资料：学年第一学期答案

北京工业大学2006-2007学年第一学期
“高等数学(工)-1”课程期末试卷答案
本试卷共6页，16道题。

考试时间95分钟。

考试日期：2007年1月10 日
一．单项选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 极限20
3
00
lim
x x tdt x
→+=⎰
【 A 】
（A ）23
（B ）13
（C ）2 （D ）16
(2) 函数31()3
f x x x =+在 【 A 】
（A ）(,)-∞+∞内单调增加 （B ）(,)-∞+∞内单调减少 （C ）0>x 时单调增加，0<x 时单调减少 （D ）非单调函数
(3) )(x f 在点0x 可导，则000
(2)(3)
lim 5h f x h f x h h
→+--= 【 A 】 （A ）)('0x f （B ）)('0x f - （C ）05'()f x （D ）0 (4) 广义积分⎰+∞
∞-dx x f )(收敛是指 【 D 】 （A ）⎰
-+∞→a
a
a dx x f )(lim
存在 （B ）⎰+∞
→b
c b dx x f )(lim 与⎰
+∞
→c a a dx x f )(lim
都存在
（C ）⎰--∞
→a
a a dx x f )(lim 存在 （D ）⎰+∞
→b
c b dx x f )(lim 与⎰-∞
→c
a a dx x f )(lim 都存在
(5) 若224lim 2
x ax x →+-有极限A ， 则 【 A 】
（A ）1,4a A =-=- （B ）1,4a A =-= （C ）1,4a A ==- （D ）1,4a A ==
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在题中的横线上。

(6) 若2,0
(),0
a x e a x f x x x
b x -⎧+≤=⎨++>⎩在0=x 可导，则=a -1 ，=b 0 .
(7) 1
21
(cos 1)3
x x x dx -++=⎰ 8/3 .
(8) 设1t >-时，有2ln(1)
x t
y t =⎧⎨
=+⎩，则 =x
y d d )
1(21t +=22d d ,x
y 2
)1(41t +-
.
(9) 2ln(1),'y x x y =+=2
11x
+-
,='')0(y 0 .
(10) 设)(x y y =是由y e xy e -=确定的隐函数，则)0('y =
e
1，)0(''y =
2
1e .
三．简答题：本大题共4小题，每小题8分，共32分。

解答应写出主要过程或演算步骤。

(11) 设sin ()|1|||
x
f x x x =
+-, 求)(x f 的间断点并判断类型. 解：间断点为0=x .
211)(lim 0
0=+=+→x f x ，011)(lim 0
0=+-=-→x f x .
0=x 为第一类跳跃间断点.
(12) 已知函数b xe x f x 2)(+=， 其中b 是常数， 回答下列问题： 1) 求⎰1
0)(dx x f ;
2) 若 ⎰=1
0)(dx x f b ，求b 及)(x f 的极值点和极值.
解：1）⎰⎰+=1
01
0)2e ()(dx b x dx x f x ⎰+-=1
102e |e b dx x x
x b b 2121e -e +=++=.
2）.1,21-=+=b b b
x e x x f )1()(+='.可能的极值点1-=x .
,)2()(x e x x f +=''0)1(>-''f , 1-=x 是极小值点。

极小值为.2)1(1--=--e f (13) 求不定积分⎰xdx x sin .
解： ⎰xdx x sin =⎰-x xd cos ⎰+-=xdx x x cos cos c x x x ++-=sin cos .
(14) 证明方程. 035=-+x x 只有一个正根.
解：记3)(5-+=x x x f .)(x f 连续，,03)0(<-=f 031)2(>=f . 根据连续函数的介值定理，在（0,2）内存在一点ξ，.0)(=ξf 方程0)(=x f 有一个正根.
,015)(4>+='x x f )(x f 单调增加. 所以方程0)(=x f 只有一个正根.
四．解答题：本大题共2小题，每小题9分，共18分。

解答应写出完整过程或演算步骤。

(15) 设有曲线)3(3
x x
y -=
，如下图所示：
1)求曲线上)3
2,1(点处的切线； 2)求由曲线与x 轴所围成的平面图形的面积；3)求曲线上相应于13x ≤≤的一段弧长.
y
O
1
3
1
2
()x x
y -=
33
x
解：1）21
2121
21)(x x x y -='-, 0)1(='y , 切线方程32=y .
2）面积⎰-=3
023
2
1
)31(dx x x S 30
25
23
|)15
2
32(x x -=354=. 3）x x
x x x y +=
-+='+-1
21]2121[1)]([1221
212
弧长⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=31311
21121dx x x dx x x 3432|)31(3123
-=+=x x . （16）设函数'()f x 是[0,1]上的连续函数， 且(1)0f =， 1). 证明等式： 1
1
()'()f x dx xf x dx =-⎰⎰
2）证明不等式：.)(max 21
)(1
01
0x f dx x f x '=≤≤⎰ 解：1）⎰⎰-='-1
01
0)()(x xdf dx x f x
⎰+-=1
010)(|)(dx x f x xf ⎰=1
)(dx x f . 2）⎰⎰'-=1010)()(dx x f x dx x f ⎰⎰'='≤1
010)()(dx x f x dx x f x
⎰'≤≤≤10
1
0)(max dx x f x x )(max 21
)(max 1
01
1
0x f xdx x f x x '=
'=≤≤≤≤⎰。