湖南省衡阳市八中2013届高三第四次月考试卷(数学理)

衡阳市八中2013届高三第四次教学质量检测
数 学（理科）
命题人: 谷中田 审题
人： 颜 军
（考试内容：集合与逻辑、函数与导数、三角与向量、不等式、数列、立体几何、解析几何）
共150分，考试用时120分钟。

一、选择题:（本大题共8小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集={0,1,2，3,4}，集合A={1，2，3}，B=｛2，4｝ ，则(
)U
A B ⋃为（ )
A ｛1,2,4}
B ｛2，3，4｝
C {0,2,4｝
D ｛0,2，3,4｝
2、设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ )
A ．2
8y x =-
B ．2
8y x = C ．2
4y x =- D ．2
4y x =
3、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( ) A ．
283
π
-
B ．
83
π
-
C ．82π-
D ．
23
π
4、设a ∈R ，则“a ＝1"是“直线L 1:ax+2y —1=0与直线L 2 :x+（a+1）y+4=0 平行”的( )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
5、若椭圆122
22=+b
y a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点,且过抛物线x y 82=的
焦点，则该椭圆的方程是( ）
A ．12
42
2=+y x
B ．13
22
=+y x
C ．14
22
2=+y x
D ．
13
2
2
=+y x 6、若△ABC 的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足4)2
2
=-+c b a （，且
60=C ，
则ab 的值为( ）
A. 错误! B ．8－4错误! C ．1 D 。

错误! 7、已知｛a n ｝是首项为1的等比数列，S n 是｛a n }的前n 项和,且36
9S S =,
则数列{错误!}的前5项和为( )
A.错误!或5
B.错误!或5 C 。

错误! D 。

错误!
8．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分)是（ )
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分,共35分。

)
9、过点M )2
3,3(--且被圆252
2
=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 . 10、已知向量a ,
b ，其中2||,2||==b a ，且a b a
⊥-)(，则向量a 和b 的夹角
是
11、已知F1、F2
分别是双曲线22
1412
x y -=的左、右焦点，点
P 是双曲
线上的点，且|PF1｜=3，则｜PF2｜的值为 .
12、设a ＞0,b ＞0，且不等式错误!＋错误!＋错误!≥0恒成立，则实数k 的
最小值等于 ； 13．已知曲线1
*()()n f x x
n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在
点
P
处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x ++
+则的值为
．
14、若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间［－1,1］上没有零点，则a 的取值范围是 ．
15、对于各项均为整数的数列{}n
a ，如果i
a i +（i =1，2，3，…）为完
全平方数（即能表示为一个整数的平方的数，例如4是完全平方数、3不是完全平方数）,则称数列{}n
a 具有“P 性质"．不论数列{}n
a 是否
具有“P 性质”，如果存在与{}n
a 不是同一数列的{}n
b ，且{}n
b 同时满足
下面两个条件：①1
2
3
,,,...,n
b b b b 是1
2
3
,,,...,n
a a a a 的一个排列；②数列{}n
b 具有
“P 性质"，则称数列{}n
a 具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列
{}n a 的前n 项和2(1)3n n
S n =-；②数列1，2,3,4，5；③1，2,3，…，11.具
有“P 性质"的为 ；具有“变换P 性质”的为 .
三。

