高中三角函数专题练习题含答案

高中三角函数专题练习题含答案
一、填空题
1．已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛
⎫=⋅+- ⎪⎝
⎭定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m
-的最小值是________．
2．在ABC 中，AB =BC =1
cos 7
BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π
3
BDC ∠=
．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为
8π
3
．其中正确结论的序号为______．
3．已知()()
()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.
4．在
ABC 中，记角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，面积为S ，则
24S
b ac
+的最大值为
___________.
5．log sin()3
y x ππ
=+的单调增区间为________.
6．设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为
3π，则||||
c c b -的取值范围是____________．
7．已知向量a 与b 的夹角为θ，sin θ=
||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，
||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.
8．已知O 为△ABC 外接圆的圆心，D 为BC 边的中点，且4BC =，6AO AD ⋅=，则△ABC 面积的最大值为___________. 9．若向量x y ，满足2
2
1
2
x y +=，则2
1
||2
x x y +
+的最大值是___________. 10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则
sin cos A C 的最大值为______．
二、单选题
11．已知30.4
tan(1),tan0.1,a b c πππ
=+-==，则（ ）．
A ．b c a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
12．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
13．已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛
⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左
平移
12
π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程
()g x m =在70,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,3
B ．[)0,3
C ．[)2,3
D ．)
1,3 14．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1
x
g x f x x =
++在区间
[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
15．已知函数()*
()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至
少为
4π
，且在区间3(,)2
ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
16．设点()11,P x y 在椭圆22
182
x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则
2121x x y y -+-的最小值是（ ）
A
．1B C ．1D ．2
17．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝
⎭，已知,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直
线1312x π=
为() f x 图象的一条对称轴，且() f x 在1319,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减．记满足条件的所
有ω的值的和为S ，则S 的值为（ ） A ．
125 B ．85
C ．
165
D ．
185
18．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②
B ．①②③
C ．①③④
D ．②③④
19．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A=4π，BD AC =（ ）
A ．14
B ．12
C ．2
3
D ．34
20．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+
B ．()1,e -+∞
C ．(),e -∞
D ．(),e +∞
三、解答题
21．已知向量(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=-=>，若函数()12
f x a b =⋅+
的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；
（2）若关于x 的方程2
2cos 22cos 23301212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
在04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有
实数解，求实数a 的取值范围.
22．已知函数()cos f x x =.
（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；
（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；
（3）已知3
()()()=2
f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.
23．如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上.沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE .记CBD ∠为θ.
()1用θ表示栈道的总长度()f θ，并确定sin θ的取值范围；
()2求当θ为何值时，栈道总长度最短.
24．已知函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，将()f x 的
图象向左平移
9
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象. （1）求函数()g x 的解析式；
（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值；
（3）若对任意实数,()(0)a y g x ωω=>在,4a a π⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦上与直线12y =-的交点个数不少于6个
且不多于10个，求实数ω的取值范围.
25．已知函数()()2
sin 24sin 206x x x f πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝
⎭，其图象与x 轴相邻的两个交点的
距离为
2
π. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭
，求当m 取得最小值时，()g x 在7,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上的单调区间.
26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝2
3
π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝
θ(0)2
π
θ<<.
（1）当θ＝
3
π
时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．
27．已知函数()2sin cos cos2x x x x f =+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求()f x 在区间0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
28．函数2
11()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，2
2ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点
1,64π⎛⎫
⎪⎝⎭
（1）求ϕ值；
（2）将()y f x =的图像左移
8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？
29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2
A π
ωϕ>><
）的部分图象如图所示，把函数
()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.
（1）当17,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()g x 的值域
（2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值
30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2
π
）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；
（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．
【参考答案】
一、填空题
1．3
π
2．①③
3．1
4032
425．(2,2)(Z)3
6
k k k π
π
ππ-++∈
6． 7．25
8
．
9
10．12
+
二、单选题 11．D 12．A 13．C 14．B 15．C 16．D 17．A 18．B 19．A 20．B 三、解答题
21．（1）()sin(2)6f x x π
=-；（2）1a 或732
a +-.
【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得()f x 的解析式； （2）先化简()sin 212
f x x π
+
=，利用换元法，设sin 2cos2t x x =-，把目标方程转化为关于
t 的方程，分离参数后进行求解.
【详解】 （1）因为(
)
()()3cos ,cos ,sin ,cos 0a x x b x x ωωωωω=
-=>，
所以()2111cos 213sin cos 22222
x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+ sin(2)6
x π
ω=-.
