云南省临沧市临翔区2024届中考一模数学试题含解析

云南省临沧市临翔区2024学年中考一模数学试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是
A ．2，3，5
B ．7，4，2
C ．3，4，8
D ．3，3，4
2．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O 是以原点为圆心，半径为22 圆，则⊙O 的“整点直线”共有（ ）条
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
3．在平面直角坐标系中，将点 P (﹣4，2)绕原点O 顺时针旋转 90°，则其对应点Q 的坐标为( )
A ．(2，4)
B ．(2，﹣4)
C ．(﹣2，4)
D ．(﹣2，﹣4)
4．已知一次函数3y kx =-且y 随x 的增大而增大，那么它的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．下列各点中，在二次函数2y x =-的图象上的是（ ）
A ．()1,1
B ．()2,2-
C ．()2,4
D ．()2,4--
6．下列二次根式，最简二次根式是（ ）
A ．8
B ．12
C ．13
D ．0.1
7．某大型企业员工总数为28600人，数据“28600”用科学记数法可表示为（ ）
A ．0.286×105
B ．2.86×105
C ．28.6×103
D ．2.86×104
8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；
② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a +3b +c ＞0; ⑤ c +8a ＜0.正确的结论有（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个9．若⊙O的半径为5cm，OA=4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．内含10．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
11．如图是某零件的示意图，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
12．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝1
2
，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；
②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(5
2
，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( )
A．②③④B．①②③C．①④D．①②④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为_____．
14．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另
一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60，则该直尺的宽度为____________cm ．
15．三人中有两人性别相同的概率是_____________.
16．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.
17．如果点P 1(2，y 1)、P 2(3，y 2) 在抛物线2
2y x x =-+上，那么 y 1 ______ y 2.（填“>”，“<”或“=”）.
18．如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA ：PB ：PC=1：2：3，则∠APB=_____________ .
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式；写出销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式；若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
20．（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 交AB 于点F ，⊙O 的切线BC 与AD 的延长线交于点C ，连接AE ． （1）试判断∠AED 与∠C 的数量关系，并说明理由；
（2）若AD=3，∠C=60°，点E 是半圆AB 的中点，则线段AE 的长为 ．
21．（6分）已知关于x 的一元二次方程()2
()20(x m x m m ---=为常数)． ()1求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
()2若该方程一个根为5，求m 的值．
22．（8分）先化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：.
23．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，E 是弧BD 的中点，AE 与BC 交于点F ，∠C=2∠EAB ．
求证：AC 是⊙O 的切线；已知CD=4，CA=6，求AF 的长．
24．（10分）已知：如图，□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=DF.
25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过弧BD 上一点T 作⊙O 的切线TC ，且TC ⊥AD 于点C ．
（1）若∠DAB ＝50°，求∠ATC 的度数；
（2）若⊙O 半径为2，TC ＝，求AD 的长．
26．（12分）（1）如图①已知四边形ABCD 中，AB a =，BC=b ，90B D ∠=∠=︒，求：
①对角线BD 长度的最大值；
②四边形ABCD 的最大面积；（用含a ，b 的代数式表示）
（2）如图②，四边形ABCD 是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：20cm AB =，30cm BC =，120B ∠=︒，195A C ∠+∠=︒，请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号）
27．（12分）某超市在春节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣和优惠，在每个转盘中指针指向每个区域的可能性均相同，若指针指向分界线，则重新转动转盘，区域对应的优惠方式如下，A 1，A 2，A 3区域分别对应9折8折和7折优惠，B 1，B 2，B 3，B 4区域对应不优惠？本次活动共有两种方式．
方式一：转动转盘甲，指针指向折扣区域时，所购物品享受对应的折扣优惠，指针指向其他区域无优惠；
方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针均指向折扣区域时，所购物品享受折上折的优惠，其他情况无优惠．
（1）若顾客选择方式一，则享受优惠的概率为 ；
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能顾客享受折上折优惠的概率．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D
【解题分析】
试题解析：A ．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A 错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选D．
2、D
【解题分析】
试题分析：根据圆的半径可知：在圆上的整数点为(2，2)、(2，-2)，(-2，-2)，(-2，2)这四个点，经过任意两点的“整点直线”有6条，经过其中的任意一点且圆相切的“整点直线”有4条，则合计共有10条.
