辽宁省锦州市凌海市石山中学九年级数学上学期第一次月考试题(含解析) 新人教版

辽宁省锦州市凌海市石山中学2016届九年级数学上学期第一次月考
试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c=0 B．+x=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3x2+1=2x+2
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是( )
A．3 B．2 C．1.5 D．1
3．用配方法解方程2x2﹣x﹣1=0，变形结果正确的是( )
A．（x﹣）2=B．（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=
4．下列命题正确的是( )
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
5．若a为方程x2+2x﹣5=0的解，则3a2+6a+1的值为( )
A．12 B．16 C．9 D．6
6．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为( )
A．cm B．cm C．cm D．cm
7．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为( )
A． B．2 C．D．﹣2
8．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( )
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为__________．
10．三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为__________．
11．已知E、F、G、H是四边形ABCD各边上的中点且AC=BD，则四边形EFGH的形状是__________．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0 （a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是__________
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
13．一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=__________．
14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则PE+PF的值为__________．
15．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？如果设这个小组有x个人，根据题意，可列方程__________．
16．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为__________cm2．
三．计算题（每小题20分，共20分，）
17．用适当的方法解下列一元二次方程
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开平方法）
（2）x2+2x﹣3=0（配方法）
（3）x（x﹣4）=8﹣2x（因式分解法）
（4）（x+1）（x﹣2）=4 （公式法）
四．解答题（每小题10分，共40分）
18．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
19．某企业2012年盈利1500万元，2014年克服不利影响，仍实现盈利2160万元．从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2012﹣2014年盈利的年增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？
20．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？
21．如图所示，已知在△A BC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．
五．证明题（22.23，24每小题10分，25题12分共42分）
22．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
24．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点
求证：四边形EGFH是菱形．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MA N绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
2015-2016学年辽宁省锦州市凌海市石山中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c=0 B．+x=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3x2+1=2x+2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0时是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，则EF的长是( )
A．3 B．2 C．1.5 D．1
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC=2AB﹣BC，继而可得出答案．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∴2AB﹣BC=AE+FD﹣BC=EF=1cm．
故选D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
3．用配方法解方程2x2﹣x﹣1=0，变形结果正确的是( )
A．（x﹣）2=B．（x﹣）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】配方法．
【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：∵2x2﹣x﹣1=0
∴2x2﹣x=1
∴x2﹣x=
∴x2﹣x+=+
∴（x﹣）2=
故选D．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．下列命题正确的是( )
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形
B．对角线相等的四边形一定是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形
D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．【专题】计算题．
【分析】A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形；
B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对角线相等的平行四边形为矩形；
C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形．
【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，
故本选项为假命题；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，
例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，
故本选项为假命题；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形为平行四边形，又AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题，
故选D
【点评】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键．
5．若a为方程x2+2x﹣5=0的解，则3a2+6a+1的值为( )
A．12 B．16 C．9 D．6
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=a代入已知方程，求得（a2+2a）的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．【解答】解：根据题意，得
a2+2a﹣5=0，即a2+2a=5，
则3a2+6a+1=3（a2+2a）+1=3×5+1=16．
故选B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值．
6．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为( )
A．cm B．cm C．cm D．cm
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再根据勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等于底边乘以高，也等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，
∴AC⊥BD，且OA=AC=4cm，OB=BD=3cm，
根据勾股定理，AB===5cm，
设菱形的高为h，
则菱形的面积=AB•h=AC•BD，
即5h=×8×6，
解得h=，
即菱形的高为cm．
故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及菱形的面积的两种求解方法．
7．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为( )
A． B．2 C．D．﹣2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先把方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1•x2=
﹣1，再把原式通分得，然后利用整体思想进行计算．
【解答】解：方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，
根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，
∴原式===﹣2．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为
x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
8．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( )
A．6 B．8 C．12 D．10
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB=ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，
∴CM=6，
∴BM==10，
∴DN+MN的最小值是10．
故选D．
【点评】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为4．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
【解答】解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t=6，
解得t=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为
x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
