2021高二数学(理)第二学期期中测验试卷附答案

高二数学(理)第二学期期中测验试卷
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

(注：答案请填涂在答题卷里) 1、复数i 43+的共轭复数是（ ）。

（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 34+ （D ）i 34- 2、复数2
i i +在复平面内表示的点在（ ）。

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
3、“因指数函数x
a y =是增函数（大前提），而x y )31
(=是指数函数（小前提），所以x y )3
1(=是增函数
（结论）”，上面推理的错误是（ ）。

（A ）大前提错导致结论错 （B ）小前提错导致结论错 （C ）推理形式错导致结论错 （D ）大前提和小前提错都导致结论错 4、若)(1
21
31211)(*∈+++++
=N n n n f ，则1=n 时，)(n f 是（ ）。

（A ）1 （B ）31 （C ）3
1
211++ （D ）非以上答案
5、函数14)(2
+-=x x x f 在[]5,1上的最大值和最小值分别是（ ）。

（A ）)5(f ，)2(f （B ）)3(f ，)5(f （C ）)1(f ，)3(f （D ）)1(f ，)5(f 6、()10
21x +的展开式中系数最大的项是（ ）。

（A ）第5项 （B ）第6项 （C ）第7项 （D ）第8项
7、不同的五种商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同的排法共有（ ）。

（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种
8、设4
43322104)32(x a x a x a x a a x ++++=-，则3210a a a a +++的值为（ ）。

（A ）1 （B ）16 （C ）15 （D ）-15
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共需要做6小题（第13、14、15三小题，学生只需要选做其中两小题，三小题都做
的只计算第13、14小题的得分），每小题5分，共30分。

（注：把答案填在答题卷相应位置） 9、若x 是实数,y 是纯虚数，且满足y i x =+-212，则=x ,=y 。

10、5
23
)2(x
x +
的展开式中5x 的系数是 。

（结果用数值表示） 11、若函数1)(2
3
+++=x mx x x f 在R 上没有极值点，则实数m 的取值范围是 。

12、
⎰
-1
2)(dx x x = 。

13、在n
x x )12(2
3
-
的展开式中，若存在常数项，则正整数n 的最小值为 。

14、从2
2
2
576543,3432,11=++++=++=中，可得一般规律为 。

15、组织一支10人球队,由七所学校的学生组成,每所学校至少有一人,名额分配方案的种数为 。

（结果用数值表示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分13分)求曲线2
x y =与x y =
围成的平面图形的面积。

17、(本小题满分13分)计算：6
3)
1()31(i i ++-+i i
212+- 18、（本小题满分13分）设x bx x a x f ++=2
ln )(在1=x 与2=x 时都取得极值，试确定a 与b 的值；此时)(x f 在1=x 处取得的是极大值还是极小值？
19、(本小题满分13分)已知+
∈R m b a ,,，并且b a <，用分析法证明：b
a
m b m a >++ 20、（本小题满分14分）对于数列{}n a ，0(1
1>+
=a a
a a ，且)1≠a ，n n a a a 111-=+； （1）求432,,a a a ，并猜想这个数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想。

21、（本小题满分14分）已知函数cx x
b x x f +-+=
23)1(2
1
31)( (b 、c 为常数)； （1）若)(x f 在1=x 和3=x 处取得极值，试求b 、c 的值；
（2）若)(x f 在),(),,(21+∞-∞∈x x x 上单调递增且在),(21x x x ∈上单调递减，又满足12x x -＞1,求证：
)2(22c b b +>；
（3）在（2）的条件下，若1x t <,试比较c bt t ++2
与1x 的大小，并加以证明。

2007—2008学年度江门市四校联考第二学期期中测验 高二数学(理)试卷
参考答案及评分标准
三、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分 BBACA DCD
四、填空题：本大题共需要做6小题（第13、14、15三小题，学生只需要选做其中两小题，三小题都做
的只计算第13、14小题的得分），每小题5分，共30分。