解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知向量 a
=（cos α,sin α），b
=（cos β，sin β），
|b a
-
(1)求cos （α－β）的值；
（2)若０＜α＜2π,－2π＜β＜０，且sin β＝－5
13
，求sin α的值．
17、（本小题满分12分)已知抛物线C ： 22(0)y px p => ，F 为抛物线的
焦点，点(,)2
p M p ;
(1）设过F 且斜率为1的直线L 交抛物线C 于A 、B 两点，且|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）过点M 作斜率互为相反数的两条直线，分别交抛物线C 于除
M 之外的D 、E 两点.求证：直线DE 的斜率为定值.
18．(本小题满分12分)如图，四棱锥P —-ABCD 中,PB ⊥底面ABCD ．底
面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB=AD=PB=3，BC=6．点E 在棱PA 上，且PE=2EA.
(1）求异面直线PA 与CD 所成的角； （2）求证:PC ∥平面EBD;
(3)求二面角A —BE--D 的余弦值．
19、 (本小题满分13分) 数列{}n
a 是等差数
列,123(1),0,(1)a
f x a a f x =+==-，其中()2
42f x x x =-+，数列{}n a 前n 项和存在最
小值．
（1）求通项公式n
a ；
（2）若1
(5)1
n
n b f a =++
，12
n
c =,(3)n n N +≥∈，,求证:n n b c >．
20、（本小题满分13分） 设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短
轴长为4,点M (2
在椭圆上。

（1）求椭圆E 的方程；
(2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面
积的取值范围。

21、（本小题满分13分)已知函数()ln f x x =，2
1()22
g x x
x =-．
（Ⅰ)设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）证明: 当0b a <<时,求证：()(2)2b a f a b f a a
-+-<；
（Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值。

衡阳市八中2013届高三第四次教学质量检测
数 学（理科）
命题人: 谷中田 审题
人： 颜 军
（考试内容:集合与逻辑、函数与导数、三角与向量、不等式、数列、立体几何、解析几何）
共150分，考试用时120分钟。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集={0,1,2，3,4},集合A=｛1,2,3｝，B=
｛2,4｝ ，则(
)U
A B ⋃为( C ）
A {1，2,4}
B {2，3,4｝
C ｛0,2，4}
D {0，2,3,4}
2、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-,则抛物线的方程是 ( B ）
A ．2
8y
x =- B ．2
8y
x = C ．2
4y
x =- D ．2
4y
x =
3、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ) A ．
283
π
-
B ．
83π
-
C ．82π-
D ．
23
π
4、设a ∈R ,则“a ＝1"是“直线L 1：ax+2y-1=0与直线L 2 ：x+（a+1)y+4=0 平行”的( A )
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
5、若椭圆122
22=+b
y a x 与双曲线122=-y x 有相同的焦点，且过抛物线x
y 82=
的焦点，则该椭圆的方程是（ A ）
A ．12
42
2=+y x
B ．13
22
=+y x
C ．14
22
2=+y x
D ．
13
2
2
=+y x 6、若△ABC 的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足4)2
2
=-+c b a （，且
60=C ，
则ab 的值为（ D ）
A. 错误! B ．8－4错误! C ．1 D 。

错误! 7、已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3＝S 6，
则数列｛错误!｝的前5项和为（ C ）
A.15
8或5 B 。

错误!或5 C 。

错误! D 。

错误!
8．设集合{(,)|,,1•A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A ）
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

）
9、过点M )2
3,3(--且被圆252
2
=+y x 截得弦长为8的直线的方程为341503x y x ++==-和.
10、已知向量a ,
b ，其中2||,2||==b a ,且a b a
⊥-)(,则向量a 和b 的夹角是4
π
11、已知F1、F2
分别是双曲线22
1412
x y -=的左、右焦点，点
P 是双曲
线上的点，且|P F1|=3，则|PF2｜的值为 7 .
12、设a ＞0,b ＞0，且不等式错误!＋错误!＋错误!≥0恒成立，则实数k 的最小值等于 －4 ； 13．已知曲线1
*()()n f x x
n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在
点
P
处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x ++
+则的值为
－1．
14、若函数f （x )＝3ax －2a ＋1在区间［－1，1]上没有零点，则a 的取值范围是 （－1，1
5
)．
15、对于各项均为整数的数列{}n
a ,如果i
a i +(i =1，2，3,…)为完全平方
数（即能表示为一个整数的平方的数,例如4是完全平方数、3不是完全平方数），则称数列{}n
a 具有“P 性质”．不论数列{}n
a 是否具有“P
性质”,如果存在与{}n
a 不是同一数列的{}n
b ，且{}n
b 同时满足下面两个
条件:①1
2
3
,,,...,n
b b b b 是1
2
3
,,,...,n
a a a a 的一个排列；②数列{}n
b 具有“P 性质”，
则称数列{}n
a 具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{}n
a 的前n 项
和2
(1)3
n
n S
n =
-;②数列1,2，3，4，5；③1，2,3，…，11。

