安徽省黄山市2016-2017学年高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

（3）已知 x , y 满足约束条件 ⎨ y - 2 x + 6 ≥ 0 ，则 z = x - y 的最小值为 1
安徽省黄山市 2016-2017 学年高三上学期期末考试
数学（理）试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不
准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
（1）设复数 z 满足 z (1 + i ) = 2 ， i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是
（A ）1
（B ） i
（C ） -1 （D ） -i
（2）已知U = R ，函数 y = ln(1 - x ) 的定义域为 M ， N = { x | x 2 - x < 0} ，则下列结论正确的是
（A ） M N = M （B ） M (C N ) = U
U
（C ） M (C N ) = φ
（D ） M ⊆ C N
U
U
⎧
⎪ x + y - 3 ≥ 0 ⎪ ⎪
⎪ y - x ≤ 0 ⎩ 2
（A ）1
（B ）-1
（C ）3 （D ）-3
（4）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是
（A ） f ( x ) = 2x
（B ） f ( x ) = x sin x
（C ） f ( x ) =
1
（D ） f ( x ) = - x x
x
．．．
f (x ) = 2sin 2 x + ⎪ ，若将它的图象向右平移 6 个单位，得到函数
g (x )的图象，则函数 g (x )
（C ） x = π （D ） x = （A ） x = π
（5）执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[-2,2 ]，
则输出的 S 属于
（A ）
（B ） （C ） （D ）
（6）下列说法中不正确的个数是
①“ x = 1 ”是“ x 2 - 3x + 2 = 0 ”的必要不充分条件；
②命题“ ∀x ∈ R ,cos x ≤ 1”的否定是“ ∃x ∈ R ,cos x ≥ 1”； 0
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
（A ）3
（B ）2 （C ）1 （D ）0
（7）若 ( x 6
+
（A ）3
1 x x )n
的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于
（B ）4 （C ）5 （D ）6
（8）已知 ⎛ ⎝
π ⎫ π 6 ⎭
图象的一条对称轴的方程为
π π
12 （B ） x =
4 3 2 1
（9）已知 AB ⊥ AC ， AB = ， AC = t ，若 P 点是 ∆ABC 所在平面内一点，且 AP =
t
当 t 变化时， PB ⋅ PC 的最大值等于
（A ）-2
（B ）0 （C ）2 （D ）4
（10）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
AB AC
+ ， AB AC
（A ）
8
3
2
（B ）
4
3
2
2
（C ）
8 2
3 正视图
2 侧视图
（D ）
4 2
3
2
俯视图
x 2 + ax - (a > 1)，若对任意的 x ∈[0,4 ]，总 （12）已知函数 f (x ) = x 3 - 6 x 2 + 9 x , g (x ) = x 3 -
3 2 3
（A ） 1, ⎥
（B ） [9, +∞ )
（C ） 1, ⎥ [ 9, +∞ )
（D ） ⎢ , ⎥ [ 9, +∞ )
13.若实数 x ，y 满足 ⎨ x - y - 2 ≤ 0 ，则 z = - x + y 的最小值为 ．
⎪ y ≤ 1
4
2 44
1 = 1 ， a
14.在数列
{ }中，已知 a
16.若 sin( π
1 + a )
= ，则 cos(
- 2a ) =。

AB = 5 ，直线 AB 的斜率为 - ．
（11）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否
则一直发到 3 次为止．设学生一次发球成功的概率为 p ( p > 0) ，发球次数为 X ，若 X 的数学期望
E ( X ) > 1.75 ，则 p 的取值范围是
（A ） (0, 7 7 1 1
) （B ） ( ,1) （C ） (0, ) （D ） ( ,1)
12 12 2 2
1 a + 1 1 1
存在 x ∈[0,4 ]，使得 f (x ) = g (x 2
1
2
) ，则实数 a 的取值范围为
⎛ 9 ⎤ ⎝ ⎦
⎛ 9 ⎤ ⎡ 3 9 ⎤ ⎝
⎦
⎣ ⎦
一、填空题（20 分，每题 5 分）
⎧ x + y - 1 ≥ 0
⎪ 1 3 ⎩
n
n +1
= 2a + 1，则其通项公式为 a = 。

n n
15.三棱锥 P - ABC 中，平面 PAC ⊥ 平面ABC ， P A = PC = AB = 2 3 ， AC = 4 ， ∠BAC = 30︒ ，
若三棱錐 P - ABC 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
．
2π 6 3
3
二、解答题（70 分）
17.（12 分）如图， A , B 是椭圆 x 2 y 2 +
a 2
b 2
= 1(a > b > 0)的两个顶点，
1
2
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 l 平行于 AB ，与 x , y 轴分别交与点 M , N ，与椭圆相交于
C ,
D ．证明： ∆OCM 的面积等于 ∆ODN 的面积；
，且3sin A c os B+b sin2A=3sin C.
