专题16 锐角的三角比(解析版)

专题16 锐角的三角比
母题揭秘中考四大考点：
1、锐角三角比的意义，特殊的锐角三角比的比值代数运算问题；
2、解直角三角形，利用勾股定理和锐角三角比相互结合解直角三角形；
3、实际问题：测量问题、航海问题、坡度问题、方案设计问题等；
4、数学模型相互渗透问题：与四边形结合、与相似形结合、与圆结合、与函数结合等综合问题。

【母题来源1】（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，△B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．
【答案】
2
【解析】
过E点作EH△BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得△ADC=120°，再由折叠得到△ADE=△ADC=120°，进而求出△HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．
解：如图，过点E作EH△BC于H，
△BC =7，CD =3，
△BD =BC -CD =4，
△AB =4=BD ，△B =60°，
△△ABD 是等边三角形，
△△ADB =60°，
△△ADC =△ADE =120°，
△△EDH =60°，
△EH △BC ，△△EHD =90°．
△DE =DC =3，
△EH =DE ×sin△HDE=3×2=2，
△E 到直线BD 的距离为
2． 【母题来源2】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC 中，AB=BC=5△tan△ABC=34
△ △1）求边AC 的长；
△2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD DB
的值．
【答案】△△2△
3
5 AD
BD
=△
【解析】
（1）过A作AE△BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
△2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
解：△1△如图，过点A作AE△BC△
在Rt△ABE中，tan△ABC=
3
4
AE
BE
=△AB=5△
△AE=3△BE=4△
△CE=BC△BE=5△4=1△
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：△△2△△DF垂直平分BC△
△BD=CD△BF=CF=5 2△
△tan△DBF=
3
4 DF
BF
=△
△DF=15 8
△
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8
△
△AD=5△25
8
=
15
8
△
则
3
5 AD
BD
△
【母题来源3】（2017·上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6=____．
【答案】
【解析】
解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线，
△△OBC是等边三角形
△△OBC=△OCB=△BOC=60°，
△OE=OC
△△OEC=△OCE，
△△BOC=△OEC+△OCE
△△OEC=△OCE=30°
△△BCE=90°，
△△BEC是直角三角形
△=cos30°=，
△λ6=.
考点一、锐角三角比的概念
如图所示，在Rt△ABC中，△C＝90°，△A所对的边BC记为a，叫做△A的对边，也叫做△B的邻边，△B所对的边AC记为b，叫做△B的对边，也是△A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
锐角A的对边与斜边的比叫做△A的正弦，记作sinA，即sin
A a
A
c
∠
==
的对边
斜边
；
锐角A的邻边与斜边的比叫做△A的余弦，记作cosA，即cos
A b
A
c
∠
==
的邻边
斜边
；
锐角A的对边与邻边的比叫做△A的正切，记作tanA，即tan
A a
A
A b
∠
==
∠
的对边
的邻边
；
同理sin
B b
B
c
∠
==
的对边
斜边
；cos
B a
B
c
∠
==
的邻边
斜边
；tan
B b
B
B a
∠
==
∠
的对边
的邻边
．
知识要点：
(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，
，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角比的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
考点二、特殊角的三角比的比值
利用锐角三角比的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，归纳如下：
知识要点：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、
、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点三、锐角三角比之间的关系
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或；
(4)商数关系：．
【母题来源4】（2018·上海中考真题）如图，已知△ABC中，AB=BC=5△tan△ABC=3 4△
△1）求边AC的长；
△2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求AD
DB
的值．
【答案】△1△AC=10△△2△
3
5 AD
BD
△
【解析】
（1）过A作AE△BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股
定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
解：△1△如图，过点A作AE△BC△
在Rt△ABE中，tan△ABC=
3
4
AE
BE
=△AB=5△
△AE=3△BE=4△
△CE=BC△BE=5△4=1△
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：△△2△△DF垂直平分BC△
△BD=CD△BF=CF=5 2△
△tan△DBF=
3
4 DF
BF
=△
△DF=15 8
△
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：25 8
△
△AD=5△25
8
=
15
8
△
则
3
5 AD
BD
=△
【母题来源5】（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求E、E'两点的距离.