因为()f x 的最小正周期为π，所以
22π
πω
=，即1ω=，所以()sin(2)6f x x π=-.
（2）由（1）可知()sin 212
f x x π
+
=.
因为2(sin 2cos 2)x x +22sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x =++12sin 2cos2x x =+， 222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 2x x x x x x -=-+12sin 2cos2x x =-，
所以22
(sin 2cos2)12sin 2cos211(sin 2cos2)x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦.
令sin 2cos2t x x =-，则22(sin 2cos 2)2x x t +=-，
则方程2
2cos 22cos 23301212a f
x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫++-+--+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
可化为()
2
222330a t t a ---+=，即22230at t a +--=.
因为0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以sin 2cos 22[1,1]4t x x x π⎛
⎫=-=-∈- ⎪⎝
⎭.
所以由题意可知，方程22230at t a +--=在[1,1]t ∈-时有解； 令2()223g t at t a =+--，
当0a =时，()23g t t =-，由()0g t =得3
2
t =（舍）；
当0a ≠时，则2
2230at t a +--=可化为2121
32t a t
-=-，
令221
32t y t
-=-，[1,1]t ∈-，设32u t =-，则1(3),[1,5]2t u u =-∈，
2
212(3)11(3)222u u y u u ⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦==⨯
1762u u ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，
因为7
u u
+≥
u =
当1u =时，7
u u
+
取到最大值8，
所以3,1]y ∈
，所以13,1]a ∈，解得1a 或73
2
a +-
. 所以实数a 的取值范围是1a 或73
2
a +- 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养. 22．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3
παβ== 【解析】 【分析】
（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；
（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得
1
a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t
=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则
可得26
5
a ≤-
，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22
(2cos
cos
)sin 02
2
2
αβ
αβ
αβ
+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.
【详解】 解：（1）4
tan 3
α=
，且α为锐角， 4sin 5α∴=
，3cos 5α=，22tan 24
tan 21tan 7
ααα==--
则22
7
cos 2cos sin 25
ααα=-=-
，
又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，
sin()αβ∴+=
，tan()2
αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-
242()
tan()tan 227241tan()tan 211
1(2)()7
αβααβα---
+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，
2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，
即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，
211t a t t t
+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，
又函数1
y t t
=+在[5,3]t ∈--单调递增，
∴当5t =-时，min 126
()5t t +=-，
265a ∴≤-
，则a 的最大值为26
5
-； （3）3
()()()2
f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2
αβαβ+-+=
，
cos cos()22αβ
αβ
α+-=+
cos
cos
sin
sin
2
22
2
αβ
αβαβ
αβ
+-+-=-，
cos cos()2
2
αβ
αβ
β+-=-
cos
cos
+sin
sin
2
2
22
αβ
αβ
αβ
αβ
+-+-=，
cos cos 2cos
cos
22
αβ
αβ
αβ+-∴+=，
又2
cos()2cos
12
αβ
αβ++=-，
2
32cos
cos
2cos 12
2
2
2
αβ
αβ
αβ
+-+∴-+=
， 则2
4cos 4cos
cos
1022
2
αβ
αβ
αβ
++--+=， 22
(2cos
cos
)1cos 022
2αβ
αβ
αβ
+---+-=， 即22
(2cos
cos
)sin 02
2
2
αβ
αβ
αβ
+---+=，
2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩
， 又0απ<<，0βπ<<， 3
π
αβ∴==
.
【点睛】
本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 23．()1()1232sin tan f θπθθθ=-+++，1sin ,13θ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
；()2当3πθ=时，栈道总长度最短.
【解析】
()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1
tan tan CD BE BD θθ==
=，1sin sin CD BC θθ
==，130sin AB AC BC θ=-=-
≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 则()1232sin tan f θπθθθ=-
+++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，进而确定sin θ的取值范围； ()2根据()12cos 23sin f θ
θθπθ-=-
++求导得()()2cos 2cos 1sin f θθθθ
--'=，利用增减性算出
()min 533
f π
θ=
+，进而求θ得取值.