9、
21
；i 2 10、40 11、[－3，3] 12、6
1- 13、5 14、2
)12()23()2()1(-=-++++++n n n n n 15、84 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分13分)
解：如图所示，解方程组⎩⎨⎧==x
y x y 2
得
⎩⎨
⎧==00y x 或⎩⎨⎧==1
1
y x ……5分 ∴曲线2
x y =与x y =
围成的平面图形的面积为：
31
3132)3132()(1
32
31
02=-=-=-=⎰x x dx x x S ……13分
17、(本小题满分13分)
解：原式=)21)(21()
21)(2(]
)1[()3()3()1(33)1(3)1(3
23223i i i i i i i i -+--+++⋅-⋅+⋅-⋅+- ……5分 =
2
23212
42)2(339331+---+
-++-i i i i i ……10分 =
5
588i
i -+
- ……12分 = i －i
= 0 ……13分 18、（本小题满分13分）
解：函数的定义域为（0，＋∞） ∵)(x f '＝
x
a
＋2bx ＋1 ……3分 由已知x ＝1与x ＝2是函数的极值点
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++='=++='0142)2(012)1(b a
f b a f ，解得⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-=6132b a ……7分 ∴)(x f '＝13
32+--
x
x ……9分 令)(x f '＞0，解得1＜x ＜2；令)(x f '＜0，解得0＜x ＜1或 x ＞2 ……11分 （用列表分析方法得到极值点）
∴函数)(x f 在1=x 处取得的是极小值。

……13分
19、(本小题满分13分)
证明： ∵+
∈R m b a ,, ，∴+
∈+R m b b ,
要证
b
a
m b m a >++ 只需证)()(m b a m a b +>+ ……5分 只需证am ab bm ba +>+
只需证am bm >
又+
∈R m ∴只需证a b > ……11分 由题设可知a b >显然成立，所以
b
a
m b m a >++得证 ……13分 20、（本小题满分14分）
解：（1）∵0)(1,1(13
4
21>--=+=
+=a a a a a a a a a 或或，且)1≠a ， n
n a a a 111-
=+ ∴43
21121)1(111
11a a a a a a a
a a a a --+=+
-+=-= ))
1(1,1,1(42
56342a a a a a a a a a a a --+=--=+++=或或或
6
5
24
322131)1(11)1(1111a a a a a a a a a a a a a --+
=--+-+=-=))
1(1,1,1(6
2
7853642a a a a a a a a a a a a a --+=--=+++++=或或或 8
7
26
523141)1(11)1(1111a a a a a a a a a a a a a --+=--+-+=-=
))
1(1,1,1(8
2
9107538642a a a a a a a a a a a a a a a --+=--=+++++++=或或或
……4分
猜想数列的通项公式为)(1)1(1*
2122N n a
a a a a n
n n ∈--+=- ……6分 ))
1(1,1,1(22
1222123242n
n n n n a a a a a a a a a a a a a --+=--=+++++++=++-或或或 （2）证明：①当1=n 时，a a a 11+=，a a a a a a
n
n +=--+-1
1)1(12122，显然成立…7分 ②假设当k n =时，猜想成立，即k
k k a a a a a 21
221)1(1--+=- ……9分
则k
k k k a a a a a a a a a 21
22111)1(11
11--+-+=-
=-+ 2
221)
1(1+---+=k k a a a a a 2
2123211+++-+--+=k k k a a a a a a 2
21221)1(1++--+=k k a a a a ∴当1+=k n 时，猜想也成立 ……13分
综合①②可证猜想对*
N n ∈都成立 ……14分 21、（本小题满分14分）
解：（1）c x b x x f +-+=)1()('2
由题意得，1和3是方程0)1(2
=+-+c x b x 的两根，
∴⎩⎨⎧⨯=+=-,31,311c b 解得⎩
⎨⎧=-=.3,
3c b
……4分
（2）由题意得，
当),(),,(21+∞-∞∈x x x 时，0)('>x f 当),(21x x x ∈时，0)('<x f
∴21,x x 是方程0)1(2
=+-+c x b x 的两根， 则c x x b x x =-=+2121,1,
……6分
∴21212
212
2
4)](1[2)](1[42)2(2x x x x x x c b b c b b -+--+-=--=+- 14)(212
21--+=x x x x 1)(2
12--=x x ∵112>-x x ∴01)(2
12>--x x ∴)2(22
c b b +>.
……9分
（3）在（2）的条件下，由上一问知
))(()1(212x x x x c x b x --=+-+
即x x x x x c bx x +--=++))((212
所以)1)(())((2112112x t x t x t x t x t x c bt t -+-=-+--=-++ ……12分 ∵t x x +>+>1112∴012<-+x t 又10x t <<∴01<-x t ∴0)1)((21>-+-x t x t 即12
x c bt t >++ ……14分。