（2)讨论f(x)在区间 ,+∞⎪上的极值点个数；⎛1
18.（12分）
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A≠（Ⅰ）求a的值；π1 22
（Ⅱ）若A=2π
3
，求△ABC周长的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图（1），在平行四边形ABB A中，∠ABB=60︒，AB=4，AA=2，C，C分别为AB，A B的中点，现
1111111
把平行四边形AA C C沿CC折起，如图（2）所示，连结B C，B A，B A.
1111111
（Ⅰ）求证：AB⊥CC；
11
（Ⅱ）若AB=6，求二面角C-AB-A的
111
余弦值.
20．（本小题满分12分）设f(x
)=(xlnx+ax+a2-a-1)e x，a≥-2．
（1)若a=0，求f
(x)的单调区间；
⎫
⎝e⎭
⎪x=m+t
直角坐标系，直线l的参数方程是：⎨（t是参数）．
O B P
21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面
⎧2
⎪2
⎪y=2t ⎪⎩2C
E
A
D
（Ⅰ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=14，试求实数m值．（Ⅱ）设M
(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围
22.（10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)=x-a，a∈R.
（Ⅰ）当a=1时，求f(x)≥x+1+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f(x)+3x≤0的解集包含{x x≤-1}，求a的取值范围.
⎪ = x 2 17.（1）解：依题意，得 ⎨ ，解得 a = 2, b = 1 ，所以椭圆的方程为 + y 2 = 1；
⎪ a 2 + b 2 = 5 将其代入 + y 2 = 1，消去 y ，整理得 2 x 2 - 4mx + 4m 2 - 4 = 0 ，设 C (x , y ) ， D (x , y )，所以
4
⎪⎪
⎪
2
2
因为 x + x = 2m ，所以 2 y = 2 ⨯ - x + m ⎪ = - x + 2m = x ，
⎝ 2
1
⎭
故线段 CD 的中点为 m , m ⎪ ，因为 M (2m ,0 ), N (0, m )，
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数学（理）试题参考答案
一、选择题
题号
答案
1
B 2
C 3
A 4
D 5
D 6
B 7
C 8
C 9
B
10
A 11
C 12
C
二、13. -1
14.
2n - 1
15.18π
16.
- 7 9
三、
⎧
b 1 a 2 4 ⎩
（2）证明：由于 l / / AB ，设直线 l 的方程为 y = - 1
x + m ，
2
x 2
1 1
2 2
⎧∆ = 16m 2 - 32 (m 2 - 1)> 0 ⎨
x + x = 2m 1 2
x x = 2m 2 - 2 ⎪⎩
1 2
证法一：记 ∆OCM 的面积是 S , ∆ODN 的面积是 S ，
1
2
由 M (2m ,0 ), N (0, m ) ，则 S = S ⇔ 1
2
1 1 ⨯ 2m ⨯ y = ⨯ m ⨯ x ⇔
2 y = x ，
1 2 1 2
⎛ 1 ⎫ 1
2
1
1 2
从而 S = S ；
1 2
证法二：记 ∆OCM 的面积是 S ， ∆ODN 的面积是 S ，
1 2
则 S = S ⇔ MC = ND ⇔ 线段 CD , MN 的中点重合
1 2
因为 x + x = 2m ，所以 1 2
⎛
⎝
x + x y + y 1 x + x 1
1 2 = m , 1 2 = - 1 2 + m =
2 2 2 2 2
1 ⎫
2 ⎭
m ，
m⎪，从而S=S．
2⎭
⎛
解法一：（Ⅰ）因为3sin A c os B+b sin2A=3sin C，A+B+C=π，2
，所以cos A≠0，
==23，
=23⎢sin B+sin -B⎪⎥
=23 sin B+cos B⎪⎪
⎝22
=23sin B+⎪.
3
，所以
2
时，即B=时，sin B+⎪取得最大值1.
6时，△ABC周长取得最大值3+23.
所以线段MN的中点坐标亦为 m,
⎝1⎫
12
18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12分.
1
2
所以3sin A c os B+b s in A c os A=3sin(A+B)，
即3sin A c os B+b sin A c os A=3sin A c os B+3cos A s in B，
即b sin A c os A=3cos A s in B.
因为A≠π
故b sin A=3sin B，
由正弦定理得ab=3b，
所以a=3.
（Ⅱ）在△ABC中，A=2π
3
，a=3，
由正弦定理得，
b c sin B sin C
所以b=23sin B，c=23sin C，所以b+c=23sin B+23sin C =23(sin B+sin C)
⎡⎛π⎫⎤
⎣⎝3⎭⎦
⎛13⎫
⎭
⎛π⎫
⎝3⎭
因为0<B<ππ
3<B+π
3<
2π
3
.
