(专题精选)初中数学向量的线性运算分类汇编及解析

（专题精选）初中数学向量的线性运算分类汇编及解析
一、选择题
1．下列关于向量的运算中，正确的是
A ．a b b a -=-r r r r ；
B ．2()22a b a b --=-+r r r r ；
C ．()0a a +-=r r
；
D ．0a a +=r r
．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则进行计算. 【详解】
A. ()
,a b b a A ---v
v v v ＝所以错误；
B. (
)
222a b a b B ---v v
v v ＝＋，所以正确； C. ()0a a -r
v v ＋＝，C 所以错误;
D.向量与数字不能相加，所以D 错误． 故选B. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量是解题的关键.
2．已知向量，若与共线，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．
或
【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么
，即可完成解答. 【详解】
解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即
；
与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】
本题考查了向量的共线，即=
是解答本题的关键.
3．下列等式正确的是（ ）
A ．A
B u u u r +B
C uuu
r ＝CB u u u r +BA u u u r
B ．AB u u u r
﹣BC uuu r ＝AC u u u r
C ．AB u u u r +BC uuu
r +CD uuu r ＝DA u u u r D ．AB u u u r +BC uuu
r ﹣AC u u u r ＝0r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形法则即可判断. 【详解】
∵AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
，
∴0AB BC AC AC AC +-=-=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ，
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的三角形法则，解题的关键是熟练掌握三角形法则.
4．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423
a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
5．下列判断正确的是( )
A ．0a a -=r r
B ．如果a b =r r ，那么a b =r r
C ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r r
D ．对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】
A. -r r
a a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；
B. 如果a b =r r
，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；
C. 若向量a r 与b r
均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；
D. 对于非零向量b r
，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到
//a b r r
，故D 正确. 故答案为D. 【点睛】
本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.
6．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b
r r 、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r
r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ，
BE CE Q ＝， 1BE b 2
∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ，
1AE a b 2
∴=+u u u r r r ，
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
7．下列命题：
①若a b r r
=，b c =r
r
，则c a =r r
； ②若a r ∥b r ，b r
∥c r ，则a r ∥c r
；
③若|a r
|=2|b r
|，则2a b =r
r
或a r
=﹣2b r
； ④若a r
与b r
是互为相反向量，则a r +b r
=0．
其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义，互为相反向量的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】
①若a b =r r ，b c =r r ，则c a =r r ，正确； ②若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r ∥c r
，正确；
③若|a r |=2|b r |，则2a b =r r 或a r =﹣2b r ，错误，因为两个向量的方向不一定相同或相
反；
④若a r 与b r 是互为相反向量，则a r +b r
=0，正确．
综上所述，真命题的个数是3个． 故选C ．
8．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵
3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反 ∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
9．四边形ABCD 中，若向量与
是平行向量，则四边形ABCD ( )
A ．是平行四边形
B ．是梯形
C ．是平行四边形或梯形
D ．不是平行四边形，也不是梯形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题目中给的已知条件
与
是平行向量，可得AB 与CD 是平行的，且不确定
与
的大小，有一组对边平行的四边形可能是梯形或者平行四边形，故可得答案. 【详解】
根据题意可得AB 与CD 是平行的，且不确定与
的大小，所以有一组对边平行的四边
形可能是梯形或者平行四边形. 故答案为：C. 【点睛】
此题考查平行向量，解题关键在于掌握平行向量的特征.
10．下列式子中错误的是（ ）．
A ．2a a a +=r r r
B ．()0a a +-=r r r
C ．()
a b a b -+=--r r r r
D ．a b b a -=-r r r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】
A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r
，故本选项正确；
B. a r
与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；
C.根据实数对于向量的分配律，可知()
a b a b -+=--r r r r
，故本选项正确；
D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r
，故本选项错误.
故选D. 【点睛】
本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.
11．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ） A ．m na mn a r r
（）＝（）
B ． m n a ma na ++r r r
（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r
（+）＝ D ．若0ma =r r
，那么0a =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；
（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；
（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】
根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v
是有方向的，而0没有，所以错误．
解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的；
∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v
．∴错误．
故选D ． 【点睛】
本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.
12．下列命题正确的是（ ） A ．如果|a r |＝|b r |，那么a r ＝b r
B ．如果a r 、b r 都是单位向量，那么a r ＝b r
C ．如果a r ＝k b r （k ≠0），那么a r ∥b r
D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r
＝0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的定义和要素即可进行判断． 【详解】
解：A ．向量是既有大小又有方向，|a r |＝|b r |表示有向线段的长度，a r ＝b r
表示长度相等，方向相同，所以A 选项不正确；
B ．长度等于1的向量是单位向量，所以B 选项不正确；
C . a r ＝k b r （k ≠0）⇔a r ∥b r
，所以C 选项正确； D ．如果m ＝0或a r ＝0r ，那么m a r ＝0r
，不正确． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量的定义和要素，准备理解相关概念是关键.
13．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
的结果是（ ）．
A ．CA u u u r
B ．A
C u u u r
C ．0r
D ．A
E u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r
AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r
AC =u u u r ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34
a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
15．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v
，4b e =v
v
，
∴//a b v v ，2a =v ，
4b =v ， 12
a b =-v v ， 故C 选项错误， 故选C.
16．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r
，则||n v
=（ ）
A ．1
B 2
C 3
D ．2
【答案】B 【解析】
根据向量的运算法则可得: n v (
)
22
2OA OB +=u u u v u u u v 故选B.
17．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r
，且0c ≠r r ，下列结论正确的是
A ．=a b r r
B ．20a b +=r r
C ．a r
与b r
方向相同 D ．a r
与b r
方向相反
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】
解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，
计算得：-2a b =r r
（方向相反）.
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.
18．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP uuu r
可以用点P 的
坐标表示为：(,)OP m n u u u v
=.已知11(,OA x y =u u u v ），22(,)OB x y =u u u r ，如果12120x x y y +=，那么OA u u u r 与OB uuu r
互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）
A ．(4,3)OC =-u u u r ；(3,4)OD =-u u u r
B ．(2,3)OE =-u u u r ； (3,2)OF =-u u u r
C ．3,1)OG =u u u r ；(3,1)OH =-u u u r
D ．(22,4)OM =u u u u r ；(22,2)ON =-u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可. 【详解】
解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；
B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；
C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；
D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意； 故选D. 【点睛】
本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.
19．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意； D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r
＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r
∥b r
，故本选项不符合题意； 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
20．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( )
A ．2a b =r r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r
r
，可以推出//a b r
r
．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r r
．本选项符合题意；
D选项：由
1
2
a c
=
r r
，2
b c
=
r r
，可以推出//
a b
r
r
．本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．。