《分部积分法》ppt课件

cos sin
x x
dx
cos x sin x
dx
cos x sin x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
P191 1 2
22
x)
C
说明: 1。也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，
但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。
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把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺 前者为 u 后者为 v.
序, 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
幂函数的幂次降低一次。即在
Pn (x)exdx Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx
中，总令
Pn (x) u
7
(ax b)sin xcos xdx
解：原式
(ax
b)
1 2
sin
2xdx
1 4
(ax
b)
sin
2xd
2x
1 4
(ax
b)d
cos
2x
1 4
(ax
b)
cos 2 x
xarccosx 1 x2 C
10
x arctan x dx.
解: 原式
x2 arctanx d .
2
1 x2 arctanx 1
2
2
x2 1 x2
dx
1 x2 arctanx 1
2
2
(1
1
1 x
2
)
dx
1 x2 arctanx 1 (x arctanx) C
2
2
11
1 x[sin(ln x) cos(ln x)] C 2
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分部积分公式 u dv u v vdu 1. 使用原则 : v 容易求出 vdu 比 udv 好求。
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v
后 3. 题目类型 :
分部化简 ; 循环解出; 递推公式
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1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
x ln x dx.
x2
解:
原式 =
ln x d . 2
1 x2 ln x 1 x2 1 dx
2
2x
1 x2 ln x 1 x2 C
2
4
12
x2 ln( x 1)dx
解：原式＝1 3
ln(
x
1)dx3
1[x3 3
ln(
x
1)
x3
x
1 dx] 1
1 3
x3
ln(
x
1)
(
x3 1) x 1
a 4
cos 2
xdx
1 (ax b)cos2x a sin 2x c
4
8
8
. Pn (x)arcsin xdx
Pn (x)ln(ax b)dx 型
arcsin xdx
udv uv v du
解：令 u arcsin x dv dx
du dx v x 1 x2
原式＝ x arcsin x
原式
x
cos(ln
x)
x[
sin(ln
x)]1dx x
xcos(ln x) xsin(ln x) cos(ln x)dx
原式
x cos(ln
2
x)
sin(ln
x)
c
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分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
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（先用换元，后用分部积分）
解: 令 x t , 则 x t2 , dx 2t d t
原式 2 t e t d t 令 u t d v d et
2(t et et ) C 2e x ( x 1) C
例11 求 cos(ln x)dx
解: 令 u cos(ln x) dv dx
udv uv v du
解:
u x,
则 du dx,
dv d sin x ,
v sin x
∴ 原式 xsin x sin x dx
xsin x cos x C
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. Pn (x)exdx
Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx 型
提示: 原式
则 u x2,
1
dx
1 3
x3
ln(
x
1)
[
x
1
1
(
x
2
x
1)]dx
1 3
(
x3
1)
ln(
x
1)
1 3
x3
1 2
x2
x
c
小结：若被积函数是幂函数与反三角函数或对数函 数的乘积，即有
Pn(x)arcsin xdx Pn (x)ln(ax b)dx
dv
Pn (x)dx
u u
arcsin x ln(ax b)
第二十七讲
1
第三节
第三章
分部积分法
分部积分法
2
由上节可知，换元积分法是在复合函数求导公式的 基础上得到的，是一种应用广泛的积分法则。但是当被 积函数是由两个不同类型函数的乘积时，如：
x sin xdx xe xdx x arctan xdx x ln xdx
等，换元积分法就不一定有效了。 本节中，我们将利用两个函数乘积的微分或导数 公式推得另一个求积分的基本方法 ——分部积分法
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分部积分法
设函数 u u(x)
v v(x) 具有连续导数
由微分公式 duv vdu udv
两边同时积分得: uv vdu udv
udv uv v du
分部积分公式
uvdx uv uv dx
1) v 容易求得 ; 容易计算 .
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. Pn (x)exdx Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx 型
xdx 1 x2
x arcsinx d(1 x2) 2 1 x2
x arcsin x 1 x2 c
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解: 令 u arccosx , dv dx , 则
du 1 dx, v x
1 x2
原式 = xarccosx
x 1 x2
dx
x
arccosx
d (1 x2 ) 2 1 x2
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ex sin x dx.
解: 原式 sin x d ex. ex sin x ex cos x dx
再令 u cos x ,dv exdx , 则 du sin xdx, v ex
ex sin x ex cos x ex sin x dx
故
原式
=
1 2
ex
(sin
x
cos
du 2xd x,
dv dcosx, v cos x,来自原式6xexdx
udv uv v du
解：原式 xdex xex exdx
xex ex c ex (x 1) c
小结：若被积函数是幂函数 Pn (x) 和正（余）
弦函数或指数函数的乘积，可用分部积分法。并设
幂函数为u 。这样通过一次分部积分，就可以使
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .
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的一个原函数是 求
解: x f (x) dx x d f (x)
x f (x) f (x)dx
x cos x cos x C
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
x
f
(x) dx
cos
x
2 sin x
x
2 cos x2
x
d
x
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I sin ( ln x) dx
解: 令
则 x et , d x et dt
I et sin t d t
et sin t et cos t d t
et (sin t cost) I
I 1 et (sin t cost) C 2