九年级数学一元二次方程单元检测题

九年级一元二次方程单元检测题
一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）
1. 关于x 的方程(x −1)(x +2)=p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( )
A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根
D. 无实数根
2. 若一元二次方程x 2−x −2=0的两根为x 1，x 2，则(1+x 1)+x 2(1−x 1)的值是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D. −2
3. 方程2x 2−3x +2=0的二次项系数和一次项系数分别为( )
A. 3和−2
B. 2和−3
C. 2和3
D. −3和2
4. 用配方法解一元二次方程2x 2−3x −1=0，配方正确的是( )
A. (x −34)2=17
16
B. (x −34)2=1
2
C. (x −32)2=13
4
D. (x −32)2=11
4
5. 直线y =x +a 不经过第二象限，则关于x 的方程ax 2+2x +1=0实数解的个数是
( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个
6. 对于任意实数k ，关于x 的方程1
2x 2−(k +5)x +k 2+2k +25=0的根的情况为
( )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判定
7. 方程x 2+ x – 1 = 0的一个根是 ( )
A. 1 –√5
B. 1−√5
2
C. –1+√5
D. −1+√52
8. 关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+5x +m 2−3m +2=0的常数项是0，则m 的
值( )
A. 1
B. 1或2
C. 2
D. ±1
9. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )
A. 9人
B. 10人
C. 11人
D. 12人
10. 对于实数a ，b ，定义一种新运算“★”:当a ≥b 时，a ★b =a 2+ab;当a <b 时，
a ★
b =b 2+ab ，若2★m =24，则实数m 等于( )
A. 10
B. 4
C. 4或−6
D. 4或−6或10
11.扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划
在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设
计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，
则可列方程为()
×20×30
A. (30−x)(20−x)=3
4
×20×30
B. (30−2x)(20−x)=1
4
×20×30
C. 30x+2×20x=1
4
×20×30
D. (30−2x)(20−x)=3
4
二、填空题（本大题共2小题，共6.0分）
12.关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有两个不相等的实数根，则m的最小整数
值是______．
13.为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，
第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程为______．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
14.解下列一元二次方程：(1)x2−2x=0;(2)16x2−9=0;
(3)3x(x−2)=x−2．
四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
15.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字
与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．
16.关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1⋅x2，求k的值．
17.如图，要用31m长的篱笆围成一块135m2的矩形菜
地，为了节省材料，菜地的一边靠墙(墙长16m)，墙
对面要留出2m宽的门(不用篱笆)，求这块菜地的长
与宽？
18.已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0，
(1)求证：无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于1，求m的值．
19.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s
的速度向点B运动;同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动.设运动时间为xs．
(1)BP=cm，CQ=cm(用含x的式子表示);
(2)若PQ=4√2cm，求x的值;
(3)若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
20.改善小区环境，争创文明家园，如图，某社区决定在一块长(AD)16m，宽(AB)9m
的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另外一条与AD 平行，其余部分种草，要使草坪部分的面积是112m2，则小路的宽是多少米⋅
21.某超市以每件40元的价格新进一批商品，已知销售价格不低于成本价，且物价部
门规定销售这种产品的每件的利润不高于40％，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为800元，求每件商品的销售价格x(元)的值．
1.【答案】C
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
时，x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
.也考查了根的判别式．先把方程(x−1)(x+2)=p2化为
x2+x−2−p2=0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△=1+8+4p2>0，由−2−p2<0即可得出结论．
【解答】
解：∵关于x的方程(x−1)(x+2)=p2(p为常数)，
∴x2+x−2−p2=0，
∴△=1+8+4p2=9+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两个根的积为−2−p2<0，
∴一个正根，一个负根，
故选C．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=−2，
所以(1+x1)+x2(1−x1)=1+x1+x2−x1x2=1+1−(−2)=4．
故选：A．
根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=−2，然后利用整体代入的方法计算(1+ x1)+x2(1−x1)的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
时，x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
．
3.【答案】B
【解析】解：2x2−3x+2=0
二次项系数为2，一次项系数为−3，
故选：B．
根据方程得出二次项系数和一次项系数即可．
本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，能理解题意是解此题的关键，注意：说
各个项的系数带着前面的符号．
4.【答案】A
【解析】解：由原方程，得 x 2−3
2x =1
2， x 2−3
2x +
916=12
+
916
，
(x −34)2=17
16， 故选：A ．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数−3
2的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与△=b 2−4ac 有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
利用一次函数的性质得到a ≤0，再判断△=22−4a >0，从而得到方程根的情况． 【解答】
解：∵直线y =x +a 不经过第二象限， ∴a ≤0，
当a =0时，关于x 的方程ax 2+2x +1=0是一次方程，解为x =−1
