中考数学二诊试卷含答案解析

中考数学二诊试卷(解析版)
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．相反数是（）
A．﹣ B．2 C．﹣2 D．
2．下列计算正确的是（）
A．x2+x4=x6B．x3÷x2=x C．（x2）3=x5D．（2x2）3=2x6
3．如图中几何体的主视图是（）
A． B．C． D．
4．要使代数式有意义，则x的（）
A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是
5．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）
A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y=D．y=
6．若一元二次方程x2﹣2x﹣a=0没有实数根，则一次函数y=（a+1）x+（a﹣1）的图象不过第（）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
7．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）
A．B．8 C．10 D．16
8．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣C．D．0
10．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥
AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：每小题3分，共6小题，满分18分．
11．计算：|1﹣|﹣+2sin60°=．
12．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使BC=3cm，则线段AC=．
13．有一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的方差是．
14．如图，有大小两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切，若AB=8，则圆环（阴影部分）的面积是．（不取近似值）
15．如图，矩形纸片ABCD的边AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点（不与B、C重合），现将△ABP沿AP翻折，得到△AFP，再在CD边上选择适当的点E，将△PCE沿PE翻折，得到△PME，且直线PF、PM重合，若点F落在矩形纸片的内部，则CE的最大值是．
16．对于正数x，规定f
（x）=，例如f
（2）
=，f=，根据规定，计
算f
（1）+f
（2）
+f
（3）
+…+f
（2015）
+f+f+f+…+f=．
三、解答题：共9小题，满分72分．
17．化简：（）．
18．解不等式组，并写出不等式组的整数解．
19．某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩（得分为整数，满分100分）分成四类，并制作了如下的统计图表：
根据图表信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生人，表中a=，b=；
（2）扇形图中，丁类所对应的圆心角是度；
（3）已知A同学在丁类中，现从丁类同学中随机抽两名同学参加学校的决赛，请用列举的方法求A同学能够参加决赛的概率．
20．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若DC=，求BE的长．
21．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|﹣3，求k的值．
23．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的价格高30元．买两个篮球和三个足球共需510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球的数量不少于足球数量的，用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元，请问有哪几种购买方案？并指出其中费用最低的方案．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=，G为BC上一点（不与B重合），以BG为直径的圆O交AB于D，作AD的垂直平分线交AD于F，交AC于E，连结DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BG=3，求DE的长；
（3）设BG=x，DE=y，求y与x的函数关系，写出y的最小值．
25．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y 轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴，顶点坐标；
（2）设E时抛物线对称轴上一点，当∠BEC=90°时，求点E的坐标；
（3）若P（m，n）是抛物线上一个动点（其中m＞0，n＜0），是否存在这样的点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．相反数是（ ）
A ．﹣
B ．2
C ．﹣2
D ．
【考点】相反数．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．的相反数是﹣．
【解答】解：的相反数是﹣， 故选：A ．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．下列计算正确的是（ ）
A ．x 2+x 4=x 6
B ．x 3÷x 2=x
C ．（x 2）3=x 5
D ．（2x 2）3=2x 6
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A 、x 2与x 4不是同类项，不能相加，故本选项错误； B 、x 3÷x 2=x 3﹣2=x ，故本选项正确； C 、（x 2）3=x 2×3=x 6，故本选项错误； D 、（2x 2）3=23•x 2×3=8x 6，故本选项错误． 故选B ．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3．如图中几何体的主视图是（）
A． B．C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：如图中几何体的主视图是．
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．要使代数式有意义，则x的（）
A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴2﹣3x≥0，解得x≤．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．5．如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为（）
A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y=D．y=
【考点】函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答．
【解答】解：A、y=x+2，x为任意实数，故错误；
B、y=x2+2，x为任意实数，故错误；
C、，x+2≥0，即x≥﹣2，故正确；
D、y=，x+2≠0，即x≠﹣2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．若一元二次方程x2﹣2x﹣a=0没有实数根，则一次函数y=（a+1）x+（a﹣1）的图象不过第（）