所以当B+π
3=ππ
⎛
π
⎫
6⎝3⎭
故当B=π
解法二：（Ⅰ）由 3sinA cosB b sin2A 3sinC ， c bc b c bc b c
1
2
得 3sinA cosB
b sinA cosA 3sinC ，
由正弦定理，得 3a cosB ab cosA 3c ，
由余弦定理，得 3a a 2 c 2 b 2 b 2 c 2 a 2
ab 3c ，
2ac 2bc
整理得 b 2 c 2 a 2 a 3
0 ，
因为 A
2 ，所以 b 2
c 2 a 2 0 ，
所以 a 3 .
（Ⅱ）在 △ABC 中， A
2
，a 3 ，
3
由余弦定理得， 9 b 2 c 2 bc .
因为 b
2 2 2 2
b c
2
2
3 4
b c 2 ，
所以
3
4
b c 2 9 ，即 b c 2 12 ，所以 b c 2 3 ，
当且仅当 b c
3 时，等号成立.
故当 b c
3 时， △ABC 周长取得最大值 3 2 3 .
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象
能力、推理认证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，满分12 分.
证明：（Ⅰ）由已知可得，四边形 ACC A 均为边长为 2 的菱形，
1 1
且
AC
C
1
B C C 60 .
1 1
在图（1）中，取 CC 中点 O ，连结 AO ，B O ，AC ，
1
1 1
故 △ACC 是等边三角形，
1
所以 AO CC ，
1
⎧⎪ AB ⋅ m = 0 ⎧⎪ 3x - 3z = 0 由 ⎨ 1 得 ⎨ ， ⎪ AC ⋅ m = 0 ⎩- y - 3z = 0
1
AA
由 ⎨ 1 得 ⎨ ， ⎪⎩ AA ⋅ n = 0 ⎩⎪ ⎪ ⎪
同理可得 B O ⊥ CC ，
1
1
又因为 AO B O = O ，
1
所以 CC ⊥ 平面AOB ，
1
1
又因为 AB ⊂ 平面AOB ，所以 AB ⊥ CC .
1
1
1
1
（Ⅱ）由已知得， OA = OB = 3 ，AB = 6 ，
1
1
所以 OA 2 + OB 2 = AB 2 ，故 OA ⊥ OB ，
1
1 1
如图（2），分别以 OB ，OC ，OA 为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
1
1
得 C (0 ， - 1 ，0 ) ，B 1
(
3 ，0 ，0 ) ，A (
0 ，0 ， 3 )
， A (
0 ，2 ， 3 )
.
1
设平面 CAB 的法向量 m = (x ，y ，z ) ，
1
1 1
1
AB = 1
(
3 ，0 ， - 3
)， AC = (0 ， - 1 ， - 3 )
，
1 1
1 1
令 x = 1 ，得 z = 1 ， y = - 3 ，
1
1
1
所以平面 CAB 的一个法向量 m = (
， - 3 ，1)
.
1
设平面 AA B 的法向量 n = (x ，y ，z 1 1 2 2
2 ) ，
AB = 1
(
3 ，0 ， - 3 )
， = (0 ，2 ，0 ) ，
1
⎧ AB ⋅ n = 0 ⎧ 3x - 3z = 0 22
2 y = 0 1
2
令 x = 1 ，得 z = 1 ， y = 0 ，
2
2
2
注意到：当 x → +∞ 时， g ( x ) → +∞ ，故 g ( x ) 在 ( ,+∞) 上的零点个数由 g ( ) = (a - 1)(a + 1 + ) 的符
或 a ≥ 1 时： g ( x ) 在区间 ( ,+∞) 上无零点，即 f ( x ) 无极值点． 综上：当 - 2 ≤ a ≤ -1 - 或 a ≥ 1 时： f ( x ) 在 ( ,+∞) 上无极值
所以平面 AA B 的一个法向量为 n = (1 ，0 ，1) .
1 1
于是 cos < m ，n >= m ⋅ n m n 2 10
= =
5 ⨯ 2 5
，
因为二面角 C - AB - A 的平面角为钝角，
1
1
所以二面角 C - AB - A 的余弦值为 - 1 1 10 5
.
