2019年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理(A卷02)

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2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（A 卷02）
学校:___________ 班级：___________姓名：___________考号：___________得分：
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．复数
()()
134i i i
++等于( )
A ． 7i +
B ． 7i -
C ． 77i +
D ． 77i -+ 【答案】A 【解析】复数()()()134********
i i i i i
i i
i
i
++-+
++-==
=+-．
故选A ．
2．可表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
，故选．
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．
710 B ． 58 C ． 38 D ． 310
【答案】B
【解析】至少等待15秒的对立事件为等待不超过15秒，由几何概型知
155
1408
P =-
=，故选B ． 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是84，乙班学生成绩的中位数是85．则2x y +的值为（ ）
A ． 10
B ． 12
C ． 13
D ． 15
5．
1+i
i
=
A ． ． C ． 1- D ． 1 【答案】B
【解析】将式子化简为
()1111
i i i i i ++==--， 1+i
i = 1i -= 故答案为：B ．
6．记A ， B 分别为事件A ， B 的对立事件，如果事件A ， B 互斥，那么（ ） A ． A B ⋃是必然事件 B ． A B ⋃是必然事件 C ． A 与B 一定互斥 D ． A 与B 一定互斥 【答案】B
【解析】由题意事件A ， B 互斥，则A B ⊆，∴A B ⋃为必然事件，故选B ． 7．已知f(x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ． e 2
B ． e
C ．
ln2
2
D ． ln 2 【答案】B
【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)
f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e ．选B ．
8．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①若是虚数，则；②若复数满足
，则
；
③若复数，
，且对应的复数位于第四象限，则实数的取值范围是
；
④若
，则
．
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断．
详解：对于①,举例z=1+i ,但是，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小．所以①不正确．对于②，举例z=i，所以但是,所以②不正确．
对于③，=所以所以③正确．
对于④，若，举例但是不成立．所以④不正确．
故答案为：B
点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力．(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例．
9．在区间上任取一个实数，则的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
10．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：本题的难点在于解题的思路． 已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答． 11．函数的单调减区间为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 由函数，可得
，
又由，解得
，
所以函数
的递减区间为
，故选B ． 11．已知()()
22
12ln 22
f x x ax x x ax =+-
-在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ． {}1 B ． {}1- C ． (]0,1 D ． [
)1,0- 【答案】B
【解析】()()
22
1222
f x x ax lnx x ax =+-
-，()()2f x x a lnx ='+． ()f x 在()0+∞，上是增函数，()0f x ∴'≥在()0+∞，上恒成立．
当1x =时， ()0f x '=满足题意，当1x >时， 0lnx >，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≥恒成立
1x a a +>+， 10a ∴+≥，解得1a ≥-，当01x <<时， 0lnx <，要使()0f x '≥恒成立，则0x a +≤恒
成立，
1x a a +<+， 10a ∴+≤，解得1a ≤-，综上所述， 1a =-，故选B ．
点睛：本题主要考查的知识点是运用导数来求函数的单调性以及参量的取值范围．求导的含有参量，为满足题意，对其进行分类讨论，并且要满足同时成立，要注意本题的解题关键是分类，属于中档题．
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若复数z 的共轭复数z 满足()13i z i -=+，则z =__________．
【解析】由题意可得：
3=
1i
z i
+-，则3311i i z z i i ++=====-- 14．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2
的观测值k ＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”) 【答案】有关
【解析】计算的观测值27.6310.828k =>，则我们有有99．9%的把握认为打鼾与患心脏病是有关的． 15．一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________． 【答案】
6
π
【解析】设正方体箱子棱长为2，由已知条件可知，蜂蜜只能在一个半径为1的球内飞行，结合几何概型知识可
得蜂蜜“安全飞行”的概率4
386
p ππ
==，故答案为6π
．
【方法点睛】本题題主要考查“体积型”的几何概型，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总体积（总空间) 以及事件的体积(事件空间)；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 16．在区间
上随机取一个实数，则使函数
无零点的概率为__________．
【答案】 【解析】∵函数
无零点，∴
，即
．
∵在区间
上随机取一个实数，且区间的长度为，∴概率为，故答案为．
（一）必考题：共60分．
17．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：
（1）求m 的值及这50名同学数学成绩的平均数x ；
（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]
130,140的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成在
[]130,140的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率．
【答案】(1) 0.008m =，121．8(2) ()45
P A =
【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率，所以小长方形面积和为1，因此求得m;根据组中值与对应区间概率乘积的和等于平均值得x ；（2）先根据比例得男生4人，女生2人，再利用枚举法得从6名同学中选出3人的所有事件数，确定其中不含女生的事件数，得至少有一名女生事件数，最后根据古典概型概率公式求概率
试题解析：（Ⅰ）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯= 解得 0.008m =
950.004101050.012101150.024101250.04101350.012101450.00810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 121.8=
18．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率P；
(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．
【答案】（1）
5
18
；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
试题解析：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P＝＝＝．
(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4．
