人教版九年级下册数学《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(解析版)

人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷（解析版）一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）
A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°
2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）
A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）
A．B．C．D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是（）
A．B．C．D．3
5．若∠B，∠A均为锐角，且sin A＝，cos B＝，则（）
A．∠A＝∠B＝60°B．∠A＝∠B＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝30°D．∠A＝30°，∠B＝60°
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）
A．5÷tan26°＝B．5÷sin26°＝C．5×cos26°＝D．5×tan26°＝7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
A．B．C．D．
9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）
A．72米B．36米C．米D．米
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）
A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米二．填空题（共5小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．
12．比较大小：sin44°cos44°（填＞、＜或＝）．
13．在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于．
14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝．
15．计算：2cos60°+tan45°＝．
三．解答题（共4小题）
16．在△ABC中，∠B、∠C均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
2019年人教版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）
A．7sin35°B．C．7cos35°D．7tan35°
【分析】根据余弦为邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：由cos B＝＝，得
BC＝7cos B＝7cos35°，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
2．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）
A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°
【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．
【解答】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．
【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，已知cos A＝，那么tan A等于（）
A．B．C．D．
【分析】根据cos A＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A的值．
【解答】解：∵cos A＝知，设b＝3x，则c＝5x，根据a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tan A＝＝＝．
故选：A．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝，那么sin B 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝，
∴cos A ＝＝＝，
∴∠A +∠B ＝90°，
∴sin B ＝cos A ＝
． 故选：A ．
【点评】此题考查的是互余两角三角函数的关系，属基础题，掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
5．若∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，则（ ）
A ．∠A ＝∠
B ＝60°
B ．∠A ＝∠B ＝30°
C ．∠A ＝60°，∠B ＝30°
D ．∠A ＝30°，∠B ＝60° 【分析】根据三角函数的特殊值解答即可．
【解答】解：∵∠B ，∠A 均为锐角，且sin A ＝，cos B ＝，
∴∠A ＝30°，∠B ＝60°．
故选：D ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．
6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A ．5÷tan26°＝
B ．5÷sin26°＝
C ．5×cos26°＝
D ．5×tan26°＝
【分析】根据正切函数的定义，可得tan ∠B ＝，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC•tan B＝5×tan26．
故选：D．
【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
7．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A+cos2A＝1；④Rt△ABC中，∠A＝90°，则tan C•sin C＝cos C．其中正确的命题有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据锐角三角函数的定义判断所有的锐角三角函数值都是正数；
根据锐角三角函数的概念结合勾股定理可以证明sin2A+cos2A＝1，tan C•sin C＝cos C．【解答】解：①根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数，故正确；
②两个元素中，至少得有一条边，故错误；
③根据锐角三角函数的概念，以及勾股定理，得sin2A+cos2A＝＝1，故正确；
④根据锐角三角函数的概念，得tan C＝，sin C＝，cos C＝，则tan C•cos C＝sin C，
故错误．
故选：C．
【点评】根据锐角三角函数的定义可证明锐角三角函数之间的关系式．
8．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）
A．B．C．D．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD＝∠BCD，由os∠BCD＝，即可求出BC的长度．
【解答】解：
∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
9．一人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡滑下，滑下距离S（米）与时间t（秒）之间的关系为S＝10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）
A．72米B．36米C．米D．米
【分析】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【解答】解：当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．
设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．
在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．
解得x＝36．
故选：B．
【点评】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键．
10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为（）
A．6sin75°米B．米C．米D．6tan75°米
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝6米，∠BAC＝α，利用三角函数即可求出BC的高度．
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝6米，∠BAC＝α，
∴＝tanα，
∴BC＝AC•tanα＝6tanα（米）．
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
二．填空题（共5小题）
11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为2．
【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．
【解答】解：tan∠AOB＝＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．
12．比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或＝）．
【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．
13．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝，则tan A 等于 ．
【分析】根据cos A ＝，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tan A 的值．
【解答】解：∵cos A ＝知，设b ＝3x ，则c ＝5x ，根据a 2+b 2＝c 2得a ＝4x ．
∴tan A ＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 14．计算：cot44°•cot45°•cot46°＝ 1 ．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．
【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°＝cot44°•cot46°•cot45°＝1•cot45°＝1．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．
15．计算：2cos60°+tan45°＝ 2 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：2cos60°+tan45°＝2×+1＝2．
故选：2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
三．解答题（共4小题）
16．在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ，求证：＝． 【分析】如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，如果利用三角函数可以分别在△ABD 和△ADC 中可以得到sin sB ，sin C 的表达式，由此即可证明题目的结论．
【解答】证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，
在Rt △ABD 中，sin B ＝
，
∴AD ＝AB sin B ，
在Rt △ADC 中，sin C ＝
， ∴AD ＝AC sin C ，
∴AB sin B＝AC sin C，
而AB＝c，AC＝b，
∴c sin B＝b sin C，
∴＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题的关键是作辅助线把普通三角形转化为直角三角形解决问题．
17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
18．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°
＝
＝
＝．
【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．
19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出
DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC 即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．
期末复习：人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数单元检测试卷(解
析版）
一、单选题（共10题；共30分）
1.sin60°的值为（）
A. B. C. D.
2.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= ，则∠B的值为（）．
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）
A. B. C. D.
4.在中，，，则的值等于（）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝，则AB＝( )
A. 15
B. 12
C. 9
D. 6
6.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．
A. B. 3 C. D. 以上的答案都不对
7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）
A. 5÷tan26°=
B. 5÷sin26°=
C. 5×cos26°=
D. 5×tan26°=
8.在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（）
A. 45°
B. 75°
C. 105°
D. 120°
9.在中，，，，则cosA等于（）
A. B. C. D.
10.在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上的影长BC为6米，落在斜坡上的影长CD为4米，AB⊥BC，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB约为（）米．（参
考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.73）
A. 10.61
B. 10.52
C. 9.87
D. 9.37
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图所示，在建筑物AB的底部a米远的C处，测得建筑物的顶端A点的仰角为α，则建筑物AB的高可表示为________．
12.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的
值为________．
13.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D 处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）
14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=，EC=2，P是AB边上的一个动
点，则线段PE的长度的最小值是________ ．
15.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD＝________．
16.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，
BC′交AD于点E，则线段DE的长为________．
17.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米（结果保留根号）．
18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，则tanA=________
19.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．
20.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处
测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东
方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用
最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达
(结果保留根号)
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)
23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？
说明理由．（≈1.732）
24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）
25.如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船
C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)
26.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．
27.如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
28.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到1 cm）
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.414）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60°= ．
故答案为：B．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。

