2017-2018学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件与必要条件课件 新人教A版选修1-1

答案:充分
类型二 充分、必要条件的应用 【典例2】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m,且p是q的 充分条件,但不是必要条件,求实数m的取值范围. 【解题指南】根据充分条件、必要条件的意义列出不 等式组求解即可.
【解析】因为p是q的充分条件,但不是必要条件,
所以p⇒q但q p,
即{x|-2≤x≤10}是{x|1-m≤x≤1+m}的真子集,
1.2 充分条件与必要条件 1.2.1 充分条件与必要条件
主题 充分条件和必要条件 1.判断下列两个命题的真假,若为真命题,说明条件和 结论有什么关系? (1)若x>a2+b2,则x>2ab. (2)若ab=0,则a=0.
提示:(1)为真命题,(2)为假命题,(1)为真命题说明:由 条件x>a2+b2,通过推理可以得出结论x>2ab.
【解析】选B.当c为零时,由ac=bc a=b.
4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
【解析】(1)因为四边形的对角线相等 四边形是平 行四边形, 四边形是平行四边形 四边形的对角线相等, 所以p是q的既不充分也不必要条件.
ab
【解析】(1)如an=(-3)n-1,a1=(-3)0=1,a3=(-3)2=9,满 足a1<a3,但数列{an}是摆动数列,不是递增数列,所 以,a1<a3 an<an+1;反之,若an<an+1,则数列{an}是递 增数列,则有a1<a2<a3,故有a1<a3,因此“a1<a3”是 “an<an+1”的必要条件. 答案:必要
所以
1 1
m＜ 2，或
m 10，
1 m 2, 1 m＞10，
解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}.
【方法总结】应用充分、必要条件求参数的取值范围 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系, 将问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式 或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.
(2)当a<0<b时, 1 0 1 ;
a
b
当b<a<0, 1 1 <0;
ab
当b<0<a时, 1 0 1 ;
b
a
当0<b<a时,0 1 1 .
ab
所以能使 1 1 成立的充分条件有①②④.
ab
答案:①②④
【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,判断“an<an+1”是 “a1<a3”的什么条件. 【解析】由(1)解析知,“an<an+1”是“a1<a3”的充分 条件.
(2)(2017·洛阳高二检测)下列式子:
①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a. 其中能使 1 1 成立的充分条件有________.(只填序
ab
号)
【解题指南】(1)看由“a1<a3”能否推出“an<an+1”, 由“an<an+1”能否推出“a1<a3”,然后下结论. (2)看①,②,③,④这几个条件能否推出命题 1 1 成立.
【补偿训练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α 内,“l⊥α ”是“l⊥m且l⊥n”的______条件(从“充 分”“必要”中选择一个填写).
【解析】l⊥α ⇒l⊥m且l⊥n,而m,n是平面α 内两条直线, 并不一定相交,所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α . 答案:充分
2.“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的 _______条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).
2.a<0,b<0的一个必要条件为 ( )
A.a+b<0 B.a-b>0 【解析】选A.a+b<0
C. a >1
b
D. a <-1
b
a<0,b<0,而a<0,b<0⇒a+b<0.
3.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题 是( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
3.如何理解充分条件、必要条件中的“充分”和“必 要”? 提示:“充分”即条件充分,有充足的理由;“必要”即 必须要有,缺之不可.
【预习自测】
1.直线y=kx+b过原点的充分条件是 ( )
A.b=0
B.b>0
C.b<0
D.b∈R
【解析】选A.b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线
y=kx+b过原点的充分条件.
【拓展延伸】充分条件和必要条件的本质区别 p是q的充分条件的含义是:要使q成立,只要满足条件p 就行;p是q的必要条件的含义是:要使p成立,必须满足 条件q才行.
从集合的观点看,必要条件的意义是:设集合A= {x|x满足条件p}, B={x|x满足条件q}, 若A⊇B,则p是q的必要条件; 若A⊉B,则p不是q的必要条件.
【解析】当a<0时,由根与系数的关系知x1x2=
1 a
<0,故
此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当
ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0,因为当
a=0时,该方程仅有一根为- 1 ,所以a不一定于0.由
2
上述推理可知,“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一
个负数根”的充分条件.
2.若把本例(1)中“a1<a3”改为“a1<a2”,其他条件不 变,则结果如何? 【解析】如an=(-1)n,a1=-1,a2=1,满足a1<a2, 但{an}不是递增数列,反之若an<an+1, 则有a1<a2,因此“a1<a2”是“an<an+1”的必要条件.
【方法总结】充分条件的两种判断方法
【微思考】 1.若p是q的充分条件,这样的条件p唯一吗? 提示:不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件,p可 以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等.
2.“若¬p,则¬q”为真命题,则p是q的什么条件? 提示:若¬p,则¬q为真命题,等价于若q,则p为真命题, 即q⇒p,故p是q的必要条件.
2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p,则q” 的命题都成立? 提示:都成立.
结论:充分条件与必要条件
命题 真假
推出 关系
条件 关系
“若p,则q”是真 命题
p_⇒__q
p是q的_充__分__条件 q是p的_必__要__条件
“若p,则q”是假命题
p____q p不是q的_充__分__条件 q不是p的_必__要__条件
【巩固训练】已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0}, 若x∈P是x∈Q的必要条件,求实数a的取值范围.
【解析】由题意知,Q={x|1<x<3},Q⊆P,
所以
a a
4 4
1, 3,
解得-1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[-1,5].
【补偿训练】不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而 不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是________.
(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)· (y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0, 所以p是q的充分不必要条件.
类型一 充分条件和必要条件的判断 【典例1】(1)(2017·杭州高二检测)在等比数列{an} 中,“a1<a3”是“an<an+1”的__________条件(从“充 分”“必要”中选择一个正确的填写).
【解析】不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1时 不等式成立,所以不等式的解为-a<x<-1.由题意有 (-2,-1) (-a,-1),所以-2>-a,即a>2. 答案:a>2
【课堂小结】 1.知识总结
2.方法总结 判断p是q的什么条件的方法 主要判断p⇒q,及q⇒p两命题的正确性,若p⇒q真,则p是 q成立的充分条件;若q⇒p真,则p是q成立的必要条件. 要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否 定.