【答案】（1）点D'到BC的距离是（70）厘米；（2）E、E’两点的距离是厘米。

【解析】
（1）过点D'作D'H△BC，垂足为点H，交AD于点F，利用矩形的性质得到△AFD'＝△BHD'＝90°，再解直角三角形即可解答
（2）连接AE、AE'、EE'，得出△AEE'是等边三角形，利用勾股定理得出AE，即可解答
解：
过点D'作D'H△BC，垂足为点H，交AD于点F.
由题意，得AD'＝AD＝90（厘米），△DAD'＝60°.
△四边形ABCD是矩形，△AD△BC，△△AFD'＝△BHD'＝90°.
在Rt△AD'F中，D'F＝AD'·sin△DAD'＝90×sin60°＝.
又△CE＝40（厘米），DE＝30（厘米），△FH＝DC＝DE＋CE＝70（厘米）、
△D'H＝D'F＋FH＝（70）（厘米）.
答：点D'到BC的距离是（70）厘米.
（2）连接AE、AE'、EE'.由题意，得AE'＝AE，△EAE'＝60°.
△△AEE'是等边三角形
△EE'＝AE，
△四边形ABCD是矩形，
△△ADE＝90°
在Rt△ADE中，AD＝90（厘米），DE＝30（厘米）：
△AE
=（厘米）
△EE'＝.
答：E、E’两点的距离是
【母题来源6】（2017·上海中考真题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD△BC△
△1）求sinB的值；
△2）现需要加装支架DE△EF，其中点E在AB上，BE△2AE，且EF△BC，垂足为点F，求支架DE的长．
【答案】△△2△DE△5△ 【解析】
（1）在Rt△ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据sinB=
AD
AB
计算即可； （2）由EF△AD ，BE=2AE ，可得2
3
EF BF BE AD BD BA ===,求出EF 、DF 即可利用勾股定理解决问题； 解：
（1）在Rt△ABD 中，△BD=DC=9，AD=6，
△sinB=
AD AB ． （2）△EF△AD ，BE=2AE ，△
23EF BF BE AD BD BA ===，△2
693
EF BF ==，△EF=4，BF=6，
△DF=3，在Rt△DEF 中，．
考点四、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
知识要点：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点五、解直角三角形的常见类型及解法
Rt△ABC 由求∠A，∠B=90°－∠A，
由求∠A，∠B=90°－∠A，
∠B=90°－∠A，
，
，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
，
知识要点：
1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.
2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某
些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关
键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，
然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题
转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系
解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
拓展：
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，
坡度通常写成=∶的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
知识要点：
1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.
2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.
【母题来源7】（2019·上海中考真题）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角△BAC、△ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E
（1）求证：△E＝1
2
△C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos△ABC的值；
（3）如果△ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求△ABC 的度数，并直接写出
ADE ABC
S S
的值.
【答案】（1）见解析；（2）cos△ABC 的值为2△3；（3）
△ABC ＝30°或△ABC ＝45°，ADE ABC
S
S
的值2
2
【解析】
（1）由AE△AD ，得到△DAE ＝90°，△E ＝90°－△ADE ，再由AD 平分△BAC ，得到△ABD 1
2
=△BAC ，即可解答
（2）延长AD 交BC 于点F ，得出
BF BD
AE DE
=，再利用三角函数即可即可 （3）根据题意得出△ABC ＝△E ＝1
2△C ，继而可得△ABC ＝30°
，
2ADE ABC
S S =△ABC ＝45°
，
2ADE ABC
S
S
=
证明：△AE△AD ，
△△DAE ＝90°，△E ＝90°－△ADE. △AD 平分△BAC ，△△BAD 12=
△BAC ，同理△ABD 1
2
=△BAC 又△△ADE ＝△BAD ＋△ABD ，△BAC ＋△ABC ＝180°－△C ， △△ADE 12=
（△BAC ＋△BAC ）1
2
=（180°－△C ）. △△E ＝90°－
12
（180°－△C
）1
2=△C
解：延长AD交BC于点F.
△AE＝AB，△△ABE＝△E.
△BE平分△ABC，△△ABE＝△CBE，△△CBE＝△E.△AE△ BC.
△△AFB＝△FAE＝90°，BF BD AE DE
=
又△BD△DE＝2△3
△cos△ABC＝BF BF BD AB AE DE
==
△cos△ABC的值为2△3.
