(好题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)(1)

一、选择题
1．如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，23AE CE ==，3DE =
，若
ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值（ ）
A ．24
B ．1233+
C ．183
D ．(353
2．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c 5△ABC 的面积S 5
cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ．5 C ．13D ．17
3．一艘游轮航行到A 处时看灯塔B 在A 的北偏东75︒，距离为6C 在A 的北偏西30，距离为123A 沿正北方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏东60︒方向，则此时灯塔C 位于游轮的（ ） A ．正西方向 B ．南偏西75︒方向 C ．南偏西60︒方向
D ．南偏西45︒方向
4．ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为S ，且
222()S a b c =+-，3a =tan C 等于（ ）
A ．
34
B ．
43
C ．34
-
D ．43
-
5．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =
2b =45B =︒，则A =（ ）
A ．30
B ．30或150︒
C ．60︒或120︒
D ．60︒
6．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a c
b +的值为（ ） A ．
24
B ．
22
C ．1
D ．2
7．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知3a =
cos sin b A B =，则A =（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π
8．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
15
D ．
17
9．已知ABC ∆中，2a =3b =60B =，那么角A 等于（ ）
A ．135
B ．45
C ．135或45
D ．90
10．在ABC 中，2C A π
-=，1
sin 3
B =
，3AC =ABC 的面积为（ ） A ．
32
2
B ．32
C ．22
D 33
11．已知点O 为ABC 的外心，且3
A π
=，CO AB BO CA ⋅=⋅，则ABC 的形状是
（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形
C ．直角三角形或等边三角形
D ．钝角三角形
12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若tan 7C =
52
cos 8
A =
，32b =ABC 的面积为（ ） A ．37B 37
C 37
D 37
二、填空题
13．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，ABC 的面积为24b c
，且
221
sin ()(1)sin sin 2
A B c B b A ++-=，则A =_______.
14．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .7 2.65≈；
3 1.73≈）
15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西
60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，
sin 23sin C B =，则A =____.
17．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为40h =的楼AB 的底部A 处和楼顶B 处分别测得仰角为60β=︒，30α
=︒，若山坡高为32a =，则灯塔高度是________.
18．在ABC 中，60,12,183ABC
A b S
=︒==，则
sin sin sin a b c
A B C
____________.
19．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，
3b =2a c +的最大值为______．
20．一渔船在A 处望见正北方向有一灯塔B ，在北偏东45方向的C 处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达D 处，这时灯塔B 和小岛C 分别在北偏西30和北偏东15的方向，则灯塔B 和小岛C 之间的距离为___________海里.
三、解答题
21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22
C ． （1）求角C 的大小；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．
22．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin2sin .a B b A = （1）若3,7a b ==
，求c ；
（2）求
cos cos a C c A
b
-的取值范围.
23．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcos A c ⋅=. （1）求角B ；
（2）若ABC 的面积为BC 边上的高1AH =，求b ，c . 24．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；
（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.
25．在①()
cos cos cos 0C A A B +=，②()cos23cos 1B A C -+=，
③cos sin b C B a +
=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，
___________，求角B 的值和b 的最小值.
26．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程220x -+=的两个根，且
120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
ACD △和CDE △中，结合正弦定理可求得6
ACE DCE π
∠=∠=
，这样可得,DC AC ，在ABC 中，由余弦定理得2
2
2
2cos
3
AC AB BC AB BC π
=+-⋅，应用基本不等式可得
AB BC +的最大值，从而可得四边形ABCD 周长的最大值．
【详解】
设ABC ACD ∠=∠2θ=，(0,
)2
π
θ∈，
∵CE 平分ACD ∠，∴DCE ACE θ∠=∠=， 又AE CE =，∴EAC ACE θ∠=∠=，
AE CE ==DE =AD =
ACD △中，由正弦定理得
sin sin CD AD DAC ACD =∠∠，则sin 22cos CD θθθ
==
， CDE △中，2DEC EAC ECA θ∠=∠+∠=，
由正弦定理得sin sin CD DE CED DCE =∠∠，则CD θ==，
∴
2cos θθ
=，解得cos 2θ=
，6πθ=，
∴
32
CD ==，
ACD △中，由角平分线定理得
AC AE CD DE ==
，得236AC =⨯=． ABC 中，23
ABC π
θ∠==
，
由余弦定理得2
2
2
2cos 3
AC AB BC AB BC π
=+-⋅，
即
222222
31
36()3()()()44
AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC =+-⋅=+-⋅≥+-+=+，当且仅当AB BC =时等号成立，12AB BC +≤，此时ABC 为等边三角形．
∴
AB BC CD DA +++的最大值为12315++=+ 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，在平面图形中充分利用平面几何的知识可减少计算量．本题解题关键是求出6
ACE π
∠=
．
2．A
解析：A 【分析】
由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝1
2
cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos
A ，运用余弦定理可求得边a . 【详解】
因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .
所以sin 2A ＋cos 2A ＝
14
cos 2
A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以
cos >0A ，故解得cos A .
所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－2×2×
5×25
＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】
本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
根据题设中的方位角画出,ABD ACD ∆∆，在ABD ∆中利用正弦定理可求出AD 的长，在
ACD ∆中利用余弦定理求出CD 的长，利用正弦定理求CDA ∠的大小（即灯塔C 的方位
角）. 【详解】 如图，
在ABD ∆中，45B =︒，由正弦定理有126
242
sin 45sin 603
2
AD AB ===︒︒，24AD =. 在ACD ∆中，余弦定理有2222cos30CD AC AD AC AD =+-⨯⨯︒，
因3AC
=，24AD =，12CD =，
由正弦定理有
sin 30sin CD AC CDA =︒∠，3
sin CDA ∠=60CDA ∠=︒或者
120CDA ∠=︒.
因AD CD >，故CDA ∠为锐角，所以60CDA ∠=︒，故选C. 【点睛】
与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.
4．D
解析：D 【分析】
首先根据正弦定理面积公式和余弦定理得到sin 2cos 2C C -=，再利用同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】
由题知：2
2
2()S a b c =+-，所以222sin 2=++-ab C a b ab c ，
整理得：222
sin 222-+-=
C a b c ab
，即sin 2cos 2C C -=. 所以()2
sin 2cos 4C C -=， 23cos 4sin cos 3-=C C C .
222
3cos 4sin cos 3sin cos -=+C C C
C C
，234tan 3tan 1-=+C C ，得23tan 4tan 0C C +=. 因为0C π<<，所以4tan 3
C =-. 故选：
D 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理面积公式和同角的三角函数，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】
∵
45a b B ===︒
∴根据正弦定理sin sin a b A B
=
，即sin sin 2a B A b ===
∵a b =>=
∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C
6．C
解析：C 【分析】
先利用正弦定理边角互化思想得出3
B π
=
，再利余弦定理1
cos 2
B =
以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出
2a c
b
+的值． 【详解】
sin cos 0b A B =
，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，
sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3
B π
=
.
a 、
b 、
c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得
222221
cos 222
a c
b a
c ac B ac ac +-+-===，
化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a c
b
+∴=，故选C ． 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
7．D
解析：D 【分析】
由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B =,1cos A
=
,可解出答案. 【详解】
由cos sin b A B =有1
sin cos b B A
=,
由正弦定理有sin sin a b A B
=, 又a =
即
1
sin cos A A
=
.
所以tan A =
因为A 为ABC 的内角，则3
A π
=.
故选：D 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
由题意得出点D 为AF 的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出
正确答案. 【详解】
2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点
由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+
解得：AB=
)
2
2
ABC
1
()sin601
2
17
sin60
2
DEF
AD
S
S
︒
︒
∴==
故选：D
【点睛】
本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.
9．B
解析：B
【分析】
先由正弦定理求出sin A，进而得出角A，再根据大角对大边，大边对大角确定角A
．【详解】
由正弦定理得：
sin sin sin
a b
A
B A
=⇒=
sin
2
A B
==，
∴45
A=或135，
∵a b <，∴A B
<，∴45
A=，故选B.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用．10．A
解析：A
【分析】
先利用已知条件得到2
2
B A
π
=-，再利用诱导公式和二倍角公式得到2
1
sin
3
A=，又
0Aπ
<<，可得
sin A=；已知AC=BC的长度，再根据三角形的面积公式in
1
2
s
S ab C
=，即可得出结果.