2.【答案】A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合选项进行判断．
∵cos30°=，
∴∠B=30°．
故选A．
3.【答案】B
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= =12，
∴sinA= = ，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的意义可求sinA的值。

4.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据已知条件先判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
∵∠C=90°，AC=BC，
∴该三角形为等腰直角三角形，
∴sinA=sin45°=．
故选B．
5.【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据sinB等于∠B的对边与斜边之比可得AB的值．
【解答】∵sin B＝，AC=9，
∴=，
解得AB=15．
故选A．
【点评】考查锐角三角函数的定义；用到的知识点为：一个角的正弦值，等于这个角的对边与斜边之比．
6.【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sinα=，
∴上升的高度是：30×=3米．
故选B．
【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解．
7.【答案】D
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan∠B= ，得
AC=BC•tanB=5×tan26．
故答案为：D．
【分析】根据三角函数的定义tan∠B=AC：BC，得到AC=BC•tanB，得到正确的按键顺序.
8.【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sinA﹣=0，﹣cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°，
故选：C．
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
9.【答案】D
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理求出c的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A的余弦值即可．
∵在△ABC中，∠C=90°，,，
∴c=，
cosA=．
故选D．
10.【答案】A
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，延长GH交AD于点H，过点H作HP⊥AB 于点P，
则四边形BCHP为矩形，
∴BC=PH=6，BP=CH，∠CHD=∠A=37°，
∴AP= = =8，
过点D作DQ⊥GH于点Q，
∴∠CDQ=∠CEG=30°，
∴CQ= CD=2，DQ=CDcos∠CDQ=4× =2 ，
∵QH= = = ，
∴CH=QH﹣CQ= ﹣2，
则AB=AP+PB=AP+CH=8+ ﹣2≈10.61，
故答案为：A．
【分析】通过作垂线把特殊角放在直角三角形中，利用三角函数由边求边，即由PH求AP，由DQ可求出QH，最后AP+PB=AB求出旗杆高度.
二、填空题
11.【答案】atanα
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=α，BC=a，
∴tan∠C= ，
∴AB=BC•tan∠C=a•tanα．
故答案为：atanα．
【分析】根据正切函数的定义进行变形可得结果.
12.【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：，
tanB= = ．
故答案是：．
【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
13.【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°= ，
解得：CD=40 （m），
故答案为：40 ．
【分析】在Rt△ABD中，可得AD=AB=120m；在Rt△ADC中，由tan∠CDA=tan30°=可求
得CD。