3、A
【解题分析】
首先求出∠MPO=∠QON，利用AAS证明△PMO≌△ONQ，即可得到PM=ON，OM=QN，进而求出Q点坐标．【题目详解】
作图如下，
∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，
∴∠MPO=∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
∵{
PMO ONQ MPO NOQ PO OQ
∠=∠
∠=∠
=
，
∴△PMO≌△ONQ，
∴PM=ON，OM=QN，
∵P点坐标为（﹣4，2），
∴Q点坐标为（2，4），
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．4、B
【解题分析】
根据一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大；k ＜0，y 随x 的增大而减小，进行解答即可．
【题目详解】
解：∵一次函数y=kx-3且y 随x 的增大而增大，
∴它的图象经过一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k 、b 的值有关是解题的关键.
5、D
【解题分析】
将各选项的点逐一代入即可判断．
【题目详解】
解：当x=1时，y=-1，故点()1,1不在二次函数2y x =-的图象；
当x=2时，y=-4，故点()2,2-和点()2,4不在二次函数2y x =-的图象；
当x=-2时，y=-4，故点()2,4--在二次函数2y x =-的图象；
故答案为：D ．
【题目点拨】
本题考查了判断一个点是否在二次函数图象上，解题的关键是将点代入函数解析式．
6、C
【解题分析】
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【题目详解】
A =
B 2
=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C
D =，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解答此题的关键．
7、D
【解题分析】
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×
10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可 【题目详解】
28600=2.86×1．故选D ．
【题目点拨】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×
10﹣n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键 8、C
【解题分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【题目详解】
解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-
2b a
=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0.
∴abc ＜0, ①正确；
2a+b=0，②正确；
由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；
由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a +3b +c =0,故④错误；
观察图象得当x=-2时，y ＜0，
即4a-2b+c ＜0
∵b=-2a ，
∴4a+4a+c ＜0
即8a+c ＜0，故⑤正确.
正确的结论有①②⑤，
故选:C
【题目点拨】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9、A
【解题分析】
直接利用点与圆的位置关系进而得出答案．
【题目详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，OA=4cm，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选A．
【题目点拨】
此题主要考查了点与圆的位置关系，正确①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r是解题关键．10、B
【解题分析】试题解析：A. 是轴对称图形但不是中心对称图形
B.既是轴对称图形又是中心对称图形；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形；
D.是轴对称图形不是中心对称图形；
故选B.
11、C
【解题分析】
物体的俯视图，即是从上面看物体得到的结果；根据三视图的定义，从上面看物体可以看到是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆，由此可以确定答案.
【题目详解】
从上面看是一个正六边形，里面是一个没有圆心的圆.
故答案选C.
【题目点拨】
本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练的掌握几何体三视图的定义.
12、D
【解题分析】
根据图象得出a<0, a+b=0,c>0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y1)，(5
2
，y2)到对称轴
的距离即可判断④.
【题目详解】
∵二次函数的图象的开口向下, ∴a<0,
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上,
∴c >0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x =
12, ∴a =-b ,
∴b >0,
∴abc <0,故①正确;
∵a =-b , ∴a +b =0,故②正确;
把x =2代入抛物线的解析式得，
4a +2b +c =0,故③错误; ∵()151-2222
->- , 12,y y <∴
故④正确;
故选D..
【题目点拨】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、3-
【解题分析】
试题分析：根据有理数的加法，可得图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣1，
故答案为﹣1．
考点：正数和负数
14 【解题分析】 连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，根据圆周角定理有130,2BAD BOD ∠=
∠=︒根据垂径定理有：15,2AE AD == 解直角OAE △即可.
【题目详解】
连接OC ,OD ,OC 与AD 交于点E ，
130,2
BAD BOD ∠=
∠=︒ 10 3.cos303
AE OA ==︒ 5tan 303,3OE AE =⋅︒= 直尺的宽度：105533 3.333CE OC OE =-=
= 533
【题目点拨】
考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
15、1
【解题分析】分析：
由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为1.
详解：
∵三人的性别存在以下可能：（1）三人都是“男性”；（2）三人都是“女性”；（3）三人的性别是“2男1女”；（4）三人的性别是“2女1男”，
∴三人中至少有两个人的性别是相同的，
∴P （三人中有二人性别相同）=1.
点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.
