角动量以及角动量守恒

dLz dt
Jz
d
dt
J z miri2 i
? 质点系的角动量定理 M 外
Z轴分量
Mz
dLz dt
dL dt
质元 mi : Fi 对O点的力矩
M i roi Fi
roi Fi roi Fiz
（垂直z轴）
roi Fi ri Fi riz Fi
（垂直z轴）
z
Mz
vi
Oi
ri mi
r 2
v dS dt dv
at dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
z
v dS
r d P
O 匀变速定轴转动
0 t
0t
1 t2
2
2 02 2
5.4 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒
对定轴的力矩和角动量
Mz
dLz dt
?
Li
Li roi mivi roi vi
Rg
LO Rmgt
、质点的角动量定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转
F 作用在点 P ,
r
F
P 的径矢 .
对转轴Z 的力矩
M rF
M Fd Fr sin
d : 力臂
F
F

Fi 0 , Mi 0
5
M
O dM zrP* F
F
F
Fi 0 , Mi 0
刚体内作用力和反作用力的力矩 （一对内力）
圆盘半径为 R, 总质量为 m .
解: Jz r2dm r2 ds R r 2 2 rdr
1. 刚体转动惯性大小的量度
J m jrj2
j
2. 转动惯量与刚体的质量有关 3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关 4. J 与转轴的位置有关
转动惯性的计算方法：
质量离散分布刚体 J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量连续分布刚体 j 线分布 dm dx J r 2dm 面分布 dm ds 体分布 dm dV
求木块在B点的速度 vB 的大小和方向.
解: m和M相撞时,系统的动量守恒
mv0 (m M ) vA
解:
mv0 (m M ) vA
O
L
L0 k
AB, 只有弹力作功, 机械能守恒
m v0
MA
vB
14
B
1 2
(m
M
) v2A
1 2
(m
M
) vB2
1 2
k(L
L0 )2
AB, 弹力对O点的力矩为零, 对O点角动量守恒
')
mi
vi
rc
]
C质心 ri '
ri
mi
i
[ri ' mivc ] [
i
miri '] vc
i rc
mivi
ri 'mi (vc vi ' )
M
miri '
i
M
vc Mrc' vc 0
rc
i
mivi
i
i
[ri ' mivc ]
i
i
[ri ' mivi ']
t2 t1
Mdt
L2
L1
对同一参考点O,质点所受的冲量矩等 于质点角动量的增量。
、质点角动量守恒定律及其应用
9
质点的角动量定理 M dL dt
若 M 0 则 dL 0
dt
或 L 常矢量
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零, 则质点对该
固定点的角动量矢量保持不变。
L
例：质点做匀速直线运动中，对O点
A’
刚体的平动和定轴转动
A
A”
1.平动:
在运动过程中若刚体上的
B
B’
B”
任意一条直线在各个时刻的位
置都相互平行,
任意质元运动都代表整体运动
2. 转动、定轴转动
刚体所有质元都绕一固定直线做圆周运动, 该固定直 线称为刚体定轴, 这种运动称为刚体的定轴转动
刚体的运动
平动+转动
只研究刚体绕定轴转动
刚体定轴转动的角量描述
质心相对于 c 的位矢=0 L rc Mvc [ri 'mivi ' ]
i
L rc Mvc [ri 'mivi ' ]
i
L L轨道 L自旋
轨道角动量
自旋角动量 也叫固有角动量
例,地球绕太阳转 . 电子绕原子核转
rc
、质点系的角动量定理
dLi dt
Mi
j j'
i
j j 分离出系统;
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
lim L r ms sin
t0 t
lim L
t 0
2m
t
2m
d
dt
若用 r表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
lim L
t 0
2m
t
自由下落质点的角动量轴旋转作用在点p对转轴z的力矩sinfr刚体内作用力和反作用力的力矩jiij一对内力互相抵消不在转动平面内把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量其中对转轴的力对转轴的力矩rpprvv质点的角动量定理质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率对同一参考点o质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量
Li mi roivi
Liz Li sin miroivi sin
质元 mi 到转轴的垂直距离
ri roi sin
Liz mirivi vi ri
(miri2 )
z
Mz
Oi
riz
vi
ri mi
ri
roi
O
Liz
Fi
Fiz
i
Fi
Lz (miri2 ) 刚体到转轴的转动惯量
Mi z
讨论
26
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
锥
摆
T
m oR
p
v
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统
动量守恒；
动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 . 机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
角动量守恒定律在技术中的应用
惯性导航仪（陀螺）
(m M ) vAL0 (m M ) vBL sin
vB
(m
m2 M
)2
v02
k(L m
L0 )2 M
1/ 2
arcsin
mL0 v0 L
m 2 v02
k(L
L0 )2 (M
m)
1 2
例：用轻质细绳将小球P拴于铅直细杆AB上的B点。给小球以初速
度v0，v0的方向垂直于AB平面，小球运动使细线逐渐缠绕于 AB杆上。初始时，小球与杆的距离为q0，求距离为q1时小球 的速率。
dd代Lti 表 M系 i统内ji的M质ij 点 ,j'
代' 表系统外的质点. M ij'
i
dLi dt i
Mi i
M ij
ji
i
M ij'
j'
M外
dL dt
L
Li
M ij
或
i
M ji M 外dt
0
dL
质点系的角动量定理 对应
M外
F
dP dt
、质点系的角动量d守L恒定律 ;
天体系统的旋转盘状结构
例. 光滑水平桌面上
O
L
放着一质量为M的木
块, 木块与一原长为
L0, 劲度系数为k的轻 弹簧相连, 弹簧另一
端固定于O点.
L0 k
m v0
MA
vB
13
B
当木块静止于A 处时, 弹簧保持原长, 设一质量为 m 的子弹
以初速 v0 水平射向 M 并嵌在木块中. 当木块运动到 B (OBOA)时, 弹簧的长度为L.
解： M z 0
Z 轴方向上角动量守恒
Lz 常量
mv q0 0 mv1q1
v1
q0 q1
v0
5.2 质点系角动量
、质点系角动量 选原点 O
质心在 c
n
L Li
(ri
i1 ri rc ri '
vi
vc
以上两式先后代入前式 L
mvi )
vi '
[(rc
ri
0
2m
d
dt
C D
r2
r2
v1
11
r1
B S
v2
其中 d /dt 称为掠面速度.
A
O
r1
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零,
所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
互相抵消 6
M ij
O
rj
ri
j
i
Fij
F ji
d
M ji
Mij M ji
讨论
7
1）若力F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于
转轴方 向的 两个分量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
z
k
Fz
F
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M
zk
r
F
O r F
M z rF sin
2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
1. 角位移 θ : 在 t 时间内刚体转动角度
z θ
2.角速度 :
lim d
t0 t d t
刚体定轴转动
角速度
的方向按右手螺旋法则确定
3.角加速度 α:
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
4. 线量与角量关系
dS r d
v r
切向分量
at
dv dt
r
d
dt
r
a 法向分量
an
v2 r
被中香炉
应用: 航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶 等. 它们的转子速度达万转每分;
若转子稍不对称, 就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使 其损坏, 所以设计转子精度要高.
北
北
南
南
角动量守恒使地球自转轴的方向在 空间保持不变,因而产生了季节变化.
直升飞机后面的螺旋浆
双浆直升飞机
5.5 定轴转动刚体的转动定律，转动中的功和能
L mr 2
角动量
只有动量横向分量具有角动量， 说明角动量是描述旋转强弱的 物理量
例：自由下落质点的角动量
o
R
A
（1） 对 A 点的角动量
任意时刻 t， 有
r
1 2
g
t
2
r
r
p mv mgt
LA
r
p
1 2
mt 3 g
g
0
（2） 对 O 点的角动量
m mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
5 角动量 角动量守恒定律
1
5.1 质点的角动量 角动量定理
、质点的角动量
定义: L r mv r p
----- 质点对参考点O的 质点角动量 或 质点动量矩
L
p
r mO
大小：L rp sin mrv sin
方向：垂直 r , p 组成的平面
r 为
质点以角速度 作半径
的圆运动，相对圆心的
微分式
M
外
dt
dL
这里
L Li
t2
L2
积分式 M dt dL L2 L1
t1
L1
t2
L2
积分式 M外 dt dL L2 L1
t1
L1
3 定轴转动刚体
i
M z(轴)
dLz dt
d J
dt
J
d
dt
t2
2
积分 M轴 • dt Jd J2 J1
t1
1
当 M 轴合外 0 时 J2 J1 恒量 定轴转动刚体角动量守恒
ri
riz
roi
O
Fi
Fiz
i
Fi
M iz | ri Fi | ri Fi sin i ri Fi
Mz M iz ri Fi sini
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
定轴转动刚体的角动量守恒
角动量定理 1 质点
由 M dL dt
微分式 M dt dL
2 质点系
dL 由 M 外 dt
j
j
M ij M ji M ij 0
j
M ej ( m jrj2 )α
j
转动惯量
J m jrj2
j
z
O rj
31 Fej
m j
Fij
转动定律 MJ 其中 M M ej j
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成
正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
、转动惯量的计算
32
转动惯量的物理意义:
dx x
l 2
dm dx
dx x
l
J z2 J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
Z
34
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
J z R2dm R2 dm mR2
R
dm
例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
刚体的转动定律
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
Ft mat mr M rF sin rFt
M mr2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
M ej M ij m jrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft
30
F
O rmFn
z
Fej
O
rj
m
j
Fij
M ej M ij m jrj2α
例: 一均匀细棒长 l 质量为 m
33
1) 轴 Z1 过棒的中心且垂直于棒
Z1
2) 轴 Z2 过棒一端且垂直于棒
求: 上述两种情况下的转动惯量 l
o
2
解: 棒质量的线密度 m
l
1)J Z1
l 2
l 2
x2 dx 1 ml 2
12
Z2
2)J z2
l 0
x2 dx 1 ml 2
3
o
dm dx
角动量是否守恒？
r
Lo r mv
O r
A
L 0 r mv sin
r mv
p mv
证明关于行星运动的开普勒定律: 任一行星和太阳之间的联线, 在相等的时间内扫过的面积 相等, 即掠面速度不变.