具有“P 性质”
的为 ① ；具有“变换P 性质”的为 ② 。

（其中第一空3分，第二空2分)
三.解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分）已知向量
a
=(cos α，sin α）,b =(cos β
,sin β)，
|b a
-
(1)求cos(α－β）的值；
(2)若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－5
13
,求sin α的值．
解：（Ⅰ) ()()cos sin cos sin a b ααββ==，，，，
()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．
—--———-—————-1分
25
5
a b -=
，
17、(本小题满分12分）已知抛物线C:
22(0)y px p => ，F 为抛物线的
焦点，点(,)2
p
M p ； （1)设过F 且斜率为1的直线L 交抛物线C 于A 、B 两点,且｜AB|=8，求抛物线的方程;
（2）过点M 作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线C 于除M 之
外的D 、E 两点。

求证：直线DE 的斜率为定值。

22
2
2
112212122,22
30,4(,),(,),,448, 2.4.p
F y x y px p y x px p x y B x y x x p x x p p y x =-
=-+=+•====解(1)设过的直线为将它与联立消得:
1分设A 由韦达定理得:=3=
3分由弦长公式得所以5分故所求抛物线方程为
6分
22
343434
342
23443
22
34(,),(,)222,
10222211222MD ME DE y y y E y k k p p
p y p y y y p y y p p p p
y y k y y p p
--=-+=---
-∴==--(2)不妨设D 由=-得:
,化简得分
分
其它方法酌情计分。

18．(本小题满分12分）如图，四棱锥P--ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB=AD=PB=3，BC=6．点E 在棱PA 上，且PE=2EA.
(1)求异面直线PA 与CD 所成的角； (2）求证：PC ∥平面EBD;
（3)求二面角A-BE--D 的余弦值．
解： (1）∵PB ⊥底面ABCD,在直角梯形ABCD 中
AB=AD=3，∴BC=6 取BC 的中点F,连结AF,则AF ∥CD 。

∴异面直线PA 和CD 所成的角就是PA 和AF 所成的角∠PAF ，在△PAF 中,AF=PA=PF=32，
∴∠PAF=60° ………………3分
（2）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，∵,2
1==BC AD GC AG 又,21=EP AE ∴EP AE
GC AG =∴PC ∥EG
又EG
⊂
平面EBD ，PC ⊄平面EBD.∴PC ∥平面
EBD ……………7分
(3）∵PB ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PB.又∵AD ⊥AB,∴AD ⊥平面EAB.
作AH ⊥BE ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BE ，
∴∠AHD 是二面角A-BE-D 的平面角。

在△ABE 中,BE=5
AH=,
5
5
345sin =••BE AE AB
∴tan ∠AHD=5=AH
AD
， 所以，二面角A —BE —D 的余弦值为
……………12分 向量法酌情计分。

19、 (本小题满分13分） 数列{}n
a 是等差数列，1
23(1),0,(1)a
f x a a f x =+==-，
其中()2
42f x x
x =-+，数列{}n a 前
n 项和存在最小值．
（1)求通项公式n
a ；
(2）若1
(5)1
n
n b f a =++,12
n
c =,(3)n n N +≥∈，,求证：n n b c >．
解：⑴∵()2
42f x x x =-+
∴()2
2
1
a 1(1)4(1)221f x x x x
x =+=+-++=--
()223a 1(1)4(1)267f x x x x x =-=---+=-+ (2)
分
又数列｛a n ｝是等差数列，2
a 0=
∴132
a 20a a +== ∴（2
21x x --）+（2
67x x -+）=2
2860x x -+= 解之得：13x x ==或 ………………………………………………4分
当1x =时1
2a =-,此时公差2d =,
当3x =时1
2a =，公差2d =-，此时数列{a n ｝前n 项和不存在最小值,故舍去。