【详解】
解：()1连CD ，CE ，由切线长定理知：1
tan tan CD BE BD θθ==
=，1sin sin CD BC θθ
==， CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，故2DCE πθ∠=-，
则劣弧DE 的长为2πθ-，因此，优弧DE 的长为2πθ+， 又3AC =，故130sin AB AC BC θ=-=-≥，1sin 3θ≥，即01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 所以，()1232sin tan f θπθθθ=-
+++，0,2πθθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭，则1sin ,13θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
； ()2()12cos 23sin f θθθπθ-=-
++，0,2πθθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，其中01sin 3θ=，00,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
()()
2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=
故3
θ=
时，()min 33
f θ=
+ 所以当3
π
θ=时，栈道总长度最短.
【点睛】
本题主要考查导数在函数当中的应用，属于中档题. 24．（1）2()sin(3)3
g x x π=+；（2）6π
；（3）4083ω<≤.
【解析】 【分析】
（1）根据正弦函数的对称性，可得函数()f x 的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得函数()g x 的解析式；
（2）将不等式进行转化，得到函数()()f x g x -在[0，t ]上为增函数，结合函数的单调性进行求解即可；
（3）求出()y g x ω=的解析式，结合交点个数转化为周期关系进行求解即可． 【详解】
（1）因为函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，其图象的一个对称中心是,09π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，所以有
()0sin[3()]0()
(0)993
3
f k k Z πππ
π
ϕϕπϕπϕ-=⇒-+=⇒-=∈<<∴=
，()f x 的图象向左
平移
9
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象.所以
2()sin[3()]sin(3)933
g x x x πππ
=++=+；
（2）由()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，构造新函数为
()()()sin3h x f x g x x =-=，由题意可知：任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有
()()()()1212f x f x g x g x -<-，说明函数()sin3h x x =在[0,]x t ∈上是单调递增函数，而
()sin3h x x =的单调递增区间为：
22232()()2
2
6
363
k k k x k k Z x k Z π
π
π
πππ
ππ-
+≤≤
+∈⇒-
+
≤≤+∈，而[0,]x t ∈， 所以单调递增区间为：06
x π
≤≤，因此实数t 的最大值为：6
π
；
（3）2()sin(3)3y g x x πωω==+
，其最小正周期23T πω
=， 而区间,4a a π⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦的长度为4π，
直线12y =-的交点个数不少于6个且不多于10个,则34T π≤，且54
T π
>，
解得：40
83
ω<≤. 【点睛】
本题考查了正弦型函数的对称性和图象变换，考查了正弦型函数的单调性，考查了已知两函数图象的交点个数求参数问题，考查了数学运算能力.
25．（1）()23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭（2）单调增区间为,612π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间
为5,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）利用两角差的正弦公式，降幂公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据其图象与x 轴相邻的两个交点的距离为2
π
，得出周期，利用周期公式得出1ω=，即可得出该函数的解析式；
（2）根据平移变换得出()223m x x g π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数()g x 的图象经过点
,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质得出m 的最小值，进而得出()223g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用
整体法结合正弦函数的单调性得出该函数在7,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调区间.
【详解】
解：（1）()2
sin 24sin 26x x x f πωω⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭
11cos22cos24222x x x ωωω-=--⨯+
3
2cos22
x x ωω=
+
23x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
由已知函数()f x 的周期T π=，
22π
πω
=，1ω=
∴()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到()g x 的图象
∴()223m x x g π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
∵函数()g x 的图象经过点,03π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
22033m ππ⎡⎤⎛⎫⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦，即sin 203m π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
∴23
m k π
π-
=，k Z ∈
∴26
k m π
π=+，k Z ∈
∵0m >，∴当0k =，m 取最小值，此时最小值为6
π
此时，()223g x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 令76
12x π
π-≤≤
，则2112336
x πππ
≤+≤
当
223
32x π
ππ≤+
≤或32112236x πππ≤+≤，即当612x ππ-≤≤-或571212
x ππ≤≤时，函数()g x 单调递增
当
2322
32x π
ππ≤+
≤，即51212
x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在7,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,612π
π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，57,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题主要考查了由正弦函数的性质确定解析式以及正弦型函数的单调性，属于中档题.
26．（1）6
π
.（2）sin θ=. 【解析】
（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理
sin sin OQ OP
OPQ OQP
=∠∠可得含α，θ的关系
式，将其展开化简并整理后得tanα
θ＝3π
代入得答案；
（2）令f (θ)
f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tanα
.
【详解】
（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝
23π
，所以∠AQO ＝3
π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ
在△OPQ 中，OQ
OP ＝3，∠POQ ＝
2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2
π
－α＋θ. 由正弦定理，得3
sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
＝cos (α－θ)．
展开并整理，得tanα
θ∈0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
.