20．
解：（1）当 a = 0 时： f ( x ) = ( x ln x - 1)e x ，（ x > 0 ）
故 f ' ( x ) = (ln x + 1 + x ln x - 1)e x = ln x ( x + 1)e x
当 x = 1时： f ' ( x ) = 0 ，当 x > 1时： f ' ( x ) > 0 ，当 x < 1 时： f ' ( x ) < 0 ．
故 f ( x ) 的减区间为： (0,1) ，增区间为 (1,+∞)
（2） f ' ( x ) = (ln x + x ln x + ax + a 2 )e x
令 g ( x ) = ln x + x ln x + ax + a 2 ，故 g ' ( x ) =
1 1 1 + ln x + 1 + a , g '' ( x ) = - + x x
2 x
显然 g '' (1) = 0 ，又当 x < 1 时： g '' (x ) < 0 ．当 x > 1时： g '' (x ) > 0 ．
故 g ' ( x )
min
= g ' (1) = 2 + a ， a ≥ -2 ，∴ g ' ( x ) ≥ g ' ( x )
min
= 2 + a ≥ 0 ．
1
故 g ( x ) 在区间 ( ,+∞) 上单调递增
e
1 1 1
e
e e
号决定．
1 1 1
①当 g ( ) ≥ 0 ，即： - 2 ≤ a ≤ -1 - e e e
1 1 1
②当 g ( ) < 0 ，即： - 1 - < a < 1时： g ( x ) 在区间 ( ,+∞) 上有唯一零点，即 f ( x ) 有唯一极值点．
e
e e
1
1
e
e
1
1
当 - 1 - < a < 1时： f ( x ) 在 ( ,+∞) 上有唯一极值点．
e
e
21．
解：（Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 4cos θ 化为直角坐标方程为：
x 2 + y 2 - 4 x = 0
直线 l 的直角坐标方程为： y = x - m
⎩ y = 2sin θ
M (x , y ) 为曲线 C 上任意一点， x + y = 2 + 2 2 sin(θ + )
当 -1 ≤ x < 1 时，原不等式化为 - (x - 1) - (x + 1) ≥ 1 ，即 x ≤ - . 此时，不等式的解集为 ⎨ x -1 ≤ x ≤ - ⎬ .
综上，原不等式的解集为 ⎨ x x ≤ - ⎬ .
∴ 圆心到直线 l 的距离（弦心距） d = 2 2 - ( 14 ) 2 = 2 , 圆心 (2, 0) 到直线 y = x - m 的距离为 ： 2 2
|2 - 0 - m |
2 = 2 2 ⇒|
m - 2 |= 1
∴ m = 1 或 m = 3 5 分
（Ⅱ）曲线 C 的方程可化为（x - 2)2 + y 2 = 4 ，其参数方程为
⎧ x = 2 + 2cos θ
⎨
(θ 为参数）
π
4
∴ x + y 的取值范围是[2 - 2 2,2 + 2 2]
22.选修 4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类与整合思想等，
满分 10 分.
解法一：（Ⅰ） a = 1 时，原不等式可化为 x - 1 - x + 1 ≥ 1 ，
当 x < -1 时，原不等式可化为 (1 - x ) + (x + 1) ≥ 1 ，即 2 ≥ 1 ，
此时， 不等式的解集为{x x < -1}.
1
2
⎧
1 ⎫ ⎩
2 ⎭
当 x ≥ 1 时，原不等式化为 (x - 1) - (x + 1) ≥ 1 ，即 -2 ≥ 1 ，
此时，不等式的解集为 ∅ .
⎧
1 ⎫
⎩ 2 ⎭
（Ⅱ）不等式 f (x ) + 3x ≤ 0 的解集包含 {x x ≤ -1}，
等价于 x - a + 3x ≤ 0 对 x ∈ (-∞ ， - 1] 恒成立，
即 x - a ≤ -3x 对 x ∈ (-∞ ， - 1] 恒成立，
所以 3x ≤ x - a ≤ -3x ，即 4 x ≤ a ≤ -2 x 对 x ∈ (-∞ ， - 1] 恒成立，
当 x < a 时，不等式化为 a - x + 3x ≤ 0 ，解得 x ≤ - . 故当 a ≥ 0 时，原不等式的解集为 ⎨ x x ≤ - ⎬ ， 当 a < 0 时，原不等式的解集为 ⎨ x x ≤
⎬ ，
故 a 的取值范围为 [-4 ，2 ].
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为 f (x ) = x - a ，所以不等式 f (x ) + 3x ≤ 0 可化为 x - a + 3x ≤ 0 ，
当 x ≥ a 时，不等式化为 x - a + 3x ≤ 0 ，解得 x ≤ a ； 4
a 2
⎧ a ⎫ ⎩
2 ⎭
由于不等式 x - a + 3x ≤ 0 的解集包含 {x x ≤ -1}，
所以 - a ≥ -1 ，解得 0 ≤ a ≤ 2 . 2
⎧ ⎩
a ⎫ 4 ⎭ 由于不等式 x - a + 3x ≤ 0 的解集包含 {x x ≤ -1}，
所以 a ≥ -1 ，解得 -4 ≤ a < 0 . 4
综上， a 的取值范围为 [-4 ，2 ].。