14.【答案】4.8
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB=，又cosB=，
于是=，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB•PE=BE•AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为4.8．
【分析】设菱形ABCD的边长为x，则AB=BC=x，又EC=2，所以BE=x﹣2，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根据AB、PE的值和△ABE的面积，即可求得PE的最小值．
15.【答案】2.5
【考点】勾股定理，轴对称的性质
【解析】【解答】∵AC＝3，AB＝5，
∴BC= =4，
设BD=x，则CD=4﹣x，
∴ED=4﹣x，
∵AE=AC=3，
∴BE=2，
∵BE2+DE2=BD2，
∴22+（4﹣x）2=x2，
解得x=2.5，
∴BD=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】在Rt△ABC中应用勾股定理可求得BC=4，设BD=x，则结合轴对称的两个三角形全等可用x表示出ED=4﹣x，在Rt△BED中应用勾股定理即可得到关于x的方程，解方程即可求得x即BD的长.
16.【答案】3.75
【考点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED=x，则AE=6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC；
由题意得：∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED=x；
由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2，
即x2=9+（6﹣x）2，
解得：x=3.75，
∴ED=3.75．
故答案为：3.75．
【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
17.【答案】100
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AN，
由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= AN=100 （米），
故答案为100 ．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.
18.【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，
∴tanA==．
故答案为．
【分析】根据三角函数可得tanA=，再把a=2，b=3代入计算即可．
19.【答案】8
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′= BD=2，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE= BE=2 ，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2 ，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2 ，
当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，
当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，
∴F1F2=DQ=8，
∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．
【分析】过F点作FH⊥BC，过D点作DE′⊥AB，点E′与点E重合，根据已知条件可以求出DE的长，接着证明△DPE和△FDH，得出FH=DE，就可以判断点F的运动轨迹是一条线段，此线段到BC的距离为就是FH的长，分别作出点P在E、A两点时的等边△DEF1，等边DAF2，再去证明△DQF2≌△ADE，得到DQ=AE=F1F2，即可求出点F的运动的路径长。

20.【答案】
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB 延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以PQ-90= PQ，
所以PQ=45（3+ ）（海里）
所以MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以（小时）
故答案是：．
【分析】根据题意，添加辅助线：过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB 交AB延长线于点N，在Rt△AQP和Rt△BPQ中，利用解直角三角形分别求出BQ=PQ-90，
及BQ=PQ，建立方程求出PQ及MN的长，从而可求出MB的长，再根据路程除以速度=时间，即可求解。

三、解答题
21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC=27，
∴，
∴AH=6，
∵AB=10，
∴BH= = =8，
∴tanB= = = ．
【考点】三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。

22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．
x2+（2x）2=AB2，
x2+（2x）2=（4）2，
x=4．
答：河床面的宽减少了4米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】因为坡度为1：0.5，可知道= ，设AC的长为x，那么BC的长
就为2x，根据勾股定理可列出方程求解．
23.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，
由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，
∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD= ，
则AD=AC•sin∠ACD=250 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．
答：消防车不需要改道行驶．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方向角问题需要首先构造直角三角形，所以过A作AD⊥CF于D，易得∠ACD=60°利用三角函数易得AD=433>400,所以可得结果。

24.【答案】解:设BD=x米，则CD=（120-x）米
因为∠DAC=45°
所以AD=CD=（120-x）米
∠BAD=30°
答：热气球若要飞越高楼，至少要继续上升
【考点】特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知∠DAC=45°，∠BAD=30°，BC=120，因此设BD=x米，则CD=（120-x）米，在Rt△ADC中，可表示出AD的长，再在Rt△ABD中，利用解直角三角形,建立关于x的方程，求解即可。

25.【答案】解:作CD⊥AB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距离最近.设CD长为x,在Rt△ACD中,AD=CD tan 60°= x,在Rt△BCD
中,BD=CD=x,∴AB=AD-BD= x-x=( -1)x,设渔政船从B航行到D需要t小时,则
t=BD=x,解得t= = .
答:渔政310船再按原航向航行小时后,离渔船C的距离最近
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先找出渔政船310离渔船C的距离的位置：因为渔政船310的航线是在直线AB上，点C到直线AB上的垂线段最短，所以作CD⊥AB,交AB的延长线于D,CD=x，再用x表示出AB的长，根据行程关系列方程即可解出。

