数列难题汇编

数列难题汇编
⾼考数学常见难题⼤盘点：数列
1. 已知函数2()1f x x x =+-，
,αβ是⽅程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
(n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值；
(2)证明：对任意的正整数n ，都有n a ＞a ；
解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是⽅程f (x )＝0的两个根()αβ>，
∴αβ； (2)'()21f x x =+，21
115
(21)(21)12442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-
+-=-=-++ ＝5114
(21)4
212n n a a ++
-
+，∵11a =，
∴有基本不等式可知20a >(
当且仅当1a 时取等号)
，∴20a >
同，样3a
，……，n a α= (n ＝1，2，……)， 2. 已知数列{}n a 的⾸项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），2
4221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的⾸项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。

（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公⽐的等⽐数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等⽐数列，求实数a 的值；
（3）当a>0时，求数列{}n a 的最⼩项。

分析：第（1）问⽤定义证明，进⼀步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 的不同⽽要分类讨论。

解：（1）∵2n a b n n +=∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2)
由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠，
即{}n b 从第2项起是以2为公⽐的等⽐数列。

（2）1(44)(21)
34(22)221n n n a S a a a -+-=+
=--++- 当n ≥2时，111(22)23434
2(22)234(1)234
n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==+
+--+-- ∵}{n S 是等⽐数列, ∴1
-n n S S (n ≥2)是常数，
∴3a+4=0，即4
3
a =-。

（3）由（1）知当2n ≥时，2(44)2(1)2n n n b a a -=+=+，
所以2
21(1)
(1)2(2)
n n a n a a n n +=?=?+-≥?，所以数列{}n a 为2a+1，4a ，8a-1，16a ，32a+7，……
显然最⼩项是前三项中的⼀项。

当1(0,)4
a ∈时，最⼩项为8a-1；
当1
4a =
时，最⼩项为4a 或8a-1；当11
(,)42a ∈时，最⼩项为4a ；
当1
2a =时，最⼩项为4a 或2a+1；
当1
(,)2
a ∈+∞时，最⼩项为2a+1。

点评：本题考查了⽤定义证明等⽐数列，分类讨论的数学思想，有⼀定的综合性。

考点⼆：求数列的通项与求和 3. 已知数列{}n a 中各项为：
12、1122、111222、……、111n 个
222n 个
……
（1）证明这个数列中的每⼀项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .
分析：先要通过观察，找出所给的⼀列数的特征，求出数列的通项，进⼀步再求和。

解：（1）12
(101)10(101)99
n n n n a =
-?+?- 1(101)(102)9n n
=-?+101101(
)(1)33n n --=?+ 记：A =101
3n - , 则A=333n
为整数
∴ n
a
= A (A+1) ，得证
(2)
21121010999
n n n a =
+- 2422112(101010)(101010)999
n n n S n =
++++++- 2211
(101110198210)891
n n n ++=
+?-- 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要⼀定的观察能⼒和逻辑推理能⼒。

4. 已知数列{}n a 满⾜41
1=
a ，()),2(2
111N n n a a a n n
n n ∈≥--=--．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）设2
1n
n a b =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）设2
)12(sin
π
-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，7
4<
n T ．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等⽐型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：（Ⅰ）12)1(1---=n n n a a ，])1(1
)[2()1(111
---+-=-+∴n n n n a a ，
⼜3)1(11=-+a
，∴数列()?
-+n n a 11是⾸项为3，公⽐为2-的等⽐数列． 1
)2(3)1(1--=-+n n n a ，即1
23)1(11+?-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1121+?+?=+?=---n n n n b ．
9264321)21(1641)41(19-+?+?=+--??+--??=n n S n n n n n ．
（Ⅲ）1)1(2)12(sin
--=-n n π
， 1
231
)1()2(3)1(1
11+?=----=∴---n n n n n c ．当3≥n 时，则1
231123112311311
2+?+++?++?++=-n n T <1221121
1321])(1[28112312312317141--+
=?+?+?++--n n 7
484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ． 321T T T << ，∴对任意的*∈N n ，7 4
点评：本题利⽤转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项
n a ，第三问不等式的证明要⽤到放缩的办法，这将到下⼀考点要重点讲到。

考点三：数列与不等式的联系 5. 已知α为锐⾓，且12tan -=
α，
函数)4
2sin(2tan )(2
π
αα+
+=x x x f ，数列{a n }的⾸项)(,2
1
11n n a f a a ==
+. ⑴求函数)(x f 的表达式；
⑵求证：n n a a >+1；
分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利⽤了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另⼀种出路。

解：⑴1)
12(1)
12(2tan 1tan 22tan 2
2=---=-=
ααα⼜∵α为锐⾓∴4
2π
α=
∴1)4
2sin(=+
π
α x x x f +=2)(
⑵ n n n a a a +=+2
1 ∵2
1
1=
a ∴n a a a ,,32都⼤于0 ∴02
>n a ∴n n a a >+1
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有⼀般性。