（3）解：△ABC与△ADE相似，且△DAE＝90°，△△ABC中必有一个内角等于90°.
△ABC是锐角，
△△ABC≠90°.
若△BAC＝△DAE＝90°，
△△E＝1
2
△C,△△ABC＝△E＝
1
2
△C
△△ABC＋△C＝90°，△△ABC＝30°.
这时2
ADE
ABC
S
S
=
综上所述，△ABC ＝30°或△ABC ＝45°，
ADE ABC
S S
的值2
2
【母题来源8】（2018·上海中考真题）已知△O 的直径AB=2，弦AC 与弦BD 交于点E ．且OD△AC ，垂足为点F△
△1）如图1，如果AC=BD ，求弦AC 的长；
△2）如图2，如果E 为弦BD 的中点，求△ABD 的余切值；
△3）联结BC△CD△DA ，如果BC 是△O 的内接正n 边形的一边，CD 是△O 的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD 的面积．
【答案】
△ACD
△ 【解析】
（1）由AC=BD 知AD CD CD BC +=+ ，得AD BC =，根据OD△AC 知AD CD =，从而得
AD CD BC ==，即可知△AOD=△DOC=△BOC=60°，利用AF=AOsin△AOF 可得答案；
△2）连接BC ，设OF=t ，证OF 为△ABC 中位线及△DEF△△BEC 得BC=DF=2t ，由DF=1△t 可得t=
13，即可知BC=DF=23，继而求得EF=14
△3）先求出BC△CD△AD 所对圆心角度数，从而求得
BC=AD=
面积公式计算可得．
解：△1△△OD△AC△
△AD CD
=△△AFO=90°△
又△AC=BD△
△AC BD
+=+△=，即AD CD CD BC △AD BC
=△
△AD CD BC
==△
△△AOD=△DOC=△BOC=60°△
△AB=2△
△AO=BO=1△
△AF=AOsin△AOF=1×
22
则
△2）如图1，连接BC△
△AB为直径，OD△AC△
△△AFO=△C=90°△
△OD△BC△
△△D=△EBC△
△DE=BE△△DEF=△BEC△
△△DEF△△BEC△ASA△△△BC=DF△EC=EF△
又△AO=OB△
△OF是△ABC的中位线，设OF=t，则BC=DF=2t△△DF=DO△OF=1△t△
△1△t=2t△
解得：t=1 3△
则DF=BC=2
3
=△
△EF=1
2
FC=
1
4
AC=
3
△
△OB=OD△
△△ABD=△D△
则
cot△ABD=cot△D=
2
DF
EF
==△
△3）如图2△
△BC是△O的内接正n边形的一边，CD是△O的内接正（n+4）边形的一边，
△△BOC=
360n △△AOD=△COD=360
4
n +△ 则
360n +2×3604
n +=180△ 解得：n=4△
△△BOC=90°△△AOD=△COD=45°△ △BC=AC=2△ △△AFO=90°△
△OF=AOcos△AOF=
2
2△ 则DF=OD△OF=1△
22
△ △S △ACD =
12AC•DF=12×2×△1△22
△=21
2
-△
考点七、解直角三角形与其他几何知识结合问题
如图所示，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，
(1)三边之间的关系：2
2
2
a b c +=； (2)两锐角之间的关系：△A+△B ＝90°；
(3)边与角之间的关系：
sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，1
tan tan a A b B
==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD△AB 于点D ，设CD ＝h ，
AD
＝q ，DB ＝p ，则
由△CBD△△ABC ，得a 2＝pc ；
由△CAD△△BAC ，得b 2＝qc ；
由△ACD△△CBD ，得h 2＝pq ；
由△ACD△△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．
(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则
△CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； △点D 是Rt△ABC 的外心，外接圆半径R ＝12
AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c ab r a b c +-=
=++． 直角三角形的面积：
△如图所示，111sin 222
ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） △如图所示，1()2ABC S r a b c =
++△．
知识考点概括：
一、单选题
1．（2018·上海奉贤中考模拟）如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设△CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）
A ．sin h α
B ．cos h α
C ．tan h α
D ．cot h α
【答案】B
【解析】
根据垂直的定义和同角的余角相等，可由△CAD+△ACD=90°，△ACD+△BCD=90°，可求得△CAD=△BCD ，然后在Rt△BCD 中 cos△BCD=CD BC ，可得BC=cos cos CD h BCD α
=∠.