【详解】
由题意得：A B Cπ
++=，
()
B A C
π
∴=-+，
又
22
C A C A
ππ
-=⇒=+，
()22
22
B A
C A A
ππ
ππ⎛⎫
∴=-+=-+=-
⎪
⎝⎭
，
2
1
sin sin2cos212sin
23
B A A A
π⎛⎫
∴=-==-=
⎪
⎝⎭
，
21
sin 3
A ∴=，
0A π<<，
sin A ∴=
由正弦定理得，sin sin BC AC
A B
=， 即3BC =，
2
C A π
=
+，
A ∴为锐角，
cos A ==，
sin sin cos 2C A A π⎛
⎫∴=+==
⎪⎝
⎭，
11
sin 32232
ABC
S
BC AC C ∴=
⋅=⨯=
. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
取AB 、AC 的中点E 、F ，利用向量加法的平行四边形法则以及向量得减法的几何意义可得2222a b c =+，再利用余弦定理得2bc a =，由正弦定理得边角互化以及两角差得正弦公式求出3
B π
=，即证.
【详解】
取AB 、AC 的中点E 、F ，
则()
CO AB CE EO AB CE AB ⋅=+⋅=⋅
()()
()2211
22
CB CA CB CA a b =
+⋅-=-， 同理()2
212
BO CA c a ⋅=-，所以2222a b c =+， 又3
A π
=
，由余弦定理，得222a b c bc =+-，
即222b c a bc +=+，所以2bc a =，
由正弦定理，得23sin sin sin 4B C A ==
， 即23sin sin 34
B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以23131cos 23sin sin sin sin 23244B B B B B B B π⎫-⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 32cos 22B B -=，所以2sin 226B π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 即sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 因为20,
3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以262B π
π
-=，解得3B π=， 所以3
A B C π===
， 所以ABC 是等边三角形. 故选：B
【点睛】 本题考查了向量加法、减法的运算法则，正弦定理、余弦定理、三角恒等变换，综合性比较强，属于中档题.
12．B
解析：B
【分析】 结合同角三角函数的基本关系可求出14sin 4C =，2cos 4
C =，14sin 8A =，由两角和的正弦公式可求出sin B ，结合正弦定理即可求出a ，进而可求出三角形的面积. 【详解】 因为sin tan 7cos C C C ==，且22sin cos 1C C +=，解得14sin C =，2cos C =，
又cos 8
A =，所以sin 8A ==，
故sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=
．
因为sin sin a b A B =，b =，故sin 2sin b A a B
==，
故11sin 22242ABC S ab C =
⨯=⨯⨯=△． 故选:B ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦定理，考查了三角形的面积公式，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】先由的面积为得到再用正弦定理余弦定理化简已知得解【详解】由三角形的面积公式可知得由得由正弦定理得即所以所以又所以又故故答案为：【点睛】方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时要注意观察等式再利用 解析：4
π 【分析】
先由ABC 的面积为24
b c 得到sin 2b A =，再用正弦定理余弦定理化简已知得解. 【详解】 由三角形的面积公式可知21sin 24
b c S bc A ==，得sin 2b A =， 由221sin ()(1)sin sin 2A B c B b A ++-=
得222sin (1)sin sin C c B A +-=， 由正弦定理得222(1)c c b a +-=即2222c b a b c +-=，
所以2cos b A = ，
所以sin cos A A =， 又2A π
≠，所以tan 1A =，
又0A π<<，故4A π=
故答案为：
4
π 【点睛】 方法点睛：化简三角形中的三角恒等式时，要注意观察等式，再利用正弦定理余弦定理角
化边或边化角化简求解.
14．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考 解析：130
【分析】
设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE π
θ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正
弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解.