2， 当a <0时，关于x 的方程ax 2+2x +1=0是二次方程， ∵△=22−4a >0，
∴方程有两个不相等的实数根． 故选D ．
6.【答案】B
x2−(k+5)x+k2+2k+25=0，
【解析】解：1
2
×(k2+2k+25)=−k2+6k−25=−(k−3)2−16，
Δ=[−(k+5)]2−4×1
2
所以不论k为何值，−(k−3)2≤0，
即Δ=−(k−3)2−16<0，
所以方程没有实数根，
故选：B．
先根据根的判别式求出“Δ”，再根据根的判别式的内容判断即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ=b2−4ac<0时，方程没有实数根．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的根，可用公式法解决，先求出判别式，再求解两根．
【解答】
解：x2+x–1=0，
Δ=1+4=5，
x=−1±√5
，D中只是其中的一个根．
2
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：由题意，得
m2−3m+2=0且m−1≠0，
解得m=2，
故选：C．
一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、
一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
9.【答案】C
【解析】解：设参加酒会的人数为x人，
x(x−1)=55，
根据题意得：1
2
整理，得：x2−x−110=0，
解得：x1=11，x2=−10(不合题意，舍去)．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】当m≤2时，22+2m=24，
解得m=10，10>2，
∴m=10舍去;
当m>2时，m2+2m=24，
解得m=−6或4．
∵−6<2，
∴m=4．
综上，m=4．
故选B．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
矩形空地的面积可得．
根据空白区域的面积=3
4
×20×30．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为(30−2x)(20−x)=3
4
故选D．
12.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的根的存在性；熟练掌握利用判别式△确定一元二次方程的根的存在性是解题的关键．
根据一元二次方程根的存在性，利用判别式△>0求解即可；
【解答】
解：一元二次方程x2−2x−m=0有两个不相等的实数根，
∴△=4+4m>0，
∴m>−1；
故答案为0；
13.【答案】200+200(1+x)+200(1+x)2=872
【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
200+200(1+x)+200(1+x)2=872，
故答案为：200+200(1+x)+200(1+x)2=872．
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于872，列方程即可；
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．14.【答案】解：(1)x2−2x=0，
x(x−2)=0，
∴x 1=0，x 2=2．
(2)16x 2−9=0，
(4x +3)(4x −3)=0，
∴x 1=−34，x 2=34．
(3)3x(x −2)=x −2，
3x(x −2)−(x −2)=0，
(x −2)(3x −1)=0，
∴x −2=0或3x −1=0．
∴x 1=2，x 2=13．
【解析】见答案
15.【答案】解：设个位数字为x ，则十位数字为x 2−2，由题意得：
10(x 2−2)+x −(10x +x 2−2)=36，
解得：x 1=3，x 2=−2(不合题意，舍去)，
十位数字：32−2=7，
这个两位数为：73，
答：原来的两位数73．
【解析】首先设个位数字为x ，则十位数字为x 2−2，由题意得等量关系：原两位数−新两位数=36，根据等量关系列出方程解方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，表示出原两位数和新两位数是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k−1)2−4(k2+1)>0，
解得k<−3
4
；
(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2+1，
∵k<−3
4
，
∴x1+x2=2k−1<0，
而x1x2=k2+1>0，
∴x1<0，x2<0，
∵|x1|+|x2|=x1⋅x2，
∴−(x1+x2)=x1⋅x2，即−(2k−1)=k2+1，
整理得k2+2k=0，解得k1=0，k2=−2，
而k<−3
4
，
∴k=−2．
【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4(k2+1)>0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k−1，x1x2=k2+1，则判断x1<0，x2<0，则由|x1|+|x2|=x1⋅x2得到−(x1+x2)=x1⋅x2，所以−(2k−1)=k2+1，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
时，x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
.也考查了判别式的值．
17.【答案】解：设AB=xm，则AD=(31+2−2x)m，依题意，得：x(31+2−2x)=135，
整理，得：2x2−33x+135=0，
解得：x1=9，x2=15
2
．
∵31+2−2x≤16，
∴x≥17
2
，
∴x=9，31+2−2x=15．
答：这块菜地的长为15m，宽为9m．
【解析】设AB=xm，则AD=(31+2−2x)m，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合AD≤16m，即可确定x的值，此题得解．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：x2−(m+3)x+m+2=0，
△=[−(m+3)]2−4(m+2)=(m+1)2≥0，
所以无论实数m取得何值，方程总有两个实数根；
(2)解：∵方程有一个根的平方等于1，
∴此根是±1，
当根是1时，代入得：1−(m+3)+m+2=0，
即0=0，此时m为任何数；
当根是−1时，1+(m+3)+m+2=0，
解得：m=−3．
【解析】(1)求出△=[−(m+3)]2−4(m+2)=(m+1)2，再判断即可；
(2)求出方程的根是±1，再代入方程，即可求出答案．)
本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
19.【答案】解：(1)(6−x);(12−2x)
(2)在Rt△BPQ中，BQ=2xcm，
由勾股定理，可得BP2+BQ2=PQ2，
即(6−x)2+(2x)2=(4√2)2，
，x2=2．
解得x1=2
5
∴当PQ=4√2cm时，x的值为2
或2．
5
(3)易知0≤x≤6.
由题意得S △DPQ =S 矩形ABCD −S △ADP − S △CDQ −S △BPQ
=AB ⋅BC −12AD ⋅AP − 12CD ⋅CQ −12BP ⋅BQ =6×12−12× 12x −12×6(12−2x)−12(6−x)⋅2x
= x 2−6x +36=31，
解得x 1=1，x 2=5．
∴当△DPQ 的面积为31cm 2时，x 的值为1或5．
【解析】见答案
20.【答案】解：设小路的宽是xm ，
列方程，得(16−2x)(9−x)=112，
解得x 1=1，x 2=16(舍去)．
答：小路的宽是1m ．
【解析】见答案
21.【答案】解：(1)设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ，将(40,100)，(52,76)代入得， {40k +b =10052k +b =76，解得{k =−2b =180
, ∴y 与x 的函数关系式为y =−2x +180，
∵40×(1+40%)=56，
∴x 的取值范围是40⩽x ⩽56；
(2)根据题意得，(x −40)(−2x +180)=800，
整理得：x 2−130x +4000=0，
解得x1=50，x2=80(舍去)，
答：当每件销售价为50元时，每天的销售利润为800元．
【解析】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
(1)首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；
(2)根据已知表示出利润进而解方程得出答案．。