湖北省武穴中学2012届高三11月月考 数学理

湖北省武穴中学
2012届高三年级11月月考
数学试题（理）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数lg(1)
=-的定义域为A，函数3x
y x
y=的值域为B，则A B=
（）
A．(0，1）B．（1，3）C．R D．φ
2．设α∈错误!,则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为（）
A．1，3 B．－1，1 C．－1,3 D．－1，1,3
3．已知命题2
∀∈+>，则（）
:,210
p x R x
A．2
⌝∀∈+≤
:,210
:,210
p x R x
⌝∃∈+≤B．2
p x R x
C．2
:,210
p x R x
⌝∀∈+<
⌝∃∈+<D．2
p x R x
:,210
4．若函数f（x）=x3+x2-2x—2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
那么方程
x3+x2-2x—
2=0的一个近似根（精确到0．1）为( ）
A ．1．2
B ．1．3
C ．1． 4
D ．1．5 5．等比数列{a n ｝中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 （ )
A ． 81
B ． 120
C ． 168
D ． 192
6．设,x y 满足约束条件0
4312
x y x x y ≥⎧⎪≥⎨
⎪+≤⎩
，则22
1y x ++的最大值是 （ )
A ． 5
B ． 6
C ． 8
D ． 10
7．已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ,若M 、N 、P 三点共线，O 为坐
标原点，且15
6ON a OM a OP =+（直线
MP 不过点O ）,则S 20等于
（ ） A ．10
B ．15
C ．20
D ．40
8．把函数)(x f y =
的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ，
C 关于x 轴对称的图像为x
y 2=的图像,则)(x f y =的函数表达式为
（ )
A ．2
2+=x y
B ．2
2+-=x y
C ．2
2--=x y
D ．)2(log 2
+-=x y
9．某种动物繁殖量y （只）与时间x (年）的关系为3
log (1)y a x =+,设这种
动物第2年有100只,到第8年它们将发展到
（ ）
A ．200只
B ．300只
C ．400只
D ．500只
10．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点"，如果函
数()g x x =，
()ln(1)h x x =+,()cos x x ϕ=（()x π∈π2
，）的“新驻点”分别为α,β
，
γ
，那么α，β，γ的大小关系是：
（ )
A ．γβα<<
B ．βγα<<
C ．
βαγ<<
D ．γαβ<<
二、填空题：本题共5个小题,每小题5分，共25分。

11．曲线3
1y x
x =++在点()1,3处的切线方程是 。

12．ABC ∆中，A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，且2a c ==，2AB BC ⋅=-，
则b = ．
13．已知0x >，0y >,123
x y +=，则11x y
+的最小值是 ．
14．已知函数6
(3)4(6)
()(6)
x a x x f x a
x ---≤⎧=⎨
>⎩设*(),n
a
f n n N =∈，若{}n a 是递增数列，则
实数a 的取值范围是 。

15．如右图,函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R ，（其
中0≤ϕ≤2π
）的图像与
y 轴交于点(0，1）．设
P 是图像上的最高点,M 、N 是图像与x 轴的交点，
则PM 与PN 的夹角的余弦值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、
证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知：(cos sin )A x x ，，
(11)B ，，OA OB OC
+=，
2()||f x OC =．
（Ⅰ）求()f x 的对称中心； (Ⅱ）求()f x 的单增区间．
17．(本小题满分10分） 在直角坐标系xoy 中，以o 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
1
)3cos(=-
π
θρ,M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点
（1）写出C 的直角坐标方程,并求出M,N 的极坐标; （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程
18．（本小题满分14分）某地需要修建一条大型输油管道通过120
公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站）．经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．
⑴试将y 表示成关于x 的函数；
⑵需要修建多少个增压站才能使y 最小？
19．（本小题满分12分)定义：若数列{}n
A 满足2
1
n
n A A
=+，则称数列{}n
A 为
“平方数列"。

已知数列{}n
a 中，21
=a
，
点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。

⑴证明：数列{}12+n
a
是“平方数列",且数列{})12lg(+n a 为等比数列。

⑵设⑴中“平方数列”的前n 项之积为n
T ,即12(21)(21)
(21)n
n T
a a a =+++，
求数列{}n
a 的通项及n
T 关于n 的表达式。

20．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,
且对于任意的R b a ∈,都满足:).()()(a bf b af ab f +=
).1(求)1()0(f f 及的值；
).2(判断的奇偶性,并证明你的结论；
).3(若
)(2
)
2(,2)2(*∈==N n f u f n
n n ，求证数列}{n u 是等差数列，并求}{n u 的通项公式
21．(本小题满分14分)已知函数
)0()(,ln )(>=
=a x a
x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F(x ）的单调区间；
(Ⅱ）若以(]3,0)((∈=x x F y ）图象上任意一点),(0
y x P 为切点的切线的斜
率
21≤
k
恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数
1)12(
2-++=m x a
g y 的图象与
)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点?若存在，求出m 的取值范围，若不存在,说明理由。