26.【答案】解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如右图所示，
由已知可得，
AB=8米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，
∴AD= ，BD= ，
∴AB=AD﹣AB= ，
即8= ，
解得，CD= 米，
即生命所在点C的深度是米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度.
27.【答案】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD= CD= xkm。

在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=xkm。

∵AD﹣BD=AB，∴x﹣x=2，∴x= +1≈2.7（km）。

答：景点C到观光大道l的距离约为2.7km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，在△ACD中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系表示出AD，在△BCD中，利用等腰直角三角形的性质得出
BD=CD=xkm。

根据AD﹣BD=AB建立方程，求解得出x的值。

28.【答案】解：过O点作OD⊥AB交AB于D点．
在Rt△ADO中，
∵∠A=15°，AO=30，
∴OD=AO•sin15°≈30×0.26=7.8（cm）
AD=AO•cos15°≈30×0.97=29.1（cm）
又∵在Rt△BDO中，∠OBC=45°，
∴BD=OD=7.8（cm），
∴AB=AD+BD≈36.9（cm）．
答：AB的长度为36.9cm．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据角的度数，以及提供的数据构造直角三角形过O点作OD⊥AB交AB 于D点，则AB=AD+BD=AD+OD，即要求出AD和OD，在Rt△BDO中，∠A=15°，AO=30，可求得AD和OD.
人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数单元检测卷
人教版九下第28章锐角三角函数单元检测卷
满分120分，考试时间120分钟。

一、精心选一选（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则sinA 的值等于 （ ）
A 、
2
1
B 、33
C 、23
D 、3
2．在Rt△ABC 中，若各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的各锐角三角函
数（ ）
A 、都扩大2倍
B 、没有变化
C 、缩小2倍
D 、不能确定 3.直角三角形ABC 中，斜边AB 是直角边BC 的4倍，则cosA 是 （ ）
A.
4
1
B.415
C.15154
D.1515
4.△ABC 中，∠C＝90°，若sinA ＝
3
2
，则tanB 等于 （ ） A.5
3
B.35
C.552
D.25
5.已知：是锐角，sinα=
2
1，则等于 （ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么等于（ ）
A 、1
B 、
2
3
1+ C 、221+ D 、41
7．计算2sin30º+4cos 230º-tan 245º等于 （ ）
A 、4
B 、23
C 、3
D 、2
8．为锐角，且关于的方程x 2-4xsinα+1=0有两个相等的实数根，则为
（ ）
A 、60度
B 、45度
C 、35度
D 、30度
9.两灯塔A 和B 与海岸上观测站C 的距离相等，若A 在C 的北偏东40°，B 在C 的南偏东60°，则A 在B 的 （ ）
A 、北偏东10°
B 、南偏东20°
C 、南偏西20°
D 、北偏西10°。

10.在中，若∣sinA -
22∣+(2
3
-cosB)2=0，∠A,∠B，都是锐角，则∠C 的度数是 （ ）
A 、75º
B 、90º
C 、105º
D 、120º
二．细心的填一填（本题有10个小题, 每小题3分, 共30分）
11．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3
1
，c ＝32，则b ＝________，∠A ＝________。

12．△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则sinB ＝__________。

13．△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝50，AB ＝502，则cosB ＝__________。

14．△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC ＝1，则AB ＝__________。

15．△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA ＋cosB ＝__________。

16．若∠A 为锐角，且sinA －2
1＝0，则∠A＝__________。

17．计算2sin30°－cos45°＝__________。

18．已知∠A 为锐角，sinA ＝5
3
，则tanA ＝__________。

19. a,b,c 为△ABC 的三边，当k ＞0时，方程b(x 2+k)+c(x 2-k)-2ax k =0
有两个相等的实数根且sinC.cosA-sinA.cosC=0，则△ABC 的形状是____. 20.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC:BC=4:3,点D 在CB 的延长线上,且BD=AB,那么∠ADB 的余弦值为___.
三、认真解一解（共60分） 21、如图在
中，∠C=90º,sinB=
5
4
，求的值.
22．如图， 中，，BC =，AC =3，求sin 2A+coa 2
A-
A
B cos 1sin -的值.
23．计算：sin 245º-cos60º-
︒
︒
45tan 30cos +2sin 260º.tan60º. 24．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，sinB=2
3， 求四边形各内角的度数．
25、已知α为锐角，且tan α=4，请你设计出不同的求
α
αα
αsin cos 2cos 3sin +-的值的
方法。

（注：至少用两种方法，每种方法4分，每多一种方法加2分）
26、如图，在河的对岸有水塔AB ，今在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，前进20米后到D 处，又测得A 的仰角为45°，求塔高AB 。