河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案

石家庄市第一中学
2013－2014学年度第一学期高二年级期末考试数学（理）试卷
命题人：刘艳江 审核人：孙邈
试卷一
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．
1．若函数2
1,
1,()2log 1, 1.x
x f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪->⎩，则(2)f -= A ．1 B ．
1
4
C ．3-
D ．4 2．对于数集A 、B ，定义：{}
,,A B x x a b a A b B +==+∈∈，,,a A B x x a A b B b ⎧⎫
÷==
∈∈⎨⎬⎩⎭
，若集合{}1,3A =，则集合()A A A +÷中所有元素之和为 A ．14 B ．16 C ．
163 D ．1
24
3．设0.3
0.33,log 3,log a b c e π===，则,,a b c 的大小关系是
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
4．已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线与圆2
2
450x y y +--=相切，则p 的值为
A ．10
B ．6
C ．
18 D ．124
5．已知程序框图如右图所示，则输出的i =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
6．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，且
():():()4:5:6b c c a a b +++=，则最大内角为
A ．150︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．90︒
7．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，Q 是AC 的中点，以P 为坐标原点建立平面直角坐标系，若(4,3),(1,5)PA PQ ==，则BC =
A ．(6,21)-
B ．(2,7)-
C ．(2,7)--
D ．(6,21)-
8．下列说法中正确的是
A ．若p q ∨为真命题，则,p q 均为真命题．
B ．命题“0
0,2
0x x ∃∈≤R ”的否定是“,20x x ∀∈>R ”．
C ．“5a ≥”是“2
[1,2],0x x a ∀∈-≤恒成立“的充要条件． D ．在△ABC 中，“a b >”是“sin sin A B >”的必要不充分条件．
9．计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有 A ．60种 B ．42种 C ．36种 D ．24种 10．关于函数()2(sin cos )cos f x x x x =-的四个结论：
；②最小正周期为π；③单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；④
图象的对称中心为(,1),2
8
k
k ππ+
-∈Z ．
其中正确的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．已知球的直径4PQ =，A 、B 、C 是该球球面上的三点，ABC ∆是正三角形，
30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒，则棱锥P ABC -的体积为
A
B
C
D
12．在数列{}n a 中，若满足11
1
2,(2,)1n n a a n n a -==
≥∈-*N ，则201220132014a a a =
A ．1-
B ．1
C ．1
2
D ．2
试卷二
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上． 13
．
若
623456
0123456(2x a a x a x a x a x a x a x
+=++++++，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为
*
* ．
14．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的
数据，则这个几何体的体积为_ * * ．
俯视图
15．设双曲线22
22:1(0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且
与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于点P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为 * * ．
16．给出下列三个命题： ①函数11cos ln
21cos x y x -=
+与ln tan 2
x
y =是同一函数． ②已知随机变量X 服从正态分布2
(1,)N σ，若
(2)0.72,P x ≤=则(0)0.28P x ≤=．
③如图，在ABC ∆中，1
3
AN NC =
，P 是BN 上的一点，若
211AP mAB AC =+
，则实数m 的值为311
． 其中真命题是 * * ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．(本小题满分10分）
已知：全集U =R ，函
数()lg(3)f x x =
-的定义域为集合A ，集合{}
02<-=a x x B
（Ⅰ）求U A u ð；
（Ⅱ）若A B A = ，求实数a 的范围．
18．(本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别是,,a b c ．已知cos 23cos() 1.A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若ABC ∆
的面积S =，5b =，求sin sin B C ⋅的值．
19．(本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯
形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．
（Ⅰ）求证：//AM 面SCD ；
（Ⅱ）求面SCD 与面SAB 所成二面角的余弦值．
20．(本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n a S n =++()n *
∈N ．
（Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；
（Ⅱ）求证：数列{}2n a +是等比数列； （Ⅲ）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T ． 21．(本小题满分12分）
近年来石家庄空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解石家庄市心肺疾病是否与性别有关，在河北省第二人民医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35
． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染．
下面的临界值表供参考：
（参考公式2
(),()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++其中)n a b c d =+++
22．(本小题满分12分）
已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长
为半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
石家庄市第一中学
2013－2014学年度第一学期高二年级期末考试数学（理）试卷
参考答案
一．选择题：DABCCB DBACBA 二、填空题：13． 1； 14
15
； 16．②③ 三．17． 解：(1)∵⎩
⎨⎧>->+030
2x x
∴-2<x <3 ………………2分
∴A =(-2，3)
∴(][)∞+⋃-∞-=，，
32A C u ………………4分 （2）当0≤a 时，φ=B 满足A B A =⋃ ………………分 当0>a 时，)(a a B ，-= ∵A B A =⋃ ∴A B ⊆
∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-3
2
a a 9
∴40≤<a
综上所述：实数a 的范围是4≤a …………10分
18．解：（Ⅰ）由cos 23cos() 1.A B C -+=得2
2cos 3cos 20A A +-=，解得1
cos 2
A =，所以3
A
π=
．
．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由1sin 2S bc A
=
==，得20bc =，所以4c =．
．．．．．12分 由余弦定理得a =222035
sin sin sin .2147
bc B C A a =
=⋅= 19． 解：（Ⅰ）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
)0,0,0(A ， )0,2,0(B ，)0,2,2(C ，)0,0,1(D ，)2,0,0(S ，)1,1,0(M ．
则()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ==-=--． 设平面SCD 的法向量是(),,,n x y z =则
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴,0,0n CD n SD 即⎩
⎨⎧=--=-.02,
02y x z x
令1=z ，则1,2-==y x ，于是)1,1,2(-=n ．
0=⋅n AM ，n AM ⊥∴．
∴ AM ∥平面SCD ． ……………………………………………………（5分）
（Ⅱ）易知平面SAB 的法向量为()11,0,0n =．设平面SCD 与平面SAB 所成的二面角为ϕ，
则
(
11,0,0n n cos n n
⋅=
⋅，即cos ϕ=．
∴平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为
3
6
．………………………………（12分）
20． 解：（I ）由题意，当1n =时，得1123a a =+，解得13a =． 当2n =时，得2122()5a a a =++，解得28a =． 当3n =时，得31232()7a a a a =+++，解得318a =． 所以13a =，28a =，318a =为所求． …3分 (Ⅱ) 因为221n n a S n =++，所以有11223n n a S n ++=++成立． 两式相减得：11222n n n a a a ++-=+．
所以122n n a a +=+()n *
∈N ，即122(2)n n a a ++=+． ……5分 所以数列{}2n a +是以125a +=为首项，公比为2的等比数列． ………7分 （Ⅲ）由(Ⅱ) 得：1
252
n n a -+=⨯，即1
52
2n n a -=⨯-()n *∈N ．
则1
52
2n n na n n -=⋅-()n *∈N ． ……8分
设数列{}
152n n -⋅的前n 项和为n P ，
则0
1
2
2
1512522532...5(1)2
52n n n P n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⋅+⨯⋅， 所以1
2
3
1
2512522532...5(1)252n n n P n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅，
所以1
2
1
5(122 (2)
)52n n n P n --=++++-⋅，
即(55)25n n P n =-⋅+()n *
∈N ． …11分
所以数列{}n n a ⋅的前n 项和n T =(1)
(55)2522
n
n n n +-⋅+-⨯
， 整理得，2(55)25n n T n n n =-⋅--+()n *
∈N ． ……12分 21．解：（1
．．．．．．．．．．（2）2
8.3337.879,K =≥有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；．．．5分
（3）ξ的可能取值为：0,1,2,3.
373107(0);24C P C ξ===12
3731021
(1);40
C C P C ξ===
21373107(2);40C C
P C ξ===333101
(3),120
C P C ξ===．
．．．．．．．．9分 721719
0123.24404012010
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯=．
．．．．．．11分 低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放（回答基本正确就给分）12分
22． 解：（Ⅰ）由题意知c e a == 所以2222
22
12c a b e a a -===． 即2
2
2a b =．所以2
2a =，2
1b =．故椭圆C 的方程为12
22
=+y x ．
（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
(,)P x y ，
由22
(2),1.2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222
(12)8820k x k x k +-+-=． 4
2
2
644(21)(82)0k k k ∆=-+->，2
12k <． 2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k -=+．
∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，2
1228(12)
x x k x t t k +==+，
12122
14[()4](12)
y y k
y k x x k t t t k +-=
=+-=+． ∵点P 在椭圆上，∴222222222
(8)(4)22(12)(12)
k k t k t k -+=++，∴222
16(12)k t k =+．
-2x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<
∴422
222
648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，∴22
(41)(1413)0k k -+>，∴214
k >． ∴21142k <<，∵222
16(12)k t k =+，∴2222
16881212k t k k
==-++，
∴2t -<<2t <<，∴实数取值范围为)2,3
6
2()362,2( --． （Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足
OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25
||PA PB -<
时，求实数t 的取值范围．
附件1：
石家庄一中2013～2014学年度第一学期 高二年级期末考试数学（理）试卷命题方案
依据《石家庄市第一中学考试命题制度》制定本次考试命题的方案如下：
一、命题分工
命题人：刘艳江审核人：孙邈
二、考试范围：学过所有内容
三、考试目的：过程评价
四、考试方式：
考试形式为闭卷、笔试。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