2．（2020·上海大学附属学校初三三模）在Rt△ABC中，△C=90°，AB=10，AC=8.下列四个选项，不正确是( )
A．sinA=4
5
B．cosA=
4
5
C．tanA=
3
4
D．cotA=
4
3
【答案】A 【解析】
A、
3
sin
5
BC
A
AB
==,故该选项错误；
B、
4
cos
5
AC
A
AB
==,故该选项正确；
C、
3
tan
4
BC
A
AC
==,故该选项正确；
D、
4
cot
3
AC
A
BC
==，故该选项正确
故选A.
3．（2020·浙江萧山初三其他）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB，点A、B、C、D、O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，△BCO=x，则点A到OC的距离等于()
A．sin sin
a x
b x B．cos cos
a x
b x C．sin cos
a x
b x D．cos sin
a x
b x
【答案】D
解：作AE△OC 于点E ，作AF△OB 于点F ，
△四边形ABCD 是矩形，
△△ABC=90°，
△△ABC=△AEC ，△BCO=x ，
△△EAB=x ，
△△FBA=x ，
△AB=a ，AD=b ，
△FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx ，
故选：D ．
4．（2020·上海崇明初三一模）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果 8AC =，
6BC =，那么B 的余切值为（ ）
A ．34
B ．4
3 C ．3
5 D ．4
5
【答案】A
【解析】
如图，在Rt△ABC 中，△△C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，
△cotB ＝6
3
84BC
AC ==，
故选：A ．
5．（2020·上海松江初三一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是1.5，那么sin α的值为（）
A ．34
B ．12
C ．23
D ．32
【答案】C
【解析】
解：如图示：作BC CD ⊥交CD 于C 点，AD CD ⊥交CD 于D 点，
由阴影部分是两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，
则有AB AE =，1AD =， △1sin AB AE α
==
△1=1 1.5sin S AB AD α
=⨯=阴影 解之得：2sin 3
α=， 故选：C
6．（2020·上海杨浦初三二模）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（ ）
A ．sin 36a ︒
B ．cos36a ︒
C ．2sin18a ︒
D ．2cos18a ︒
【答案】C
【解析】
如图，正十边形的中心角△AOB=360°÷10=36°，AB=a
△△AOM=△BOM=18°，AM=MB=12
a ； △OA=AM sin OAM ∠=218a sin ︒
故选C.
7．（2020·安徽谯城初三月考）如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )
A ．cot cot m αβ
-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．
tan tan m βα-千米 【答案】A
【解析】
△P△△△△△△△△△△△AB△△△△O△△△△△△△△△△AO=PO cot α△BO=PO cot β△△AB=m=AO -BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m αβ
-. △△△△△A. 8．（2020·安徽谯城初三一模）在Rt△ABC 中，△C = 90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中不成立的是（ ）
A ．tan b
B a =
B ．cos a B c =
C ．sin a A c =
D ．cot a A b = 【答案】D
【解析】
解：△Rt△ABC 中，△C ＝90°，△A 、△B 、△C 所对的边分别为a 、b 、c ， △tan b B a
=，故A 选项成立； cos a B c
= ，故B 选项成立； sin a A c =
，故C 选项成立； cot b A a
=，故D 选项不成立； 故选D ．
9．（2020·安徽瑶海初三期末）如图，反比例函数k y x
=(0)k ≠第一象限内的图象经过ABC ∆的顶点A ，C ，AB AC =，且BC y ⊥轴，点A ，C ，的横坐标分别为1，3，若120BAC ∠=︒，则k 的值为（ ）
A ．1
B
C
D ．2
【答案】C
【解析】
过点A 作AD BC ⊥，
△点A 、点C 的横坐标分别为1，3，
且A ，C 均在反比例函数k
y x =第一象限内的图象上，
△(1,)A k ，3,3k C ⎛⎫
⎪⎝⎭，
△CD=2，AD=k -3k
，
△AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，
△30ACD ∠=︒，90ADC ∠=︒， △tan△ACD=AD
DC ，
△DC =，即23k k ⎫
=-⎪⎭，△k =
故选：C．
10．（2020·广西初三一模）如图，某数学兴趣小组想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60︒，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）
A．10m B．15m C．D．
【答案】B
【解析】
解：在Rt△CDE中，CD=10m，DE=5m，
△sin△DCE=
51
102 DE m
CD m
==
△.△DCE=30°
△△ACB=60°，DF//AE.