【详解】
在Rt ABC △
中，AB =
，AC =
，可得CB =. 所以6ABC π
∠=
设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE π
θ∠=+，cos CE x θ=.
在BFE △
中，由正弦定理，可得cos sin sin 66x
x θπ
πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
12(cos )cos 2cos )2x x x θθθθθ++=+=，
sin()x θα===+
，其中tan α=， 所以当sin()1θα+=时，x
取到最小值，最小值为 故DEF
面积的最小值21sin 75 1.73129.7513023S x π=
⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130
【点睛】
本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △
中，得sin sin 66x
π
θ=+ ⎪⎝⎭
，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 15．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际
解析：)
101
【分析】
由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ，
所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒，
则30CDB ∠=︒，
设BA x =，
则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理
10sin 60sin 30x x +=︒︒， 解得)
531x = 所以船速为)()
153110312÷=. 故答案为：)
10
31 【点睛】 本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：由故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解 解析：6π
【分析】 由sin 23C B =，根据正弦定理“边化角”，可得3c b =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A .
【详解】
sin 23C B = 根据正弦定理：sin sin b c B C
= ∴可得23c b =
根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-
由已知可得：22a b -=
故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩
解得：cos A =
由0A π<< ∴6A π
= 故答案为：
6π. 【点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．28【分析】作于延长线交地面于则由求得从而可得然后即得【详解】如图于延长线交地面于则而所以即所以故答案为：28【点睛】本题考查解三角形的应用掌握仰角概念是解题基础测量高度问题常常涉及到直角三角形因此 解析：28
【分析】
作BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则AM BN =，AM DM ⊥，tan DM AM β=，tan DN BN α=，由40DM DN -=求得BN ，从而可得DM ，然后即得DC ．
【详解】
如图，BN DC ⊥于N ，DC 延长线交地面于M ，则tan DN BN α=，
tan DM AM β=，而BN AM =，所以tan tan BN BN h βα-=，即
(tan 60tan 30)40BN ︒-︒=
，40tan 60tan 30BN ==︒-︒
所以tan 60tan 60323228DC AM CM BN =︒-=︒-==．
故答案为：28．
【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握仰角概念是解题基础．测量高度问题常常涉及到直角三角形，因此掌握直角三角形中的三角函数定义是解题关键，有时还需要用三角函数恒等变换公式．
18．【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可【详解】由余弦定理可知故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用属于中档题
解析：12
【分析】
根据三角形面积公式以及余弦定理求解即可.
【详解】
113sin 12183222
ABC S bc A c ==⨯⨯⨯=△6c ∴= 由余弦定理可知222cos 144367263a b c bc A +-+-=6312sin sin sin sin 3
a b c a A B C A ++∴===++ 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题.
19．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中 解析：7
【分析】
由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．
【详解】
因为222
a c
b a
c +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π
=．
∵2sin sin sin sin 3
a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．
∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭
()A ϕ=+
，其中tan 2
ϕ=． 所以2a c +
的最大值为2A πϕ=
-时取得．
故答案为：
【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
20．【分析】求得在三角形中利用余弦定理求得【详解】依题意画出图象如下图所示在三角形中由正弦定理得所以在中所以在三角形中由余弦定理得所以故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理余弦定理解三角形属于中档题
解析：
【分析】
求得,BD CD ，在三角形BCD 中利用余弦定理求得BC .
【详解】
依题意，画出图象如下图所示，2AD =，301545BDC ∠=︒+︒=︒，
903060BDA ∠=︒-︒=︒，45,180********CAD ACD ∠=︒∠=︒-︒-︒-︒=︒， 在三角形ACD 中，由正弦定理得2sin 30sin 45CD =︒︒
，所以CD = 在Rt ABD △中，906030ABD ∠=︒-︒=︒，所以24BD AD ==. 在三角形BCD
中，由余弦定理得(
222424cos 458BC =+-⨯⨯︒=，
所以BC =
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.
三、解答题
21．（1）3π ；（2）4+23． 【分析】
（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +
6π）＝1，再根据角的范围可得解；
（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.