五、试卷结构及分值安排：
六、双向细目表（各学科根据学科特点制定）
数学教研室
2014年1月6日
附件2:
石家庄一中命题（审题）质量与保密责任承诺书本人参加高二第一学期期末数学（理）试卷考试命题（审题）工作，在命题工作期间直至考试结束，本着对学校负责，对学生负责的态度，严格遵守《石家庄一中考试命题制度》有关命
题质量、保密工作的相关要求，并作以下承诺：
1．命题内容符合本次考试的命题要求，无政治性、科学性错误，对试题内容和试题质量负责。

2．答案及评分标准正确、规范、准确。

3．不向任何人透露试题的内容和命题工作情况。

4．不向任何人透露命题人、审题人员姓名。

5．若违反该承诺，本人承担相应的处罚，处罚办法如下：（1）因命题、审题存在人为失误，试题存在质量问题，影响考试正常进行，造成后果的，按我校教学事故处理。

（2）违反命题保密工作规定，造成试题、答案及评分标准泄密，视情节轻重给予相应的处分。

命题承诺人签名：
审题承诺人签名：
第一责任人审核签名：
2014年 1月 6日
附件4：
石家庄一中2013－2014学年度第一学期
高二年级期末考试数学（理）试卷质量分析与评价1．试卷无有政治性、科学性、印刷错误。

2．双向细目表科学合理。

3．整卷知识覆盖面完整，难度适中，有一定的区分度，总体评价优。

4．对学生答题情况分析，从每题的平均分、得分率和存在的典型问题分析等方面分析。

5．对今后命题和教学的建议。

数学学科组
2014年1月6日说明：以上方面仅供参考，可结合本学科的特点灵活调整。