△△BGF=60°
△△ABC=30°，△DCB=90°
△△BDF=30°，△△DBF=60°，△△DBC=30°，
△tan30
CD
BC
︒
===
（m）
△sin6015
AB BC︒
=⋅==（m）．
故选答案为B．
二、填空题
11．（2020·上海宝山初三二模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，
3
tan=
4
B，将△ABC绕点B逆时针旋转，
得到
11
A BC
∆，当点
1
C在线段CA延长线上时
1
ABC
∆的面积为_________．
【答案】
468
25
【解析】
解：如图，过B作BD△AC1，过A作AF△BC于F，
△BC=BC1，
△△BC1C=△C，
△
3
tan=
4
ABC
∠，
△3tan =4
AF ABC BF ∠=， 设AF=3x ，BF=4x ，则AB=5x ，
△AB ＝5，
△x=1，即AF=3，BF=4
， △BC=8， △sin△C=35
BD BC =， △BD=245
， 在Rt△ABD 中，tan△C=
BD DC =34， △2435
4DC
， △DC=325
， △BC=BC 1 ，BD△AC 1，
△CC 1=2DC=645
， △A 1C= CC 1－AC=645－5=395
， △1ABC ∆的面积为：
1243946825525⨯⨯=．
12．（2019·上海徐汇中考模拟）在梯形ABCD中，AB△DC，△B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝3
4
．点E为
BC上一点，过点E作EF△AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE 的长为_____．
【答案】65 12
.
【解析】
如图，
△EF△AD，
△△A＝△EFB，△GFE＝△AMF，△△GFE与△BFE关于EF对称，△△GFE△△BFE，
△△GFE＝△BFE，
△△A＝△AMF，
△△AMF是等腰三角形，
△AF＝FM，
作DQ△AB于点Q，
△△AQD＝△DQB＝90°．
△AB△DC，
△△CDQ＝90°．
△△B＝90°，
△四边形CDQB是矩形，
△CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，△AQ＝10﹣2＝8，
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD10，
△tan A＝3
4
，
△tan△EFB＝BE
BF
＝
3
4
，
设EB＝3x，
△FB＝4x，CE＝6﹣3x，
△AF＝MF＝10﹣4x，
△GM＝8x﹣10，
△△G＝△B＝△DQA＝90°，△GMD＝△A，△△DGM△△DQA，
△DG GM DQ AQ
，
△GD＝6x﹣15
2
，
△DE＝15
2
﹣3x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（15
2
﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，
解得：3x＝65 12
，
△当EG过点D时BE＝65 12
．
故答案为：65 12
．
13．（2020·上海杨浦初三二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan△A＝4
3
，点P
是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．
【答案】6或10
【解析】
解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE△AD于E，QF△AD交AD的延长线于F．
设PE＝x．
在Rt△AEB 中，△tan A ＝
BE AE ＝43
，AB ＝10， △BE ＝8，AE ＝6， △将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，
△△BPQ ＝90°，
△△EBP +△BPE ＝△BPE +△FPQ ＝90°，
△△EBP ＝△FPQ ，
△PB ＝PQ ，△PEB ＝△PFQ ＝90°，
△△PBE △△QPF （AAS ），
△PE ＝QF ＝x ，EB ＝PF ＝8，
△DF ＝AE +PE +PF ﹣AD ＝x ﹣1，
△CD △AB ，
△△FDQ ＝△A ，
△tan△FDQ ＝tan A ＝43＝FQ DF
， △1x x ＝43
， △x ＝4，
△PE ＝4，
△AP ＝6+4＝10；
如图2，当点Q 落在AD 上时，
△将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，△△BPQ＝90°，
△△APB＝△BPQ＝90°，
在Rt△APB中，△tan A＝AP
BP
＝
4
3
，AB＝10，
△AP＝6；
如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE△AD于E，PF△BC于F．则四边形BEPF是矩形．
在Rt△AEB中，△tan A＝BE
AE
＝
4
3
，AB＝10，
△BE＝8，AE＝6，
△PF＝BE＝8，
△△BPQ是等腰直角三角形，PF△BQ，
△PF＝BF＝FQ＝8，
△PB＝PQ＝BQ＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，
故答案为：6或10．
14．（2020·上海初三月考）如图：正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，连接AE ，BF 交于点P ，连接PD ，则tan APD ∠=______．
【答案】2
【解析】
连接AF ，
E ，
F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，
CF BE ∴=，AD 2DF
=， 在ΔABE 和ΔBCF 中，
AB BC ABE C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△RtΔABE△RtΔBCF(SAS)，
BAE CBF ∠∠∴=，
又BAE BEA 90∠∠︒+=，
CBF BEA 90∠∠︒∴+=，
BPE APF 90∠∠︒∴==，
ADF 90∠︒=，
ADF APF 180∠∠︒∴+=，
∴A 、P 、F 、D 四点共圆，
AFD APD ∠∠∴=，
AD tan APD tan AFD 2DF
∠∠∴==
=， 故答案为：2．
15．（2019·上海市上外民办劲松中学初三二模）如图，矩形ABCD 中，2BC =，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A '、C '处，如果点A '、C '、B 在同一条直线上，那么tan ABA ∠'的值为__________．
． 【解析】
试题分析：如下图，设矩形的边长CD ＝x ，由'''A D A C C D BC =，得222
x x +=，整理，得：，解得：15x =-±，所以，CD ＝51-，所以，tan△BA'C=
''C D A D =512-．故答案为512-．
16．（2018·上海静安初三二模）等腰△ABC中，AB=AC，它的外接圆△O半径为1，如果线段OB绕点O旋转90°后可与线段OC重合，那么△ABC的余切值是_____．
1△
【解析】
分两种情况，
△1）当△ABC为锐角三角形，
△AB=AC△OB=OC△
△AD垂直平分BC△
△OB=OC△△BOC=90°△
△△OBD=45°△
△OB=1,
△BD=OD=
2
△
在Rt△ABD中，
tan△ABC=
1
1
AD
BD
+
==;
△2）当△ABC为钝角三角形，△AB=AC△OB=OC△
△AD垂直平分BC△
△OB=OC△△BOC=90°△
△△OBD=45°△
△OB=1△
△BD=OD=
2
△
在Rt△ABD中，
tan△ABC=
1
1
AD
BD
-
==.
1△
17．（2018·全国初三单元测试）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形的边长
为13cm，
5
cos
13
ABC
∠=，那么凉衣架两顶点A、E之间的距离为________cm．
【答案】
【解析】
连接AC、BD交于点O，作AM△BC于点M，
△AB=BC=13cm，cos△ABC=
5
13
，
△BM=BC•cos△ABC=13×
5
13
=5，
△由勾股定理得：AM=12
△MC=8，
由勾股定理得：AC=
△在直角三角形ABO中，=
△凉衣架两顶点A、E之间的距离为
18．（2020·上海宝山初三一模）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC=_____．
【答案】23
【解析】
线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE 是BC 的中垂线可得CE=BE=9，CD=12BC=6，△EDC=90°，则cosC=6293
CD CE ==. 19．（2019·上海市民办新竹园中学初三月考）如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，
αβ∠∠、 如图所示，则()cos αβ+=______.
. 【解析】
给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示．
在△ABC 中，△ABC=120°，BA=BC ，
△△α=30°．
同理，可得出：△CDE=△CED=30°=△α．
又△△AEC=60°，
△△AED=△AEC+△CED=90°．
设等边三角形的边长为a ，则AE=2a ，，
△
AD ==，
△cos （α+β）=
DE AD =．
． 三、解答题
20．（2020·上海大学附属学校初三三模）如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，
△BCD =90°，5AB BC ==，2,AD =
△求CD 的长；
△若△ABC 的平分线交CD 于点E ，连结AE ，求△AEB 的正切值．
【答案】△1△4；△2△2
【解析】
解：（1）过点A 作AF ⊥BC 垂足为F ，
由题意得FC =AD =2，AF =CD ，.
