22.6三角形的中位线教案及反思

§22.6三角形的中位线
教学目标
1、了解三角形的中位线的概念；
2、了解三角形的中位线的性质“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半〃
3、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算
4、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。

教学重点、难点：
易掌握，是本节教学的难点。

教学设想：
教学过程
一、创设情境，引入新课
如图，为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地____
上选一点A,再分别找出线段AB、AC的中点D、E,假设测 B 出DE的长,就可以求出池塘的宽BC,你知道这是为什么吗？°
A
二、合作学习，开展能力：
1、动手操作：我们知道将一个三角形怎样分割成一个三角形和一个梯形，
只要剪的那条直线平行于三角形的一边就可以
提出新的问题：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形
(1)怎样剪？剪痕的位置有什么要求？
(2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？
学生动手操作，按“中位线〃位置剪开三角形，并拼出平行四边形(注意提
示：在拼之前标好各点名称，并且想好大概怎样拼）
2、引导学生概括出中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形
的中位线。

问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
——启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。

并结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在/ABC中，画出中线、中位线
3、猜测：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）
根据刚刚的操作猜测
三、师生互动，探究新知人
1、证明你的猜测（引导学生写出，求证，并启发分析）
1 B c
：/ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE幺士BC。

2
学生独立思考
根据刚刚操作，学生容易想到：如图，以点E为旋转中心，把/ADE绕点E, 按顺时针方向旋转180°,得到Z1CFE,那么D,E,F同在一直线上，DE=EF,且ZlADE^ZlCFEo
所以证明：
延长点E至F,使EF=DE,连接CF
易证/ADEg/CFEAZADE=ZF,AD=CF,，AB〃CF。

又「BD=AD=CF,，四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），・・・DF〃BC（根据什么？），・・・DE2,BC。

2
2、进行题后小结：
m延长DE到F,使EF=DE,连结CF,由△ADEg/iCFE,可得AD4FC。

(2)延长DE到F,使EF二DE,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形, 可得AD2FC。

(3)过点C作CF〃AB,与DE延长线交于F,通过证△ADEgACFE,可得AD4FC。

(这个局部因为学生的实际情况及时间关系，上课时未讲解，放在第二节课复习三角形中位线证明时给以补充)
3、启发学生归纳定理，并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半一一三角形中位线定理。

・・•点D、E是AB、AC的中点(或DE是三角形的中位线)
/.DE^-L BC(三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半)
2
为便于同学对定理能更好的掌握和应用，可引导学生分析三角形中位线定理的特点，即同一个题设下有两个结论，第一个结论是说明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论(也可以单独用其中结论)。

四、学以致用、落实新知
练习1、课本P98练习第一题
在原题的根底上，
A m在BC取中点F,连接DF,由三角形的中位线定理得\
D.°E DF〃—,DF二,那么四边形ADFE是
(2)连接EF,那么EF〃—,EF二, ^ 飞
(3)假设AB=10cm,AC=6cm,那么四边形ADFE的周长为cm
(4)假设△ABC周长为6cm,面积为12cm；那么ADEF的周长是c叫面积是cm
思考：从此题的练习我们可以看到①任意一个三角形有三条中位线②如果要将任意一个三角形分成四个全等三角形，只需要画出三角形的三条中位线练习2、请答复引例中的问题(1)
例题及分析：
例1、如图,DE是/ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点0.
求证:DE与AF互相平分。

小结：为什么想到连接DF,CE
从要证明的结论看可以证明它是一个平行四边形，所以改造平行四边形成为必须；从条件看有两边中点可考虑添加三角形的中位线。

练习3：
D为/ABC内一点，点E、F、G、H分别为AB、BC、DC、AD的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形
变式一：假设将AC线段取消，还能得到刚刚的结果吗？
变式二：假设取消AC,而D在BC的另一侧，还能得到同样的结果吗？
证明：如图，连接AC。

・「EF是/ABC的中位线，
/.EF^I A C（三角形中位线平行于第三边，且等于第三边一半）。

同理，HG2 2
,AC。

・・・EF01G。

・••四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形2
是平行四边形）
我们称四边形四个中点连接得到的四边形为中点四边形
由变式二，我们知道任意四边形得到的中点四边形是平行四边形，假设原来的四边形为矩形，那么得到的中点四边形是什么特殊的四边形？假设是菱形，正方形？
总结得到的四边形关键和原来四边形的什么量有关？
（因为时间关系课堂上没有更多的时间讨论变式二，放置第三课时总结）
五、小结回忆，反思提高
1、三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区别。

2、三角形中位线定理及证明思路。

3、中点四边形的特征小结
六、作业布置：
课后反思
本节课根本到达预期的效果，通过本节课的学习，学生能理解三角形中位线的概念，能通过操作探究三角形中位线的性质定理并且能由操作过程，领会三角形中位线的性质定理的证明思路和证明过程，能在不同的图形背景下比拟快速地找到三角形的中位线，并运用其性质定理计算和证明有关结论。

在教学过程中为便于学生的理解和提高学生的学习效果，我认为课堂上的几个处理是合理且有效的：
(1)让学生自己操作，将一个三角形剪成一个梯形和三角形并拼成一个平行四
边形，让学生动手，便于学生直观感受且形成证明定理的添加辅助线的思路，使这一较难的定理证明不至于太难，从而无从下手，，也到达了动态几何与静态的平面几何的结合。

但在操作中也产生了预期没有想到的问题，因为预期估计学生对于在哪里剪不会有什么问题，也希望学生能自己动脑而不是老师说学生无思考的操作，所以剪之前提示较少，有的学生在剪的时间花费较多；还有操作的学生不能从中转移到后面的学习，这与 1
班孩子对于新鲜事物易关注有关，也和平时教学涉及动会少有一定的关系。

为防止以上情况,首先让学生做好一个三角形,将其中两边涂成不同颜色,上课时让学生思考如何剪并且达成共识,应该从两边的中点处剪开，剪开之前先考虑如何拼,先有一定的预见性,当操作完成,对于容易沉浸于操作的学生,可以让他们展示自己的劳动成果,之后让所有学生将剪刀及纸片全收藏好。

(2)对于三角形的中位线的性质定理应用练习及例题安排比拟合理：
三边中点连成的三角形的讲解我认为还是不错的：
m在BC取中点F,连接DF,由三角形的中位线定理得DF〃—,DF二—,
那么四边形ADFE是,并说明理由。

\、
(2)连接EF,那么EF〃—,EF= >——迷
(3)假设AB=10cm,AC=6cm,那么四边形ADFE的周长为8F「
f
L
z _____ cm
(4)假设AABC周长为6cm,面积为12cm；那么ADEF的周长是cm,面积是cm
其中(1)(2)的安排，让学生熟悉在三角形中位线不是水平放置时，能熟练地看到三角形的中位线并直接应用它的性质定理，同时可以很清楚地看到三边中位线连成的三角形与原三角形在周长及面积上的关系。

在小结时可以加一问:任意三角形的任意一条中位线将原三角形分成面积之比为的两局部,也就是说我们刚刚的操作所得到的两局部面积比是一个确定的数。

其次，例题1安排是沿袭第一题的经验，目的培养学生说理的能力，能将直观结论通过逻辑演绎证明，这对于初学三角形中位线定理是很有必要，在练习中果然有很多学生不知如何表达，会将题中的条件分别写出。

练习2安排主要让学生在图形比拟复杂的情况下灵活熟练地使用三角形的中位线定理，而后的变式练习是进一步让学生掌握使用三角形中位线定理，让学生知道在解题中牢牢抓住寻找中位线并找出第三边
在教学中因为自己的紧张情绪，从而影响到学生的投入状态，尽管在教与学的过程中没有失误，也根本落实了教学目的，但总体感觉学生的学习热情与平
时比拟有所欠缺，这还需要自己在教学中提高自己的临场教学状态，引领学生全力投入，上出自己和学生都认为非常精彩的公开课。

局部补充习题：（网上下载）
典型例题
例、如图，：在山必U中，D、E、F分别为BC、曲和股的中点，4相□的
周长为463?.求：AR5F的周长.
分析：由于久E、尸分别是三角形三边的中点，所以应、DF、）都是k45c 的中位线.那么根据三角形的中位线的性质，可知它们的长度分别为第三边的一半，所以AOEF的周长为&的一半.
解答：:〃、夕是欧和。