此时当θ＝3π时，tanα
因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝
3
π时，∠OPQ ＝6π
.
（2）设f (θ)
θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
则f ′(θ)
令f ′(θ)＝0，得sinθ
θ0
满足0sin θ
则0cos θ=，即(
)02
f θ=
==
列表如下：
由（1）可知tanα＝f (θ)>0，则0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， tanα单调递增
则当tanα取最大值
2
时，α也取得最大值．
故游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，sinθ 【点睛】
本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 27．（1）最小正周期π；单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈（2）最大值和最小值
和1. 【解析】
（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得
()
24f x x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得()f x 的递
减区间；
（2）利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】
（1）因为()sin 2cos 224x f x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.
所以()f x 的最小正周期22
T π
π==. 由
32222
4
2
k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得588k x k ππππ+≤≤+，
所以()f x 的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. （2）因为0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以32,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.
所以当242
x ππ+=
，即8
x π=
当24
4
x π
π
+
=
或
34
π，即0x =或4x π
=时，函数取得最小值1.
所以()f x 在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π和1.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题. 28．（1）0ϕ=
（2）当4
x π
=
时，min ()4
g x =；当8x π=-时，max 1()2g x =
【解析】 【分析】
（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫
⎪
⎝⎭
和,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
即可求解具体ϕ值；
（2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，由,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x π
ππ⎡⎤
+
∈-⎢⎥⎣⎦
，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】
（1）11cos 21
()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+
⋅- 11
sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1
cos(2)2
x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫
∴=- ⎪⎝⎭
23
3
k π
π
ϕπ∴
-=
+或2()3
k k Z π
π-
+∈
又,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，0ϕ∴=
（2）由（1）知 1
()cos 22
f x x =
， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 32,444x π
ππ⎡⎤+
∈-⎢⎥⎣⎦
当324
4x π
π+=
时，即4x π=时，min ()g x =当204
x π
+
=时，即8x π
=-
时，max 1
()2
g x = 【点睛】
本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题
29．（1）1,02⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
（2）26
5- 【解析】 【分析】
（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫
- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由
此求得17,424x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令
()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组
求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值. 【详解】
（1）根据图象可知171,4123A T ππ
==
- 2,2,()sin(2)T f x x T
π
πωϕ∴=∴=
==+ 代入7,112π⎛⎫-
⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫
+=-=+∈ ⎪⎝⎭
， ||,0,2
3
k π
π
ϕϕ<
∴==
()sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
把函数()f x 的图像向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
设26t x π
=-
，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
此时sin t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
所以值域为1,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛
⎫=+∈- ⎪⎝
⎭
()()3[4,2]F x f x =-∈--
对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立 令()[4,2]t F x =∈--，
2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上
则max ()0h t ≤恒成立
而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值
则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)20
16(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩
，
解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-
⎪⎩
所以265m ≤-，则m 的最大值为26
5
-. 【点睛】
本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦；
（3）
π24或7π24
. 【解析】 【分析】
（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T
π
ω，求出ω，
然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．
（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．
（3）令(
)f α=0απ，即可求得α的取值．
【详解】
解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912
π， 得T =π， 即
22π
ω
=2，得ω=1， 又f （-
3π）=2sin[2×（-3π
）+φ]=-2， 得sin （-23
π
+φ）=-1，
即-
23π
+φ=-2
π+2k π， 即ω=
6π
+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2
π
，
∴当k =0时，φ=6π
，
即A =2，ω=1，φ=6
π
；
（2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712
π，
b =f （0）=2sin 6
π=2×1
2=1，
∵f （x ）=2sin （2x +6
π
），
∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π
，k ∈Z ，
得k π-3π≤x ≤k π+6
π
，k ∈Z ，
即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π
]，k ∈Z ；
（3）∵f （α）=2sin （2α+6
π
）
即sin （2α+
6π） ∵α∈[0，π]，
∴2α+6π∈[6
π，136π
]， ∴2α+6π=4π或34π，
∴α=
24
π或α=
724
π
．
【点睛】
关于三角函数图像需记住： 两对称轴之间的距离为半个周期； 相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为1
4
个周期．
关于正弦函数单调区间要掌握：
当2,222x k k ππωϕππ⎡
⎤+∈-+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递增；
当32+,222x k k ππωϕππ⎡
⎤+∈+⎢⎥⎣
⎦时，函数单调递减．。