△BC =5，
△BF =5-2=3，
在Rt △AFB 中：
222AB AF BF =+ （勾股定理）
， 即：22253AF =+
解得AF =4，
△CD =4；
（2）由AB =BC ，△ABE =△CBE ，BE =BE ，
得到ABE ∆△CBE ∆（SAS ），
△△AEB=△CEB （全等三角形对应边相等），
△AE=EC （全等三角形对应边相等），
设AE=EC=x ，
则DE=4x -，
在Rt △ADE 中，
222AE AD DE =+
222(4)2x x =-+， 解得52
x =， 5tan tan 25
2
BC AEB CEB CE ∠=∠=== 21．（2019·上海长宁初三二模）如图，在Rt ABC ∆中，9043ACB AC BC ∠===，，，点D 是边AC 的中点，CF BD ⊥，垂足为点F ，延长CF 与边AB 交于点E ．
求：（1）ACE ∠的正切值；
（2）线段AE 的长．
【答案】（1）2tan 3ACE ∠=
；（2）4017
AE =． 【解析】
（1）△△ACB=90°，
△△ACE+△BCE=90°，
又△CF△BD ，
△△CFB=90°，
△△BCE+△CBD=90°，
△△ACE=△CBD ， △AC=4且D 是AC 的中点，
△CD=2，
又△BC=3，
在Rt△BCD 中，△BCD=90°． △tan△CBD=23
CD BC =， △tan△ACE=tan△CBD 23=
； （2）过点E 作EH△AC ，垂足为点H ，
在Rt△EHA 中，△EHA=90°， △tanA=EH HA
， △BC=3，AC=4，
在Rt△ABC 中，△ACB=90°，
△tanA=
34
BC AC =， △34EH HA =， 设EH=3k ，AH=4k ，
△222AE EH AH =+，即()()2223k 4k AE =+，
△AE=5k ，
在Rt△CEH 中，△CHE=90°，
△tan△ECA=23
EH CH =， △CH=92
k ， △AC=AH+CH=9174422
k k k +==， 解得：817
k =，
△AE=5k=40 17
．
22．（2020·上海金山初三二模）如图，已知在四边形ABCD中△A=△ABC=90°，点E是CD的中点，△ABD
与△EBD关于直线BD对称，1
AD=，AB=
（1）求点A和点E之间的距离；
（2）联结AC交BE于点F，求AF
AC
的值．
【答案】（1）AE；（2）
3
5 AF AC
=
【解析】
（1）连接AE交BD于H，
△△ABD与△EBD关于直线BD对称，△AE△BD，AH=HE，
△△A=90°，1
AD=，AB=
△BD=2，
△
11
22
ABD
S AB AD BD AH =⋅=⋅,
△AB AD BD AH
⋅=⋅，
△2AH=
△AE=2AH =
（2△△△AD△BE△△△M△△△A=90°，1AD =， BD=2， △sin△ABD=12
AD BD =， △△ABD=30°，
△△ABD 与 △EBD 关于直线BD 对称，
△△BED=△A=90°，DE=AD=1，△DBE=△ABD=30°，
△点E 是CD 的中点，
△BE 垂直平分CD ，
△BC=BD=2，
△△CBE=△DBE=30°，
△△A=△ABC=90°，
△AD△BC ，
△△M=△CBE=30°， △AM=3tan 30AB =， △AM△BC ， △32
AF AM CF BC ==，
△35
AF AC =.
23．（2020·上海浦东新初三二模）已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，16BC =，点O 为斜边AB 的中点，以O 为圆心，5为半径的圆与BC 相交于E 、F 两点，连结OE 、OC ．
（1）求EF 的长；
（2）求COE ∠的正弦值．
【答案】（1）6；（2 【解析】
解：（1）过点O 作OG△EF 于点G ，
△EG=FG ，OG△AC ，
又O 为AB 的中点，△G 为BC 的中点，即OG 为△ABC 的中位线，
△OG=12
AC=4，
在Rt△OEG 中，由勾股定理得，3=，
△EF=2EG=6；
（2）在Rt△ABC 中，由勾股定理得，=
又O 为AB 的中点，
OG△BC ， △CG=BG=12
BC=8， △CE=CG -EG=8-3=5，
△CE=EO ，
△△COE=△OCE ，
△sin△OCE=
OG CO ==
△△COE 24．（2020·上海闵行初三二模）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 的延长线于点D ．
（1）求CD 的长；
（2）求点C 到ED 的距离．。