A．一象限B．二象限C．三象限D．四象限
【考点】根的判别式；一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据已知方程没有实数根得出△＜0，求出a的取值范围，再根据一次函数图象与系数的关系得出即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a=0没有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＜0，
解得：a＜﹣1，
∴a+1＜0，a﹣1＜0，
∴一次函数y=（a+1）x+（a﹣1）的图象不过第一象限，
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，一次函数图象与系数的关系的应用，能熟练地掌握知识点的内容是解此题的关键．
7．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）
A．B．8 C．10 D．16
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD 中，AD=BC，问题得解．
【解答】解：∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AE：AB，
∵AE：EB=2：3，
∴AE：AB=2：5，
∵EF=4，
∴4：BC=2：5，
∴BC=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及平行四边形的性质，注意对应边的比不要弄错是解题的关键．
8．一个长为4cm，宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板点A位置的变化为A→A l→A2，其中第二次翻滚被面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°的角，则点A滚到A2位置时共走过的路径长为（）
A．B．C．D．
【考点】弧长的计算；旋转的性质．
【分析】将点A翻滚到A2位置分成两部分：第一部分是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，第二部分是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．【解答】解：∵长方形长为4cm，宽为3cm，
∴AB=5cm，
第一次是以B为旋转中心，BA长5cm为半径旋转90°，
此次点A走过的路径是=π（cm），
第二次是以C为旋转中心，4cm为半径旋转60°，
此次走过的路径是=π（cm），
∴点A两次共走过的路径是+=π（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了弧长公式l=，注意两段弧长的半径不同，圆心角不同．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣C．D．0
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得
OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤1，然后解绝对值不等式即可．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OP=|x|，∠OPH=45°，
∴OH=|x|，
∵AB与⊙O有公共点，
∴OH≤1，
即|x|≤1，
∴﹣≤x≤．
故选B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离．
10．如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥
AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF=AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】四边形综合题．
【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE ≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC 即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AF；故①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM和△FBM中，
，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF，故②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
故④正确；
∴CF⊥DEP，
∵BE⊥DP，
∴CF∥BE；故③正确．
故选D．
【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
二、填空题：每小题3分，共6小题，满分18分．
11．计算：|1﹣|﹣+2sin60°=﹣1．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣1﹣2+2×=﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使BC=3cm，则线段AC=11cm或5cm．【考点】两点间的距离．
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm，
故答案为：11cm或5cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
13．有一组数据：1，2，3，4，5，则这组数据的方差是2．
【考点】方差．
【分析】先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：由平均数的公式得：（1+2+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]÷5=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
14．如图，有大小两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切，若AB=8，则圆环（阴影部分）的面积是 16π ．（不取近似值）
【考点】扇形面积的计算；切线的性质．
【分析】设AB 于小圆切于点C ，连接OC ，OB ，利用垂径定理即可求得BC 的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB 2﹣π•OC 2=π（OB 2﹣OC 2），以及勾股定理即可求解． 【解答】解：设AB 于小圆切于点C ，连接OC ，OB ． ∵AB 于小圆切于点C ， ∴OC ⊥AB ，
∴BC=AC=AB=×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB 2﹣π•OC 2=π（OB 2﹣OC 2） 又∵直角△OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB 2﹣π•OC 2=π（OB 2﹣OC 2）=π•BC 2=16π． 故答案是：16π．
【点评】本题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB 2﹣π•OC 2=π（OB 2﹣OC 2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．
