19积分(二重,三重积分,第一类曲线,曲面积分)的定义和性质

CH 19 积分（二重，三重积分，第一类曲线，曲面积分）的定义和
性质
1．重积分的概念
（1） 定义：二重积分表示一种类型和式的极限
σd y x f D
⎰⎰
),(∑
=→∆=n
i i i i f 1
),(lim
σηξλ，三重积分表
示
⎰⎰⎰
D
dV z y x f ),,(∑
=→∆=n
i i i i i v f 1
),,(lim
ςηξλ,其值均取决于被积函数的对应规则和积分区
域，而与积分变量的记号无关。

连续是可积的充分条件，二者的不同点是：二重积分的被积函数是定义在平面区域D 上的二元函数，而三重积分的被积函数是定义在空间区域Ω上的三元函数。

（2）
几何与物理意义：当0),(≥y x f 时，
σd y x f D
⎰⎰
),(表示以曲面),(y x f z =为曲顶，以D 为
底的柱体体积，或表示以面积密度),(y x f =μ的平面薄片D 的质量。

当0),,(≥z y x f ，
⎰⎰⎰
D
dV z y x f ),,(表示体密度),,(z y x f =μ的空间立体Ω的质量。

（3） 性质：重积分具有与定积分类似的线性性质，对区域的可加性，积分不等式，以及积分中值定理。

2．第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义
（1）
由曲线形构件的质量问题引入对弧长的曲线积分，其定义简记为
⎰
l
ds y x f ),(∑
=→∆=n
i i i i S f 1
),(lim
ηξλ
其中函数),(y x f 在曲线l 上有定义切有界，i S ∆是对l 的任意分割下的i 段的长度0≥i S ，
}{max 1i n
i S ∆=≤≤λ。

（2） 由求变力沿曲线所作功等问题，可引入对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）的概念，其定义简记为
⎰l
dx
y x P ),(∑=→∆=n
i i i i
x P 10
),(lim
ηξ
λ
⎰l
dy
y x Q ),(∑=→∆=n
i i i i
y Q 1
),(lim
ηξ
λ
l ，λ的意义同前，i x ∆，i y ∆为小弧段在坐标轴上的投影，其正负与l 的方向有关。

3．两类曲面积分的定义
（1）
由计算曲面片的质量问题引入对面积的区面积分，其定义简记为
dS z y x f ⎰⎰
∑
),,(∑
=→∆=n
i i i i i S f 1
),,(lim
ςηξλ
其中),,(z y x f 在曲面上有定义，i S ∆是∑的任意分割下第i 块的面积（0>∆i S ，）
}{m a x 1的直径i n
i S ∆=≤≤λ。

（2） 第二类曲面积分
d x d y z y x R d z d x z y x Q d y d z z y x P ),,(),,(),,(++⎰⎰∑
])()()([lim
1
xy i i zx i i n
i yz i
i
S R S Q S
P ∆+∆+∆=∑=→λ
其中yz i S )(∆，xz i S )(∆，xy i S )(∆表示小片曲面在三个坐标面的投影，其正负与曲
面所取的侧有关。

例1．计算⎰⎰D
dxdy xy 2
，D 由抛物线px y 22=和直线)0(2
>=
q q x 所围的区域。

解：先求两曲线的交点(
,2
q ，则
原式＝
pq p q
xdx dy y dy y xdx
q
p
y
pq pq
px px
q
21
3
2
22
222
2
2=
=
⎰
⎰
⎰
⎰
-
-。

例2．计算⎰⎰⎰
V
dxdydz z 2
，其中V 是由两球Rz z y x R z y x 2,2222222≤++≤++的公共部分所
组成。

解：2,43222
22
222222R z R y x Rz
z y x R z y x =
=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ 方法1：原式＝5
2
2
3
20480
592
22
2
R dz z rdr
d r
R r
R R R
R πθ
=
⎰
⎰
⎰---
方法2：
5
2
2
2
2
2
2
2
'2
2
2
02
480
59)()2(R
dz z R z dz z Rz z dxdy
dz z dxdy dz z R R R
R R R
z
z
πππσσ
=
-+
-=
+
=
⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
原式
方法3： 原式＝5
cos 20
4
2
2
2
20
4
3
2
20
480
59cos sin cos sin R d d d d d d R R
πρρϕϕϕθ
ρρϕϕϕθ
ρ
π
π
π
π
π
=
+
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰。