1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
(1) sin600º
( )
(A)
21 (B) －2
1
(C) 23 (D) －23
(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是
( )
(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为
( )
(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是
( )
(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)
12121-=B B A A (D) 12
121=A A B
B (5) 函数f (x )=
x
1( x ≠0)的反函数f －
1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x
1
(x ≠0)
(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，
内α的取值是 ( )
(A) (
432π
π，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(4
5π
π，) (C) (
432π
π，)∪(
2
345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ
，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )
(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是
( )
(A)
2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2
123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么
( )
(A) 2S S S '+=
0 (B) S 0=S S '
(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22
(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是
( )
(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有
( )
(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种
(12) 椭圆3
122
2y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的
( )
(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1
，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为
( )
(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3
(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为
( )
(A) arccos
2
15- (B) arcsin
2
15- (C) arccos
251- (D) arcsin 2
5
1-
(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞
→n lim S n =
1
1
a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
16．设圆过双曲线
116
92
2=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________
17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）
18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)
19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋
3
π
)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6
π)； ③y =f (x )的图像关于点(－
6
π
，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6
π
对称．
其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．
填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=
3
π
．求sin B 的值． 以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin
2ϕ
θ+cos
2ϕ
θ-， sin θ－sin ϕ=2cos
2ϕ
θ+sin
2ϕ
θ-，
cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2
ϕ
θ-.
(21)(本小题满分11分)
如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
(22)(本小题满分12分)
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．
(23)(本小题满分12分)
已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．
Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；
Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．
(24)(本小题满分12分)
设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．
Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (
3t ，2
s
)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =4
3
t －t 且t ≠0．
(25)(本小题满分12分)
已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋
n
b 1
)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与3
1
log a b n +1的大小，并证明你的结论．
1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（理工农医类）参考答案
一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）
1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）
16．
3
16
17．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题
20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．
解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .
由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2C
A -=2sin
B . 由A +B +
C =π 得 sin 2C A +=cos 2
B
，
又A －C =
3π 得 23cos 2
B
=sin B ，
所以
23cos 2B =2sin 2B cos 2
B
. 因为0<
2B <2π，cos 2
B
≠0， 所以sin
2
B =43， 从而cos
2
B =4132sin 12=-B
所以sinB=8
39
41323=⨯.
21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．
解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．
设曲线段C 的方程为
y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2
p
，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得
（x A +
2p ）2
+2px A =17， ① （x A －2
p
）2+2px A =9. ②
由①，②两式联立解得x A =
p
4
.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,
2;1,4A
A x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p
> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A
x p
所以p =4，x A =1.
由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2
p
=4. 综上得曲线段C 的方程为
y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.
解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点． 作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.
依题意有
x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=
222
2
=-DA
AM
，
由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+
2
2AE AN -=4
x B =|BF |=|BN |=6.
设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合
｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.
故曲线段C 的方程为
y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.
22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．
解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =ab
k
，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.
根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0）， 得 b =
a
a
+-230（0<a <30）. ① 于是 y =
ab k
=a
a
a k +-2302
26432+-
+-=a a k ⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+++-=
264234a a k
≥
()2
64
22
34+⋅
+-a a k
18
k =
， 当a +2=
2
64
+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.
故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），
即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2， 所以 ab 22+ab ≤30， 当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.
即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.
故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．
Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ， 所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ， 所以∠A 1AD =45º为所求.
Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23， 所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DE
D
A 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.
Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1
的距离.
连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ， 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .
根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得
D A S h S ABC B AA 13
1
311∆∆=， 即 3223
1
2231⨯⨯=⨯h 所以3=
h 为所求.
24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.
Ⅰ．解：曲线C 1的方程为
y =（x －t ）3－（x －t ）+s .
Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有
2221t x x =+， 2
221s
y y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.
代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：
s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），
即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ， 可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.
反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.
Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组
⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=s
t x t x y x
x y )()(3
3
有且仅有一组解.
消去y ，整理得
3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0， 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式
Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.
即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,
03s t t t t
所以 t t s -=4
3
且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.
解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.
3,11d b 所以 b n =3n －2.
Ⅱ．由b n =3n －2，知
S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+2
31-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+2
31-n ）]， 3
1log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+2
31-n ）与313+n 的大小.
取n =1有（1+1）>3113+⋅，
取n =2有（1+1）（1+
41）>3123+⋅， ……
由此推测（1+1）（1+41）……（1+2
31-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a >1时，S n >
3
1log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.
（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.
（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+41）……（1+2
31-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，
（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+1
31+k ） =1
3133
++k k （3k +2）. 因为()[]3
33343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()
22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=
k k ， 所以1
3133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+1
31+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.
由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.
由此证得：
当a >1时，S n >
3
1log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。