15．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=3，BC=4，点P 是BC 边上一动点（不与B 、C 重合），现将△ABP 沿AP 翻折，得到△AFP ，再在CD 边上选择适当的点E ，将△PCE 沿PE 翻折，
得到△PME ，且直线PF 、PM 重合，若点F 落在矩形纸片的内部，则CE 的最大值是
．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】设CE=y，PB=x，由△ABP∽△PCE，得=，由此构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：设CE=y，PB=x，
∵∠APB=∠APF，∠EPF=∠EPC，
∵2∠APF+2∠EPF=180°，
∴∠APF+∠EPF=90°，
∴∠APE=90°，
∴∠APB+∠CPE=90°，∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴=，
∴=，
∴y=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+，
∴x=2时，y有最大值，最大值为．
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
16．对于正数x ，规定f （x ）=，例如f （2）=，f =，根据规定，计
算f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2015）+f +f +f +…+f = 2014 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据题意确定出f （x ）+f （
）
=1，原式结合后，相加即可得到结果．
【解答】解：f （x ）+f （
）
=+=+==1，
则原式=f （1）+[f （2）+f ]+[f （3）+f ]+…[f （2015）+f
]=+1+…+1（2014个1）
=2014，
故答案为：2014
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
三、解答题：共9小题，满分72分．
17．化简：（
）
．
【考点】分式的混合运算．
【分析】先计算括号内分式的加法，再通过约分计算除法．
【解答】解：原式=÷
=
•
=a ﹣1．
【点评】本题主要考查分式的混合运算．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
18．解不等式组
，并写出不等式组的整数解．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再根据x的取值范围找出整数解．
【解答】解：，
解①得：x≤4，
解②得：x＞2，
不等式组的解集为：2＜x≤4．
则不等式组的整数解为：3，4．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19．某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩（得分为整数，满分100分）分成四类，并制作了如下的统计图表：
根据图表信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生40人，表中a=20，b=5；
（2）扇形图中，丁类所对应的圆心角是45度；
（3）已知A同学在丁类中，现从丁类同学中随机抽两名同学参加学校的决赛，请用列举的方法求A同学能够参加决赛的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图．
【分析】（1）用乙类的人数除一它所占的百分比即可得到调查的学生总数，再利用学生总数乘以丙类所占的百分比得到a的值，然后用学生总数分别减去甲乙丙类的人数得到b的值；（2）丁类所对应的圆心角等于丁类的所占的百分比乘以360°；
（3）设丁类的5个同学分别用A、B、C、D、E表示，画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出A同学能够参加决赛的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）调查的学生总数=10÷25%=40（人），
所以a=40×50%=20，b=40﹣5﹣10﹣20=5；
（2）丁类所对应的圆心角=360°×=45°；
故答案为40，20，5；45°；
（3）设丁类的5个同学分别用A、B、C、D、E表示，
画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中A同学能够参加决赛的结果数为8，
所以A同学能够参加决赛的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若DC=，求BE的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE；
（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠CED=90°，
∴∠AEF=∠CED，
在△AEF和△DCE中
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，
∴BE=2．
【点评】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中注意勾股定理的应用．
21．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A点代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入反比例函数解析式可求得m，把A、B两点坐标代入一次函数解析式，可求得两函数解析式；
（2）结合图象可知当反比例函数图象在一次函数图象的下方时，可求得x 取值范围．
【解答】解：
（1）∵A（1，4）在反比例函数y1=的图象上，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y1=，
∵点B（m，﹣2）在反比例函数y1=的图象上，
∴﹣2m=4，解得m=﹣2，
∴B点坐标为（﹣2，﹣2），
∴一次函数y2=ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为y2=2x+2；
（2）由图象可知当反比例函数图象在一次函数图象下方时，对应的x的取值范围为﹣2＜x ＜0或x＞1，
∴使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数的解析式是解题的关键．
22．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|﹣3，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到﹣2k+3=2k2+2﹣3，结合k的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜，
∴x1+x2=2k﹣3＜0，
又∵x1•x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=﹣2k+3，
∵|x1|+|x2|=2|x1x2|﹣3，
∴﹣2k+3=2k2+2﹣3，即k2+k﹣2=0，
∴k1=1，k2=﹣2，
又∵k＜，
∴k=﹣2．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）
△＜0时，方程没有实数根；（4）x1+x2=﹣；（5）x1•x2=．