的中点，・•・力是人48c的中位线，
DE=-AB DE=-AC f SF=-BC
2 .同理，2 2
DE+DF+EF=-（AB+AC-^-BC'）=-x46=23cm
：. 2 2
ADSF的周长为23cm.
说明三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，它不同于三角形的中线，要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系.那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系，解题时要注意运用这一关系.
选题角度：
主要侧重两点：一、有助于训练学生思维；二、有助于学生参与
习题精选
一、选择题
1.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形一定是（）
A.菱形
B.矩形
C.梯形
D.平行四边形
2.一个梯形的中位线长为？，两对角线互相垂直，那么这梯形的高为〔）
A./
B.21c.2D.不能确定其大小
3.三角形的三条中位线分别为空冽，44%6仃巴那么这个三角形的周长是［）
26cmQ924cm\)96.5cm
4.假设等腰梯形两底角为30口，腰长为在根，高和上底相等，那么梯形中
A.8、在
B.10s?c.（4Y3+4）U*D.
5.（北京市昌平区）如果梯形一底长为6,中位线长为8,那么另一底长为（）
A.14
B.IO
C.8
D.4
6.（南通市）如果，梯形/曾中，工"是中位线，工。

=。

，EF=b, 那么欧的长是（）
」（以+b）
A.2
B.2a-be.2b-ai）t a+;
7.（威海市）下面有三种说法：①任意四边形两组对边中点的连线互相平分；②任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；③梯形的两条对角线可能互相平分。

正确的选项是（）
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
二、填空题
1.（山东省荷泽地区）直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中
3
一个是等边三角形，如果它的中位线长为那么它的下底长是
2.（泉州市）梯形上、下底长分别为3和5,那么中位线长为_______ .
3.（北京市石景山区）如果梯形的上底长与下底长的比为1：2,中位线的长为24,那么梯形的下底长为.
4.（江西省）如图，等腰梯形力〃⑦中，工ZT/BU,乙9二45户，工ELEU于点反.45=AD=2cm,那么这个梯形的中位线长为加.
5.（龙岩市、宁德市）如图，）是人的中位线，劭平分乙4BC交"
于。

,假设万=2,那么用
B匕----------
6.（北京市石景山区）如图，在梯形/四中，皿耽,中位线砥交对角线劭于点0,打=12,且EO:OF=1:2,那么BC=.
7.（青海省）等腰梯形中，一个底角是45°,高为我,中位线长为帽，那么梯形的上底长是.
8.（绍兴市）如图，梯形4成力中，AD//BC f AD=BiA,BC=CD=12,
乙4■=45。

，点夕在加上，的比的延长线相交于点£假设工豆二10,那么
9.（天津市）如图，梯形力时中，工O//BC,对角线工如，且工。

="根,
=那么该梯形的中位线的长等于初.
10.（徐州市）如图，在梯形力时中，AB"CD,AE-=’,那么该梯
DS_1
形的中位线长为，假设EF//45,且西一马，那么站的长为一.
11.（安徽省）如图，在山&笫中，BC=a,%4,易，瓜是四边的
五等分点，匚;，弓，J,匚是力。

边的五等分点,那么AA+W+0匚二
A
12.（江西省）如图，要测量48两点间距离，在。

点设桩，取物中点C, 仍中点〃，测得“）=31.4米，那么工B=米.
13.（湖州市）如图，直角梯形/版的中位线）的长为以，垂直于底的腰18的长为”那么ACE0的面积等于.
三、解答题
1.如图，等腰梯形ABCD中，工0"BC,中位线行交"于G,旦然平分人阮口,
EG=a,GF=b
求梯形力四的周长.
2.如图，在梯形力四中，AD*£C,BC=3AD,E,/分别是对角线〃；BD 的中点.
求证：四边形力郎是平行四边形.
3.（哈尔滨市）如图，是梯形四口的中位线，AC,BD与MN交于F,E, AD=30M BC=40。

叫求成的长.
4.：如图，ZL45C中，。

是以上一点，Z&4C=90°,ZCAD=45。

,且BC=CD,
求证：A5=2/C
5.：如图，^SC中"〃为中线，过夕的直线交相于代交ZC于E,且工豆=EF.
求证：额=AC.
D
--4c
6.：如图，ZUBC中"是回的中点"是。