{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，
故P(X＝3)＝＝＝；
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)
＝1－－＝．
所以随机变量X的概率分布如下表：
因此随机变量X 的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×
＝．
19．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．
（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数； （2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人． ①记X 表示选取4人的成绩的平均数，求()87P X ≥；
②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布和数学期望． 【答案】（1）2000；（2）①
2
35
，②2． 【解析】试题分析：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中， 70分以下的有4人，不低于70分的有8人，从而求出从该校学生中任选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率，由此能求出该校这次测试成绩在70分以上的人数；（2）①由题意知70分以上的有72， 76， 76， 76， 82， 88， 93， 94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是： 82， 88， 93， 94，共1种；另一类是： 76，
88， 93， 94，共3种．由此能求出()87P X ≥；②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相
应的概率，由此能求出ξ的分布列和E ξ（）
． 试题解析：(1)众数为76，中位数为76．抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为
82
123
=，故该校这次测试成绩在70分以上的约有2
300020003
⨯
=（人）
②由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，3，4
()0444481
070C C P C ξ===
, ()134448168
17035C C P C ξ====,
()2244483618
27035C C P C ξ====,
()314448168
37035C C P C ξ====,
()4044481
470
C C P C ξ===
． ξ的分别列为
()0123427035353570E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．设()()2ln ,1
x x
f x
g x a x x ==+- ．
（1）证明： ()f x 在()0,1上单调递减； （2）若01a x <<<，证明： ()1g x >． 【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导,证明0＜x ＜1时, f (x)＜0 ．(2)第（2）问，
分0＜a ≤
1e 和1
e
＜a ＜1两种情况证明，每一种情况都是先通过求单调性再求函数的最小值大于1．
（2）g (x )＝a x
ln a ＋ax a －1
＝a (a
x －1
ln a ＋x
a －1
)，
当0＜a ≤
1e 时，ln a ≤－1，所以a x －1ln a ＋x a －1≤x a －1－a x －1
． 由（Ⅰ）得ln lna 11
x x a <
--，所以(a －1)ln x ＜(x －1)ln a ，即x a －1＜a x －1
， 所以g (x )＜0，g (x )在(a ，1)上单调递减， 即g (x )＞g (1)＝a ＋1＞1． 当
1
e
＜a ＜1时，－1＜ln a ＜0．
点睛：本题的难点在第（2）问，当0＜a ≤1e
时求导之后，怎么证明g (x )＝a x ln a ＋ax a －1＝a (a x －1ln a ＋x a －1
)＜0，其中用到了第一问的结论
ln lna
11
x x a <
--，不然不是很好判断导数的正负． 21．已知()()()323
1ln ,2
x f x x e e x g x x x a =--=-++．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
． 【解析】试题分析：
（1）求出函数()f x 的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数()f x 在()0,+∞上的值域为[
)0,+∞．结合题意可将问题转化为当()x 0,∈+∞时，满足()0g x ≥的正整数解只有1个．通过讨论()g x 的单调性可得只需满足()()10{ 20
g g ≥<，由此可得所求范围．
试题解析：
（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞． 因为()()1ln x
f x x e e x =--，
所以()x e
f x xe x
'=-， 令x e y xe x =-
，则20x x e
y e xe x
+'=+>， 所以当0x >时， ()x e
f x xe x
'=-是增函数，
又()10f e e '=-=，
故当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '<单调递减， 当()1,x ∈+∞时， ()()0,f x f x '>单调递增． 所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增． （2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值， 又()10f =，
所以()f x 在()0,+∞上的值域为[
)0,+∞．
因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个． 因为()32
32
g x x x a =-+
+，
所以()()2
3331g x x x x x =-+'=--，
所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，
所以()()10
{
20
g g ≥<，即1
{ 220
a a +≥-+<， 解得1
22
a -
≤<． 所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
． 点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点0为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为
24pcos sin θθ=, P 点的极坐标为3,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P
(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程; (2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求
11PA PB
+的值． 【答案】(1) 2
4x y = 直线l
的参数方程为12{
32
x t y =
=+
(t 参数)．
(2)
116
PA PB +=． 【解析】分析：(1)根据{ x cos y sin ρθρθ
== （θ 是参数），将24pcos sin θθ=左右两边同时乘以ρ，得2
4x y =．将
点P 的极坐标化为直角坐标，根据斜率写出直线的参数方程． (2)将A 、B 设成参数方程，联立曲线C
得
21434t ⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，整理化简利用韦达定理求11PA PB +的值．
详解：
(1)曲线C 的方程为2
4x y = 点P 的直角坐标为(0,3)
直线l
的参数方程为12{
32
x t y =
=+
(t 参数)．
点睛：本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标间的关系．通过联立参数方程和直角坐标方程，建立1t 与2t 关系的方法是解决参数方程的重点，关键是在联立是保证直线的方程为标准参数方程． 23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数．
（1）当
时，解不等式
；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)
;(2)
．
【解析】试题分析：（1）由题意，可将含绝对值的函数转化为分段函数，再逐段进行求解，汇总所得解，从
而问题可得解；（2
）由题意，可构造函数
，将其转化为分段函数，并作出其图象，结合其
图象，对参数的取值范围，进行分段讨论，汇总所有解，从而问题可得解．
（2）由，得．
令
作出的图象如图所示，
由题意知的图象恒在函数的图象的下方．
由图象可知，当经过点时，解得或．当时，的图象经过点，显然不成立；
当时，的图象经过点，成立，
所以，
即实数的取值范围为．。