16、10%
【解题分析】
本题可设这两年平均每年的增长率为x ，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x ）1=1+44%，解这个方程即可求出答案．
【题目详解】
解：设这两年平均每年的绿地增长率为x ，根据题意得，
（1+x ）1=1+44%，
解得x 1=-1.1（舍去），x 1=0.1．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率为10%．
故答案为10%
【题目点拨】
此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）1=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．
17、>
【解题分析】
分析：首先求得抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=1，利用二次函数的性质，点M、N在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小，得出答案即可．
详解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣2
2
=1．∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，1＜2＜3，∴y1＞y2．
故答案为＞．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象的性质解决问题．18、135°
【解题分析】
通过旋转，把PA、PB、PC或关联的线段集中到同一个三角形，再根据两边的平方和等于第三边求证直角三角形，可以求解∠APB．
【题目详解】
把△PAB绕B点顺时针旋转90°，得△P′BC，
则△PAB≌△P′BC，
设PA=x，PB=2x，PC=3x，连PP′，
得等腰直角△PBP′，PP′2=（2x）2+（2x）2=8x2，
∠PP′B=45°．
又PC2=PP′2+P′C2，
得∠PP′C=90°．
故∠APB=∠CP′B=45°+90°=135°．
故答案为135°．
【题目点拨】
本题考查的是正方形四边相等的性质，考查直角三角形中勾股定理的运用，把△PAB顺时针旋转90°使得A′与C点重
合是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）201800y x =-+；（2）2203000108000w x x =-+-；（3）最多获利4480元.
【解题分析】
（1）销售量y 为200件加增加的件数（80﹣x ）×
20； （2）利润w 等于单件利润×销售量y 件，即W=（x ﹣60）（﹣20x+1800），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=﹣20x 2+3000x ﹣108000的对称轴为x=75，而﹣20x+1800≥240，x≤78，得76≤x≤78，
根据二次函数的性质得到当76≤x≤78时，W 随x 的增大而减小，把x=76代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．
【题目详解】
（1）根据题意得，y=200+（80﹣x ）×
20=﹣20x+1800， 所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y=﹣20x+1800（60≤x≤80）；
（2）W=（x ﹣60）y=（x ﹣60）（﹣20x+1800）=﹣20x 2+3000x ﹣108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式为：
W=﹣20x 2+3000x ﹣108000；
（3）根据题意得，﹣20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，
w=﹣20x 2+3000x ﹣108000，对称轴为x=﹣
30002(20)
⨯-=75， ∵a=﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W 随x 的增大而减小，
∴x=76时，W 有最大值，最大值=（76﹣60）（﹣20×76+1800）=4480（元）．
所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
【题目点拨】
二次函数的应用．
20、（1）∠AED=∠C ，理由见解析；（2
【解题分析】
（1）根据切线的性质和圆周角定理解答即可；
（2）根据勾股定理和三角函数进行解答即可．
【题目详解】
（1）∠AED=∠C ，证明如下：
连接BD，
可得∠ADB=90°，
∴∠C+∠DBC=90°，
∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBA=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠AEB=∠ABD，
∴∠AED=∠C，
（2）连接BE，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
在Rt△DAB中，AD=3，∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=
3 AD
AB
=
解得：3
∵E是半圆AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE=45°，
在Rt△AEB中，3，∠ADB=90°，
∴cos∠EAB=
2
2 AE
AB
=
解得：6．
故答案为6 【题目点拨】 此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 21、（1）详见解析；（2）的值为3或1．
【解题分析】
（1）将原方程整理成一般形式，令0>即可求解，（2）将x=1代入，求得m 的值，再重新解方程即可.
【题目详解】
()1证明：原方程可化为()222220x m x m m -+++=，
1a =，()22b m =-+，22c m m =+，
()()
2224[22]4240b ac m m m ∴=-=-+-+=>，
∴不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根． ()2解：将5x =代入原方程，得：()2(5)250m m ---=，
解得：13m =，25m =．
m ∴的值为3或1．
【题目点拨】
本题考查了参数对一元二次方程根的影响.中等难度．关键是将根据不同情况讨论参数的取值范围.
22、1
【解题分析】解：
取时，原式． 23、（1）证明见解析（2）6
【解题分析】
（1）连结AD ，如图，根据圆周角定理，由E 是BD 的中点得到2DAB EAB ∠=∠，由于2ACB EAB ∠=∠，则
ACB DAB ∠=∠，
，再利用圆周角定理得到90ADB ，∠=︒则90DAC ACB ∠+∠=︒，所以90DAC DAB ∠+∠=︒，于是根据切线的判定定理得到AC 是⊙O 的切线；
()2先求出DF 的长，用勾股定理即可求出.