【详解】
（1）∵
3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ，且A +B +C ＝π， ∴3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，
∴sin （C +
6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．
（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，sin AB ACB ∠＝sin 3
AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23 ∵∠ACB ＝3
π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π， ∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝
3π，∴∠AIB ＝23π，
设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3
π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BI πθ-＝sin AI θ＝sin AB AIB ∠23sin 3
4， ∴BI ＝4sin （3
π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+
3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3
π＜23π， ∴当θ+3π＝2
π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3， 故△ABI 的周长的最大值为3．
【点睛】
关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.
22．（1）2c =；（2）()1,1-.
【分析】
（1）由正弦定理及二倍角公式可得1cos 2B =
，进而得解； （2）根据正弦定理边角互化可得cos cos 2233a C c A A b π-⎛⎫∴
=- ⎪⎝
⎭，结合锐角三角形的范围可得解.
【详解】
（1）由sin 2sin a B b A =，得sin sin2sin sin A B B A =，得2sin sin cos sin sin A B A B A =，得1cos 2B =
， 在ABC ，3B π
∴=，
由余弦定理2222cos b c a ac B =+-，
得27923cos 3c c π
=+-⨯，
即2320c c -+=，解得1c =或2c =.
当1c =时，22220,cos 0b c a A +-=-<< 即A 为钝角（舍），
故2c =符合.
（2）由（1）得3B π=
， 所以23
C A π=-，
cos cos sin cos cos sin 22sin 3a C c A A C A C A b B π--⎛⎫∴===- ⎪⎝
⎭
， ABC 为锐角三角形，62A ππ∴
<<，22333A πππ∴-<-<，
2sin 2232A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭
， cos cos 11a C c A b -∴-<
<， 故cos cos a C c A b
-的取值范围是()1,1-. 【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是熟练应用正余弦定理进行边角互化，正确分析锐角三角形中角的范围是解题的关键.
23．（1）
6
π；（2
）b =2c =. 【分析】
（1
）化角为边，化简得222c a b +-=，再利用余弦定理求角B ；
（2）由正弦定理算出c ，由面积公式算出a ，由余弦定理计算b 中即可.
【详解】 解：（1
）因为cos b A c =-
，所以2222b c a b c bc +-⋅=-，
所以22222b c a c +-=-
，即222c a b +-=.
由余弦定理可得222cos 22
c a b B ac +-==， 因为(0,)B π∈，所以6B π
=.
（2）由正弦定理可得sin sin 22sin sin 6
AH AH AHB c B ππ
∠===. 因为ABC
的面积为
11sin 22
ac B a ==
，解得a = 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-
=4842228+-⨯⨯=，
则b =
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
24．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形.
【分析】
（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.
（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为
sin sin B C +=()sin 601B +=求解.
【详解】
（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，
所以2
2(2)(2)a b c b c b c =+++，
即222b c a bc +-=-， 所以2221cos 22
b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈，
所以120A =.
（2）由（1）知()
sin sin sin sin 60B C B B +=+-，
()1sin sin 6012
B B B =+=+=， 因为()
0,60B ∈，
所以6090B +=，
解得30,30B C ==，
所以ABC 是等腰三角形.
【点睛】
方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用
三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．
25．条件选择见解析；3B π=
，b 最小值为12. 【分析】
选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得
tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.
【详解】
解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，
则由题可得：()()
cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()
cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，
sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，
sin sin cos A B A B =，
又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =
又()0,B π∈，所以3B π
=，
因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.
由余弦定理可得：
2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2
211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2
211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14
b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2
B =
或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）
若选择③
：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3
B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，
sin sin cos C B C B =， 又sin 0C ≠
，所以sin B B =
，tan B =
又()0,B π∈，所以3B π=
.（剩下同①）
【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 26
．S AB =
= 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.
【详解】
,a b
是方程220x -+=的两个根
, 2a b ab ∴+==,
又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：
(
)(2
2222222221cos 22222c a b ab c a b c C ab ab -⨯-+--+-====⨯
，解得c =
所以AB = ABC
的面积11sin 222S ab C ==⨯=。