的延长线上的一点，一一3
DE交AB于F.
求证：DF=FS,
7.（泰州市）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分（如图）
D
8.如图，梯形加切中，ADl'l'BC9/£心口的平分线位交四的中点£
求证：2口=工0+灰二
9.如图，四边形力舒中，对角线力乙位交于。

，AC=B口，M,A,分别是
AD,8c中点，助V与1C,8〃分别相交于反E
求证：0E=OF.
B
10.如图，，必C和形外直线？，中线段延长线交？于■且目」，，8夕JJ, CC'JJ,,4r,81C为垂足.HZ)=DD(,
求证：由1'=3&+UC
11.如图，&48。

中，BM,CM平分乙肛右，乙4cs的外角，AM±BMM,
AN1CN于N.
A^=-(AB+AC-i-BC)
求证：2
12.（黄冈市）如图,在梯形力反刀中,ADHBC，AB=DC,BD工DC,且
BD平分乙&BC,假设梯形的周长为20o霁，求此梯形的中位线长.
13.（济南市）如图，&4BC中，RC二°.假设马，片分别是力民力。

的中
D、E\=-a
点，那么2
D3_1Q\_3
假设鼻，旦分别是口B、稣匚的中点，那么31=]]+幻=1
假设鼻，纥分别是33、3m的中点，那么""二丁;
假设此,4分别是以-田、纥-C的中点，那么以其=521,且“为
整数)
14.(绍兴市)如图，某斜拉桥的一组钢索以¥心上道共五条，它们相互平
行，钢索与桥面的固定点片月，月，匕，与中，每相邻两点等距离.
玛片玛号
门)问至少需知道几条钢索的长，才能计算出其余钢索的长？
(2)请你对(1)中需知道的几条钢索长给出具体数值，并由此计算出其余钢索的长.
提高：如图，：在四边形ABCD中，AD、BC不平行，E、F
分别是AB、CD的中点。

求证：EF<-(AD+BC)
2
分析：考虑到三角形任意两边之和大于第三边，我们可以
把AD、BC或EF转到一个三角形之中，也可能与中点E、F构成
相关的中位线，从而到达解题的目的。

证明：连结BD,取BD中点为0,连结0E,0F,
・・• E为DC中点，0为BD中点，・•. 0E二,BC。

同理可证：0F
二,AD。

2 2
而在AOEF 中，OE+OF〉EF, A-BC+-AD>EF,即EF<，(AD+BC)
参考答案：
一、1.D2. A3. B4. C5. B6. C7. B
二、1.以2.43. 324. 45. 26. 16
7.2一为8.30, 489. 6.510. 2, 211. 2a 12. 62.8
—ab
13. 2
三、i. 68+2a
EF=-(BC-AD) - —
2.先证2 ,那么命二/£),又EFMAU,故结论成立.
3.解：:脉是梯形力舒的中位线，
.・. A^//ADffBC
•/ MA = MS ,那么SS = ED,同理AF = FC.
ME = - AD NF = - AD
在心配)中， 2 ；在山4C£)中， 2 .
-(AD+ BC) - -AD- - AD
2 - - 2 2
=-(AD + BC-AD-AD)
2 -
= -(BC-AD)
2
= lx(40-30) = 5M
4.解法1：延长ZC至G,使= 连结〃
G；
解法2：取力〃的中点反连结方
5.解法1：取成中点乱连结〃队
解法2：取用中点也连结〃V
AL)=-AC
2DA= AG
又E,G分别是8。

，47的中点，，g3〃且即g3〃尸金・.・.EF=FE.
HZ\ \
/、\x
/、\\
B乙 ---------------
证法2：如图，过点后作。

为与协交于〃
//-4C
•"是仇?中点，.”是血的中点.・・・=2
AD=-AC
又・・・ 2 ,A HE=AD,
■:4HFE=UF口,ZFSH=^FD,HE=AD,
.・.LHFE=MFD,FS=DF
7fDEf/AF
8.证=
9.连DE,取切中点凡连EF,先证ACOE是及△,
EF=-CD EF=-(AD+BC)
那么2 ,而2 \：.CD=AD^BC
10取四中点G,连MG,NC
11.作DO”JJ于少
12.延长4队4V分别交故的延长线于反F,证明V是工或F的中位线
13.6cm
2s-1
14. 2，
15.(1)2条;(2)取以=2°制,8=3°w,那么c=40阳4=50•,二二60冽。