∴22(1)24n
a n n =-+-=- ………………………………………………6分
⑵由⑴可得2
11111
()(5)1(21)12222n n b
f a n n n
=
==-++---，………7分
11111,()22222211,(3)222n n n c b c n n n n N n n +=>->---
>≥∈-而欲证即证，……9分
12121
302x x n n N x x +==≥∈<<≤设由，，得
3221
(),0()32,()02
g x x x x g x x x g x ''=-<≤=-<令有令
21
(0,),()()]32
x g x g x ∈得单调递减.∴在定义域(0,单调递减，又12102x x <<≤
12()()g x g x >,
即11
222n n >-，n n b c >∴………13分
20、（本小题满分13分） 设椭圆E 中心在原点，焦点在x 轴上，短
轴长为4，点M （2
.
（1)求椭圆E 的方程；
(2）设动直线L 交椭圆E 于A 、B 两点，且OA OB ⊥，求△OAB 的面
积的取值范围. 解:（1）因为椭圆E ：
22
221x y a b
+=（a>b 〉0）过M （2
，2b=4
故可求得
b=2,
a=2
椭圆
E
的方程为
22
184x y +=
………2分
（2）设P(x,y ），A （x1，y1），B （x2,y2）,当直线L 斜率存在时设方程为y kx m =+，
解方程组22
18
4x y y kx m
+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=2
2
2222164(12)(28)8(84)0k m
k m k m -+-=-+>，
即2
2840k
m -+>（＊） (4)
分
1222
1224122812km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要
使
OA OB ⊥，需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k
--+=++, 所以2
23880m k --=，
即22
88
3
k m +=
① (7)
分
将它代入(＊)式可得2
[0,)k ∈+∞ (8)
分
P 到L
的距离为d =
又
121|||2S AB d x x ∴==-=
将
22
883
k m +=
及韦达定理代入可
得
S =10分
① 当0k ≠
时S ==由2
2
1
4[4,)k
k +
∈+∞
故8
(,3
S =……………12分
② 当0k =时，
83
S =
③
当AB 的斜率不存在时，
83
S =
,
综上S 8
,2
23
⎡⎤∈⎢⎦⎣ (13)
分
21、（本小题满分13分）已知函数()ln f x x =，2
1()22
g x x
x =-．
(Ⅰ）设)()1()(x g x f x h '-+=（其中)(x g '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； (Ⅱ）证明: 当0b a <<时,求证：()(2)2b a f a b f a a
-+-<；
（Ⅲ)设k Z ∈,当1x >时,不等式4)(3)()1(+'+<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值。

解：（Ⅰ）/
()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+，1x >-所以 1()111
x h x x x -'=-=++．
当10x -<<时,()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．
因此，()h x 在(1,0)-上单调递增,在(0,)+∞上单调递减．
因此，当0x =时,()h x 取得最大值(0)2h =； ………………
3分
（Ⅱ）当0b a <<时，102b a a
--<<．由（1)知:当10x -<<时，()2h x <,即ln(1)x x +<．
因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a
f a b f a a a a
+--⎛⎫+-==+<
⎪⎝
⎭
．………………7分 （Ⅲ）不等式/
(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21
x x x k x +<+-所以
ln 21x x x k x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()
2
ln 21x x g x x --'=-, 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x
x
-'=-=>，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．
因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，
所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0
x ，且满足()0
3,4x ∈． 当01()0x x h x <<<时，,即()0g x '<,当0
()0x x h x >>时，，即()0g x '>，
所以函数()ln 21
x x x
g x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0
,x +∞上单调递增． 所以()()()()
()000000min
001ln 122225,611
x x x x g x g x x x x ++-==
+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．
所以()()0min
25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5。

……………
13分。