23．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的价格高30元．买两个篮球和三个足球共需510元．
（1）求篮球和足球的单价；
（2）根据需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球的数量不少于足球数量的，用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元，请问有哪几种购买方案？并指出其中费用最低的方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“一个篮球比一个足球的价格高30元．买两个篮球和三个足球共需510元．”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设购买篮球m个，则购买足球（100﹣m）个，根据“篮球的数量不少于足球数量的，用于购买这批篮球和足球的资金不超过10300元．”即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元．
（2）设购买篮球m个，则购买足球（100﹣m）个，
根据题意得：，
解得：40≤m≤，
∵m为整数，
∴m=40，41，42，43．
∴有四种购买方案：方案一：购买篮球40个、足球60个；方案二：购买篮球41个、足球59个；方案三：购买篮球42个、足球58个；方案四：购买篮球43个，足球57个．
∵篮球120元一个，足球90元一个，
∴方案一最省钱，即购买篮球40个、足球60个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出方程组（或不等式组）是关键．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，cosB=，G为BC上一点（不与B重合），以BG为直径的圆O交AB于D，作AD的垂直平分线交AD于F，交AC于E，连结DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BG=3，求DE的长；
（3）设BG=x，DE=y，求y与x的函数关系，写出y的最小值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接OD、DG，由BG为圆的直径可知∠BDG是直角，然后只要证明∠ODE=90°，即可证明结论成立，根据题目中的条件可以得到∠ODE=90°，本题得以解决；
（2）根据题目中的条件和勾股定理，可以转化为直角三角形ODE和直角三角形OCD两直角边的平方等于OE的平方，从而可以得到DE的长；
（3）根据（2）中的求解方法，可以得到y与x的函数关系式，根据一次函数的性质，可以得到y的最小值．
【解答】（1）证明：连接OD、DG，如右图所示，
∵BG为⊙O的直径，OD=OB，∠ACB=90°，
∴∠BDG=90°，∠ODB=∠B，∠B+∠A=90°，
∴∠A=∠ODG，∠GDE+∠EDA=90°，
又∵EF是AD的垂直平分线，
∴∠A=∠EDA，
∴∠EDA=∠ODG，
∴∠GDE+∠ODG=90°，
即OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，如右上图所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=，
∴BC=AB•cosB=6，AC=，
∵BG=3，
∴OD=1.5，OC=BC﹣OB=6﹣1.5=4.5，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA=ED，
设EA=x，则ED=x，EC=8﹣x，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE2+OD2=EC2+OC2，
即x2+1.52=（8﹣x）2+4.52，
解得，x=，
即DE的长是；
（3）连接OE，如右上图所示，
∵∠ACB=90°，AB=10，cosB=，
∴BC=AB•cosB=6，AC=，
∵BG=x，
∴OD=0.5x，OC=BC﹣OB=6﹣0.5x，
∵EF是AD的垂直平分线，ED=y，
∴EA=ED=y，
∴EC=8﹣y，
∵∠ECO=90°，∠EDO=90°，
∴DE2+OD2=EC2+OC2，
即y2+（0.5x）2=（8﹣y）2+（6﹣0.5x）2，
化简，得y=，（0＜x≤6）
∵﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=6时，y取得最小值，此时y==4，
即y与x的函数关系是y=，（0＜x≤6），y的最小值是4．
【点评】本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．
25．（2016•南充模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式，并写出抛物线的对称轴，顶点坐标；
（2）设E时抛物线对称轴上一点，当∠BEC=90°时，求点E的坐标；
（3）若P（m，n）是抛物线上一个动点（其中m＞0，n＜0），是否存在这样的点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由点A、B、C三点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配方法将其化成顶点式即可找出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设点E的坐标为（1，t），由两点间的距离公式可求出BE、CE、BC的长，根据勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出点E的坐标；
（3）由点P在抛物线上，可用m表示出n，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再由点到直线的距离求出点P到直线BC的距离，根据三角形的面积公式即可得出S
关于m的关系式，利用二次函数的性质即可解决最值问题．
△PBC
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c中，
得，解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4．
∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣1）2﹣，
∴该抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣）．
（2）依照题意，画出图形，如图1所示．
设点E的坐标为（1，t），
∵B（4，0）、C（0，﹣4），
∴BE=，CE=，BC=4，
∵∠BEC=90°，
∴BE2+CE2=BC2，即9+t2+t2+8t+17=32，
解得：t1=﹣2+，t2=﹣2﹣，
即点E的坐标为（1，﹣2﹣）或（1，﹣2+）．
（3）假设存在，如图2所示．
∵P（m，n）是抛物线上一个动点（其中m＞0，n＜0），
∴n=m2﹣m﹣4，0＜m＜4．
设直线BC的解析式为y=kx﹣4，
∵点B（4，0）为直线BC上的点，
∴0=4k﹣4，解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x﹣4，即x﹣y﹣4=0．
点P到直线BC的距离d==|﹣m2+m|，
∵0＜m＜4，
∴d=﹣m2+m．
S
=BC•d=×4×（﹣m2+m）=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4，△PBC
∴当m=2，即点P的坐标为（2，﹣4）时，S
取最大值4
△PBC。