，１），使ｆᶄ（ｘ０）＝０，因此，原函数ｆ（ｘ）在（０，ｘ０）上呈现出单调递减趋势，在（ｘ０，１）上呈现出单调递增趋势，可见选项Ａ和Ｂ的比较均错误．其次是将Ｃ和Ｄ选项结合起来看，其可变形成两个式子，ｅｘｘ２＜ｅｘ
ｘ１
和
ｅｘｘ２＞ｅｘｘ１，进一步构造出函数ｇ（ｘ）＝ｅｘ
ｘ
（０＜ｘ＜１），则有导函数ｇᶄ（ｘ）＝
ｅｘ
（ｘ－１）
ｘ
２
＜０，那么原函数ｇ（ｘ）在（０，１）上
单调递减，故而存在ｇ（ｘ１）大于ｇ（ｘ２），因此可得到ｅｘｘ２＜ｅｘ
ｘ１
．故该选择题应当选择Ｃ．例题解题方法是十分典型的利用同构方程法构
造变形解题．其将Ａ，Ｂ两个选项构造成函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｌｎｘ，而将Ｃ，Ｄ两个选项构造成函数ｇ（ｘ）＝
ｅ
ｘ
ｘ
，接下来的解题只要依据构造函数的基本性质进行判断即可，主要判断（０，１）上函数的单调性，从而得到两侧式子的不等关系．这种方法能够使解题思路更为清晰，解题过程更为简单．此外，高中数学教师在引导学生利用同构方程思想解题时，应确保其熟练掌握不同函数的性质，能够灵活运用函数基本模型，从而在解题时更为高效．
（二）同构方程在解方程或方程组中的应用高中数学中解方程或方程组的题型十分常见．学生一般在初中就已经学习过最基本的方程，但只是根据方程的标准形式求得方程的根，不能灵活运用方程结构来求解复杂方程．对近些年的高考试题进行分析，可发现许多解方程的题目在寻找突破口时都需要灵活运用方程结构，这一点值得教育工作者和学生充分重视．在一些复杂的高中数学方程式中，若是直接将方程展开求解可能会比较困难，使用因式分解法也具有一定难度，这时就可观察方程等号两侧是否具有同构性质，从而利用同构方程思想解题．
例题㊀解方程：ｘ６－（ｘ＋２）３＋ｘ２＝ｘ４－（ｘ＋２）２＋ｘ＋２．在该题目中，方程为６次方程，若直接将方程式展开解答难度不小，不仅会耗费较多计算时间，也容易出错．通过观察方程可以注意到，其中出现了ｘ＋２，（ｘ＋２）２以及（ｘ＋２）３，这三个式子具有同构性质，故可
以将ｘ＋２看作一个整体，将方程式进行整体变形，处理为ｘ６－ｘ４＋ｘ２＝（ｘ＋２）３－（ｘ＋２）２＋（ｘ＋２），这样就能够使方程两侧都为相同结构．进一步实施函数构造，令ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ２＋ｘ，则有导函数ｆᶄ（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ＋１＞０对任意实数ｘ都成立，因而可认为原函数ｆ（ｘ）在Ｒ上呈现单调递增趋势．再由ｘ６－（ｘ＋２）３＋ｘ２＝ｘ４－（ｘ＋２）２＋ｘ＋２变形处理为ｘ６－ｘ４＋ｘ２＝（ｘ＋２）３－（ｘ＋２）２＋（ｘ＋２），故
可构造函数ｆ（ｘ２）＝ｆ（ｘ＋２），由ｆ（ｘ）在Ｒ上递增，可
以得出ｘ２＝ｘ＋２，从而求得ｘ＝－１或２．
这一例题当中，虽然看似两侧是结构不相同的方
程，但使用了同构方程思想之后，就可以对其中一侧方程进行代换变形，使两项方程变为相同结构，最后进行函数构造，并利用函数单调性求解出结果．由此也可看出，用同构方程法解题的本质还是无法离开函数基本性质，即函数单调性，故教师要确保学生熟练掌握该知识．
（三）同构方程在解不等式中的应用
高中数学中的不等式题目也一直是教师教学和学生学习的难点，并且不等式还常与几何㊁函数以及线性规划等知识进行结合，使解题的难度进一步提高，学生解题时常常会遇到很多阻碍．因此，高中数学教师一直在探索有效的教学手段，希望可以为学生学习不等式知识提供帮助．不等式题目所涉及的知识通常具有宽泛特征，教师要想引导学生快速㊁准确地解题，还需扎实其基础，并使其学会拓展解题思路．教师可以利用同构方程法进行解题指导，这种方法能让学生在解不等式时将思路打开，在遇到相同类型题目时也可灵活运用．例题㊀若条件为２ｘ－２ｙ＜３－ｘ－３－
ｙ，则下列选项正确
的为（㊀㊀）．
Ａ．ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）＞０㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）＜０Ｃ．ｌｎ｜ｘ－ｙ｜＞０
Ｄ．ｌｎ｜ｘ－ｙ｜＜０
结合题意并基于同构方程法，可以变形得到２ｘ－
３－
ｘ＜２ｙ－３－
ｙ，再进一步构造函数ｆ（ｔ）＝２ｔ－３－
ｔ，因此可有
ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ），容易获知ｆ（ｔ）在Ｒ上为递增函数，那么就有ｘ＜ｙ，得到ｙ－ｘ＞０，则ｙ－ｘ＋１＞１，最后得到ｌｎ（ｙ－ｘ＋１）＞０，故本题选择Ａ．在该题的解答过程中，最关键的
就是将不等式两侧的变量ｘ和ｙ分离到同侧，得到
２ｘ－３－
ｘ＜２ｙ－３－
ｙ的不等式，这样就可保证不等式两侧的结构相同，再进一步构造函数求出结果即可．
（四）同构方程在解析几何中的应用
高中数学学科相关考试中常会将解析几何应用题作为压轴大题，解析几何也是高考中极为重要的考点．解析几何题目与一般的数学知识题目不同，其主要
㊀㊀解题技巧与方法
㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２３ ２０
对学生空间思维㊁想象能力以及数学分析能力进行考查，学生要想取得高分，必须突破这类题型．而同构方程的解题思想在数学领域中的应用十分广泛，其不仅常用在函数方程习题解答中，也可应用在解析几何问题中，利用这种思想方法往往可以收到优化解题过程㊁简化运算流程的效果，从而提高学生解析几何问题的解答速率．
例题㊀已知抛物线ｙ２＝２ｐｘ上点Ａ的坐标为（２，
２），点Ｂ，Ｃ为抛物线上另外两点，直线ＡＢ，ＡＣ是圆（ｘ－２）２
＋ｙ２
＝１的两条切线，则直线ＢＣ的方程为（㊀㊀）．
Ａ．ｘ＋２ｙ＋１＝０㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．３ｘ＋６ｙ＋４＝０Ｃ．２ｘ＋６ｙ＋３＝０
Ｄ．ｘ＋３ｙ＋２＝０
该题目的解答结合同构方程思想较为便捷．容易
得到抛物线方程为ｙ２
＝２ｘ，抛物线上又有点Ｂ，故可
以设Ｂ点的坐标为ｙ２１
２，ｙ１æèçö
ø
÷，因而可求出直线ＡＢ的点斜式方程，为ｙ－２＝
ｙ１－２ｙ２
１
２
－２
（ｘ－２），即可以得到ｙ－２＝
２
ｙ１＋２
（ｘ－２），亦即２（ｘ－２）－（ｙ１＋２）（ｙ－２）＝０．已知性质信息中，圆和直线ＡＢ为相切关系，则有直线ＡＢ到圆的圆心（２，０）之间的距离等于圆的半径１，则有２ｙ１＋２
４＋（ｙ１＋２）２＝１，对方程两侧平方并整理，可得３ｙ２１
＋
１２ｙ１＋８＝０，又有ｙ２１＝２ｘ１，代入上述公式当中，可化简得３ｘ１＋６ｙ１＋４＝０，因此，该式可以表明Ｂ点在直线３ｘ＋６ｙ＋４＝０上．那么同理也可得知Ｃ点在３ｘ＋６ｙ＋４＝０这
条直线上，因而可得出直线ＢＣ的方程为３ｘ＋６ｙ＋４＝０．此题目正确选项为Ｂ．
在这类题型中运用同构方程思想可减少运算量，使运算流程变得简单．由此可见，针对圆锥曲线双切线的问题，若是将其调整为同一个式子来解题，通常可以收到事半功倍的效果，可见该解题思路的应用价值．
四㊁高中数学解题中同构方程法的应用策略
事实上，同构方程法是一种现代化的数学思想方法，其可以体现出函数与方程的核心思想，也可以说其是函数方程思想的代名词，在当前数学领域常用来形容函数方程解题思想．在许多数学题型的解答中，同构方程法都得到了广泛的应用．若高中学生能够具备同构意识，那么在解决数学问题时就可以实现灵活性㊁创造性．在实际高中数学解题时，应用同构方程法的策略包括下述几点．
第一，要了解怎样在数学解题中利用同构方程
法，就要对该数学方法的内涵有一个基本理解．同构方程法能将复杂㊁抽象的数学题目分解为若干容易理解的小问题，在函数方程中，还可能会将一个方程分为多个简单方程，以便于更好地处理问题．因此，学生需要对问题的各项变量进行分解，还需对不同变量间的关系进行深入分析．
第二，要对题目内容进行审慎检查，认真思考题目涉及的各种数学概念，还要对函数关系进行整理，同时分析题目中各项概念产生的影响，总结归纳出一个函数关系，以便得到最终的结论．
第三，要保证学生具有基本的数学解题能力，在此基础上结合同构方程法有效解决疑难数学问题．如在解答一些复杂的数学问题时，学生必须掌握基本的几何知识㊁代数知识㊁函数知识以及微积分知识，否则将无法灵活且有针对性地利用同构方程法处理问题，也就无法发挥出该方法的作用．数学教师还要重视锻炼学生的数学推理能力，以便于更好地推理解题思路，促进学生高效答题，进而取得高分．另外，学生也应掌握一定的现代技术学习能力，如会操作计算机设备和数学学习软件，利用其绘制函数图像，这将更方便学生汲取数学知识，学会推理技巧，使数学问题得到有效解决．
结㊀语
总的来讲，利用同构方程法解答高中数学题目虽然具备很多优势，但也并不算容易，教师只能在解题练习中从旁适当指导，最重要的还是要保证学生具备数学解题基本技能和良好的数学素养，可以深刻理解同构方程法，这样才能够有效运用该方法进行题目解析，在遇到难题时也能轻松应对．
ʌ参考文献ɔ
［１］申磊．核心素养导向下的高中数学解题研究［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（３）：５６－５８．
［２］凌冶昊林．例谈导数在高中数学解题中的具体运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２３（３）：２２－２３．
［３］吕成杰．基于构造法的高中数学解题思路探索探述［Ｊ］．数理化解题研究，２０２３（３）：２６－２８．
［４］朱婉．基于陶行知 民主教学 思想的高中数学解题教学［Ｊ］．教学管理与教育研究，２０２３，８（２）：８２－８３．［５］朱加义．同构方程视角下高中数学解题思考：
以解析几何试题为例［Ｊ］．数学之友，２０２２，３６（１６）：
６４－６６．。