6. 已知数列{}n a 满⾜()
111,21n n a a a n N *
+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满⾜n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：
()2
311112
3
n n N a a a *++++
<∈分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等⽐型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。

解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a 故数列}1{+n a 是⾸项为2，公⽐为2的等⽐数列。

n n a 21=+∴，12-=n n a
（2）n n b n b b b b a )1(44
4411
11321+=---- ，n n
nb
n b b b 24)(2
1=∴-+++ n n nb n b b b =-+++2)(221 ①
1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②
②—①得n n n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③ 212)1(++=-+∴n n nb b n ④
④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所以数列}{n b 是等差数列
（3）1111
212211211-++=
-<-=n n n n a a 设132111++++=n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1
(2111
2+-+=n a S a
3
213212112<-=-<++n n a a a S
点评：数列中的不等式要⽤放缩来解决难度就较⼤了，⽽且不容易把握，对于这样的题要多探索，多⾓度的思考问题。

7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满⾜101a <<,
()1n n a f a +=; 数列{}n b 满⾜1111,(1)22
n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:
（Ⅰ）101;n n a a +<<<
（Ⅱ）2
1;2n n a a +<
（Ⅲ）若1a =则当n ≥2时,!n n b a n >?.
分析：第（1）问是和⾃然数有关的命题，可考虑⽤数学归纳法证明；第（2）问可利⽤函数的单调性；第（3）问进⾏放缩。

解：(Ⅰ)先⽤数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈. （1）当n=1时,由已知得结论成⽴;
（2）假设当n=k 时,结论成⽴,即01k a <<.则当n=k+1时,
因为0
x f x x x '=-
=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. ⼜f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)
故当n=k+1时,结论也成⽴. 即01n a <<对于⼀切正整数都成⽴.
⼜由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从⽽1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<
(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)=
2
ln(1)2
x x x ++-, 0
()01x g x x
'=>+,知g(x)在(0,1)上增函数.
⼜g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从⽽2
1.2
n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n n
b
b +12n +≥ ,
所以1211211
!2
n n n n n n b b b b b n b b b ---=??≥? ————① ,
由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31
212
12
122
2
n n n a
a a a a a
a a a --?< ,
因为12
a =
, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1
121222n a a a a -<
<112n n a -<2122
n a ?=12n ————② . 由①②两式可知: !n n b a n >?.
点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。

考点四：数列与函数、向量等的联系
8. 已知函数f(x)=
52168x
x
+-，设正项数列{}n a 满⾜1a =l ，()1n n a f a +=．
(1)写出2a 、3a 的值; (2)试⽐较n a 与
5
4
的⼤⼩，并说明理由； (3)设数列{}n b 满⾜n b =54－n a ，记S n =1
n
i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n
分析：⽐较⼤⼩常⽤的办法是作差法，⽽求和式的不等式常⽤的办法是放缩法。

解：(1)152168n n n a a a ++=-，因为11,a =所以2373
,.84a a ==
（2）因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<
155
48()52553444168432(2)22n n n n n n n
a a a a a a a +--
+-=-=
=?---, 因为20,n a ->所以154n a +-与5
4
n a -同号，
因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即5
.4
n a <
（3）当2n ≥时，1111
531531
()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=?
-=-- 113125224
n n b b --
所以2131212222n n n n n b b b b ----
所以3121(12)
11114(21)422124n n n n n S b b b --??
=+++<+++==- ?-??
点评：本题是函数、不等式的综合题，是⾼考的难点热点。

9. 在平⾯直⾓坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满⾜向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在⽅向向量为（1，6）
的
线上.,11a b a a -==
（1）试⽤a 与n 表⽰)2(≥n a n ；
（2）若a 6与a 7两项中⾄少有⼀项是a n 的最⼩值，试求a 的取值范围。

分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利⽤⼆次函数中求最⼩值的⽅式来解决。

解：（1）
,),,1(),,1(1111n a a C B A A b C B a a A A n n n n n n n n n n n n n =-∴--=-=++++共线，与
⼜∵{B n }在⽅向向量为（1，6）的直线上，6,6111
=-=-+-∴++n n n
n b b n
21123121...)(...)()()
1(6--++++=-++-+-+=-+-=∴n n n n n b b b a a a a a a a a a n a b
)2(26)9(3)2)(1(3)1(6
2
)
2)(1()1)((2≥+++-=--+--=?--+
--+=n a n a n n n n a a n n n a a （2）∵⼆次函数a x a x x f 26)9(3)(2+++-=是开⼝向上，对称轴为6
9
+=a x 的抛物线
⼜因为在a 6与a 7两项中⾄少有⼀项是数列{a n }的最⼩项，∴对称轴3624,2
15
69211]215,211[69≤≤∴≤+≤+=
a a a x 内，即应该在点评：本题是向量、⼆次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有⼀定的数学素养的。