2018版高考数学一轮复习课件：第2章 第8节 函数与方程

数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________．
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
高三一轮总复习
(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数 f(x)＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函 数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有 f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a) ＜0，即 a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.
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第五页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cos x
B.y＝sin x
C．y＝ln x
D.y＝x2＋1
A [由于 y＝sin x 是奇函数；y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但 没有零点，只有 y＝cos x 是偶函数又有零点．]
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(1)B (2)存在 [(1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x) ＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
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第十页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)·f(8)＜0， 又 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点．]
高三一轮总复习 判断函数零点的个数
(1)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为( )
A．1
B.2
C.3
D.4
(2)(2017·秦 皇 岛 模 拟 ) 函 数
f(x)
＝
ln x－x2＋2x，x＞0， 4x＋1，x≤0
的零点个数是
________．
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第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
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[思想与方法] 1．转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求 参数范围问题可转化为函数值域问题． 2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断． (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断． (3)将函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数 y＝f(x)与 y＝g(x)图象公共点的 个数来判断． 3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．
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第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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[变式训练 2] (2015·湖北高考)函数 f(x)＝4cos22xcosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| 的零点个数为______．
2 [f(x)＝4cos22xcosπ2－x－2sin x－|ln(x＋1)| ＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)| ＝2sin xcos x－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|. 由 f(x)＝0，得 sin 2x＝|ln(x＋1)|.
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C [∵f(x)＝ln x－12x－2 在(0，＋∞)上是增函数， 又 f(1)＝ln 1－12－1＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－120＜0， f(3)＝ln 3－121＞0， ∴x0∈(2,3)，故选 C.]
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第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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第二页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0)
零点个数
2
Δ＝0
(x1,0) 1
Δ＜0
无交点 0
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(1)B (2)3 [(1)令 f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝12x. 设 g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数 g(x)，h(x)的图象， 可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点．
a＞1， 有三个不同的根，则满足f6＜2， 8 分
a＞1， f10＞2， 如图，即loga6＜2， 解得 6＜a＜ 10.
loga10＞2，
故 a 的取值范围是( 6， 10).12 分
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第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
高三一轮总复习
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定 参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图 象，然后数形结合求解．
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第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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设 y1＝sin 2x，y2＝|ln(x＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图 所示．
由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f(x)有两个零点．]
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第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选 D.]
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第七页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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5．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围 是________．
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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(2)当 x＞0 时，作函数 y＝ln x 和 y＝x2－2x 的图象， 由图知，当 x＞0 时，f(x)有 2 个零点；
当 x≤0 时，由 f(x)＝0 得 x＝－14， 综上，f(x)有 3 个零点．]
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【导学号：01772059】 13，1 [∵函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得13＜a＜1， ∴实数 a 的取值范围是13，1.]
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第八页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
函数零点所在区间的判断
高三一轮总复习 函数零点的应用
(2017·昆明模拟)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x－4)＝f(x)，且 在区间[0,2]上 f(x)＝x，若关于 x 的方程 f(x)＝logax 有三个不同的实根，求 a 的取值 范围．
[思路点拨] 先作出函数 f(x)的图象，根据方程有三个不同的根， 确定应满足的条件．
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第六页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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4．(2016·江西赣中南五校联考)函数 f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是( )
A．(0,1)
B.(1,2)
C．(－2，－1)
D.(－1,0)
D [∵f(－2)＝－395，f(－1)＝－23，
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
(1)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B.(1,2)
C．(2,3)
D.(3,4)
(2)函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零
点.
【导学号：01772060】
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第九页，编辑于星期六：二十二点 二十七分
第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
[规律方法] 判断函数零点所在区间的方法： 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接 求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理 判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．
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抓
基
础
· 自 主
第八节 函数与方程
学
课
习
时
[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联
分 层
明
系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
考
训 练
向
·
题
型
突 破
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第一页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
1．函数的零点 (1)定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x
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第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
[变式训练 1] 已知函数 f(x)＝ln x－12x－2 的零点为 x0，则 x0 所在的区间是
()
A．(0,1)
B.(1,2)
C．(2,3)
D.(3,4)
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
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(2) 作出 f(x)的图象如图所示．当 x>m 时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2， ∴要使方程 f(x)＝b 有三个不同的根，则有 4m－m2<m，即 m2－3m>0.又 m>0，解 得 m>3.]
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第三页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( ) (2)函数 y＝f(x)，x∈D 在区间(a，b)⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b) ＜0.( ) (3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一 个零点．( ) (4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
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[变式训练 3] (1)函数 f(x)＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的
取值范围是( )
A．(1,3)
B.(1,2)
C．(0,3)
D.(0,2)
(2)(2016·山东高考)已知函数 f(x)＝|xx2|－，2xm≤xm＋，4m，x>m， 其中 m>0.若存在实
∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴
有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有f(a)·f(b)＜0 ，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 x0 ∈(a，b)，使得 f(x0)＝0 .
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第四页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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2．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( )
A．0
B.1
C.2
D.3
B [∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(x)在(－1,0)内有零点，
又 f(x)为增函数，∴函数 f(x)有且只有一个零点．]
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十七 分。
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[解] 由 f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为 4，又函数为偶函数，所以 f(x－4)＝f(x)
＝f(4－x)，3 分
所以函数图象关于 x＝2 对称，且 f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程 f(x)＝logax
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十七分。
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[规律方法] 判断函数零点个数的方法： (1)解方程法：所对应方程 f(x)＝0 有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的 图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．