【题目详解】
解：（1）证明：连结AD ，如图，
∵E 是BD 的中点，∴2DAB EAB ∠=∠，
∵2ACB EAB ∠=∠，
∴ACB DAB ∠=∠，
∵AB 是⊙O 的直径，∴90ADB ，∠=︒
∴90DAC ACB ∠+∠=︒，
∴90DAC DAB ∠+∠=︒， 即90BAC ∠=︒，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）∵9090EAC EAB DAE AFD EAD EAB ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，
∴62EAC AFD CF AC DF ，，．
∠=∠∴==∴= ∵222226420AD AC CD =-=-=， ∴22220226AF AD DF =+=+=
【题目点拨】
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是高频考点.
24、（1）证明：∵ABCD 是平行四边形
∴AB=CD
AB ∥CD
∴∠ABE=∠CDF
又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=
∴△ABE ≌△CDF
∴BE=DF
【解题分析】
证明:在□ABCD中
∵AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF…………………………………………………………4分
∵AE⊥BD CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=900……………………………………………………5分
∵AB=CD
∴△ABE≌△CDF…………………………………………………………6分
∴BE=DF
25、（2）65°；（2）2．
【解题分析】
试题分析：（2）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
试题解析：（2）连接OT，∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA，又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT，∴∠DAT=∠OTA，∴OT∥AC，又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形，∵CT=，∴OE=，又∵OA=2，∴在Rt△OAE中，AE＝，∴AD=2AE=2．
考点：2．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理．
26、（122
a+b
22+2ab
4
a b
；（2）32＋475.
【解题分析】
（1）①由条件可知AC为直径，可知BD长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC，求得AD2＋CD2，利用不等式的性质可求得AD•CD的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值；
（2）连接AC，延长CB，过点A做AE⊥CB交CB的延长线于E，可先求得△ABC的面积，结合条件可求得∠D＝45°，且A、C、D三点共圆，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交圆O于点D'，交AC于F，FD'即为所求最大值，再求得
△ACD ′的面积即可．
【题目详解】
（1）①因为∠B ＝∠D ＝90°，所以四边形ABCD 是圆内接四边形，AC 为圆的直径，则BD 长度的最大值为AC ，此时BD ＝22a +b ， ②连接AC ，则AC 2＝AB 2＋BC 2＝a 2＋b 2＝AD 2＋CD 2，S △ACD ＝12AD ⋅CD ≤14（AD 2＋CD 2）＝14
（a 2＋b 2），所以四边形ABCD 的最大面积＝14（a 2＋b 2）＋12ab ＝22+2ab 4
a b +； （2）如图，连接AC ，延长CB ，过点A 作AE ⊥CB 交CB 的延长线于E ，因为AB ＝20，∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，所以AE ＝AB ⋅sin60°＝103，EB ＝AB ⋅cos60°＝10，S △ABC ＝
12AE ⋅BC ＝1503，因为BC ＝30，所以EC ＝EB ＋BC ＝40，AC ＝22+AE EC ＝1019，因为∠ABC ＝120°
，∠BAD ＋∠BCD ＝195°，所以∠D ＝45°，则△ACD 中，∠D 为定角，对边AC 为定边，所以，A 、C 、D 点在同一个圆上，做AC 、CD 中垂线，交点即为圆O ，如图，
当点D 与AC 的距离最大时，△ACD 的面积最大，AC 的中垂线交圆O 于点D ’，交AC 于F ，FD ’即为所求最大值，连接OA 、OC ，∠AOC ＝2∠AD ’C ＝90°，OA ＝OC ，所以△AOC ，△AOF 等腰直角三角形，AO ＝OD ’＝38OF ＝AF ＝2AC ＝19D ’F ＝3819S △ACD ’＝12
AC ⋅D ’F ＝19（3819＝2＋475，所以S max ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32＋475.
【题目点拨】
本题为圆的综合应用，涉及知识点有圆周角定理、不等式的性质、解直角三角形及转化思想等．在（1）中注意直径是最长的弦，在（2）中确定出四边形ABCD 面积最大时，D 点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性很强，计算量很大，难度适中．
27、（1）12；（2）16
． 【解题分析】
（1）根据题意和图形，可以求得顾客选择方式一，享受优惠的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
【题目详解】
解：（1）由题意可得，
顾客选择方式一，则享受优惠的概率为：21 42 =，
故答案为：1
2
；
（2）树状图如下图所示，
则顾客享受折上折优惠的概率是：
21 346
=
⨯
，
即顾客享受折上折优惠的概率是1
6
．
【题目点拨】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．。