参考答案
一、选择题：CAACB DABAD
二、填空题: 11．4x —y-1=0 12．2 13．
9+ 14．（2，3)
15．1715
三、解答题：
16．（本小题满分12分）已知：(cos sin )A x x ，，
(11)B ，,OA OB OC
+=，
2()||f x OC =．
（Ⅰ)求()f x 的对称中心; （Ⅱ)求()f x 的单增区间．
17．（本小题满分10分) 在直角坐标系xoy 中，以o 为极点,x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M,N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点
（1）写出C 的直角坐标方程，并求出M,N 的极坐标; (2）设MN 的中点为P,求直线OP 的极坐标方程
解:(1）将极坐标方程为1)3
cos(=-πθρ化为：1sin 2
3
cos 2
1
=+
θρθρ 则其直角坐标方程为：123
2
1=+
y x ，)3
2,0(),0,2(N M , 其极坐标为)2,32(),0,2(π
N M （2）其中点P(1，
3
1） OP 的直线方程为x y 3
1=
,
化为极坐标方程为：θρθρcos 3
1sin ⋅=
即极坐标方程为6
πθ=。

18．(本小题满分14分）某地需要修建一条大型输油管道通过120
公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下
工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．
⑴试将y 表示成关于x 的函数; ⑵需要修建多少个增压站才能
使y 最小？
19．（本小题满分12分）定义：若数列{}n
A 满足2
1
n
n A A
=+，则称数列{}
n
A 为“平方数列"。

已知数列{}n
a 中，21
=a
，点),(1+n n a a 在函数
x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数。

⑴证明：数列{}12+n
a
是“平方数列”
，且数列{})12lg(+n a 为等比数列. ⑵设⑴中“平方数列"的前n 项之积为n
T ，即12(21)(21)
(21)n
n T
a a a =+++,
求数列{}n
a 的通项及n
T 关于n 的表达式。

19．解： (Ⅰ）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n , 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝
（2a n ＋1）2．∴｛b n }是“平方数列”．
∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg （2a 1＋1)＝lg5≠0,∴错误!＝2．∴{lg （2a n ＋1）}
为等比数列．
（Ⅱ）∵lg(2a 1＋1）＝lg5,∴lg(2a n ＋1）＝2n －1lg5,∴2a n ＋1＝5错误!,∴a n ＝错误!（5错误!－1）．
∵lg T n ＝lg （2a 1＋1）＋lg （2a 2＋1）＋…＋lg （2a n ＋1）＝错误!＝（2n －1）lg5． ∴T n ＝5错误!．
20．（本小题满分13分）已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，
且对于任意的R b a ∈,都满足：).()()(a bf b af ab f +=
).1(求)1()0(f f 及的值; ).2(判断的奇偶性，并证明你的结论;
).3(若
)(2
)2(,2)2(*
∈==N n f u f n
n n ，求证数列}{n u 是等差数列，并求}{n u 的通项公式
21．（本小题
满分14分）已知函数
)0()(,ln )(>=
=a x a
x g x x f ，设)()()(x g x f x F +=.
（Ⅰ）求F （x )的单调区间;
（Ⅱ)若以(]3,0)((∈=x x F y ）图象上任意一点),(0
y x P 为切点的切线的斜
率
21≤
k
恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ)是否存在实数m ,使得函数1)12(
2-++=m x a
g y 的图象与
)1(2x f y +=的图象恰好有四个不同的交点?若存在，求出m 的取值范围，若不存
在,说明理由。

21．解．（Ⅰ)
F )
0(ln )()()(>+=+=x x a
x x g x f x
)
0(1)('22>-=-=x x a
x x a x x F 2
分
）上单调递增。

在（由+∞∴+∞∈⇒>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a
由）上单调递减在（a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F
………4分
当x 变化时)().(x G x G '的变化情况如下表：
x
）
，（1-∞-（
—
1，0）
(0，1）
(1,∞+）
)(x G '的符
号
+ - + — )(x G 的单
调性
↗
↘
↗
↘
由表格知：0
2ln )1()1()(,21
)0()(>=-====G G x G G x G 极大值极小值。

(12)
分
画出草图和验证
212125ln )2()2(<+
-=-=G G 可知，当)2ln ,21
(∈m 时，
恰有四个不同的交点，与m y x G y ==)(
的图象与
时，当21
211)12()2ln ,21(22-+=-++=∈∴m x m x a g y m
交点。

的图象恰有四个不同的)1ln()1(22+=+=x x f y (14)
分。