10．三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2﹣10x+21=0的解，则第三边的长为7．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】将已知的方程x2﹣10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长
【解答】解：x2﹣10x+21=0，
因式分解得：（x﹣3）（x﹣7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2﹣10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
所以第三边的长为7．
故答案为7．
【点评】此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解
11．已知E、F、G、H是四边形ABCD各边上的中点且AC=BD，则四边形EFGH的形状是菱形．【考点】中点四边形．
【分析】根据三角形中位线的性质，可得EF与GH的关系，根据平行四边的判定，可得四边形EFGH的形状，根据菱形的判定，可得答案．
【解答】解：如图：
，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EF=AC，GH=AC，
∴EF∥HG，EF=GH，
∴EFGH是平行四边形．
同理FG=AC．
∵AC=BD，
∴EF=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案是：菱形．
【点评】本题考查了中点四边形，利用了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，注意四边形中点的图形是平行四边形，对角线相等的四边形中点的图形是菱形，对角线互相垂直的四边形中点的图形是矩形．
12．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c=0 （a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是3.24＜x＜3.25
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
【考点】图象法求一元二次方程的近似根．
【分析】根据上面的表格，可得二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标即为方程ax2+bx+c=0的解，当x=3.24时，y=﹣0.02；当x=3.25时，y=0.03；则二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点的横坐标应在3.24和3.25之间．
【解答】解：∵当x=3.24时，y=﹣0.02；
当x=3.25时，y=0.03；
∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
【点评】此题主要考查了用函数的图象求一元二次方程的近似根，要用到数形结合思想，应熟练掌握．
13．一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=﹣1．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】把x=0代入原方程即可解得a值，再根据一元二次方程的特点求出合适的a值．【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0
得到a2﹣1=0，
解得a=±1，
∵a﹣1≠0，∴a≠1
即a=﹣1
所以一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，则
PE+PF的值为．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，根据勾股定理求出BD，求出AO、DO、根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC，BD=2BO=2DO，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD===10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴×AO×PE+×DO×PF=12，
∴5PE+5PF=24，
PE+PF=，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积，矩形的性质，勾股定理的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，等底等高的三角形面积相等．
15．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？如果设这个小组有x个人，根据题意，可列方程x（x﹣1）=72．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设这个小组有x个人，则每个人送出去（x﹣1）张贺卡，根据全组共送贺卡72张，列方程即可．
【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得，x（x﹣1）=72．
故答案为：x（x﹣1）=72．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．
16．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…A n分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．
【考点】正方形的性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）=cm2．
故答案为：．
【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
三．计算题（每小题20分，共20分，）
17．用适当的方法解下列一元二次方程
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开平方法）
（2）x2+2x﹣3=0（配方法）
（3）x（x﹣4）=8﹣2x（因式分解法）
（4）（x+1）（x﹣2）=4 （公式法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可；
（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（4）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣1）2=9，
开方得：x﹣1=3或x﹣1=﹣3，
解得：x1=4，x2=﹣2；
（2）方程整理得：x2+2x=3，
配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，
开方得：x+1=2或x+1=﹣2，
解得：x1=1，x2=﹣3；
（3）方程整理得：x（x﹣4）+2（x﹣4）=0，
分解因式得：（x﹣4）（x+2）=0，
解得：x1=4，x2=﹣2；
（4）方程整理得：x2﹣x﹣6=0，
这里a=1，b=﹣1，c=﹣6，
∵△=1+24=25，
∴x=，
解得：x1=3，x2=﹣2．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
四．解答题（每小题10分，共40分）
18．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．
【考点】根的判别式．
【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
（2）直接代入x=1，求得m的值后，解方程即可求得另一个根．
【解答】证明：（1）∵a=1，b=﹣（2m+1），c=m2+m，
∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+m）=1，
∴△＞0，
∴关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+m=0恒有两个不相等的实数根．
（2）把x=1代入原方程得，1﹣（2m+1）+m2+m=0，
解得m=0或1，
当m=0时，原方程化为x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1，即另一个根为x=0；
当m=1时，原方程化为x2﹣3x+2=0，
解得：x1=2，x2=1，即另一个根为x=2．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
19．某企业2012年盈利1500万元，2014年克服不利影响，仍实现盈利2160万元．从2012年到2014年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：
（1）该企业2012﹣2014年盈利的年增长率是多少？
（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2015年盈利多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）增长基数为1500万元，增长次数2次，增长后的值为2160万元，根据增长率公式，列方程求解；
（2）根据（1）所求增长率，求2015年的盈利即可．
【解答】解：（1）设该企业每年盈利的年增长率是x，依题意，得1500（1+x）2=2160，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），
答：该企业每年盈利的年增长率是20%；
（2）2015年总盈利是2160×（1+20%）=2592，
所以，预计2015年盈利2592万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加赢利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装赢利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】可设每件童装应降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，
（40﹣x）=1200，
解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．
答：每件童装应降价20元．
【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用．
21．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A开始沿 AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积为8列出方程求得时间即可；
（2）根据面积为8列出方程，判定方程是否有解即可．
【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，根据题意得：
×2t（6﹣t）=8，
解得：t=2或4．
答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）由题意得，
×2t（6﹣t）=10，
整理得：t2﹣6t+10=0，
b2﹣4ac=36﹣40=﹣4＜0，
此方程无解，
所以△PBQ的面积不能等于10cm2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．
五．证明题（22.23，24每小题10分，25题12分共42分）
22．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【考点】矩形的判定；正方形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
【点评】此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形和矩形的判定是解题关键．
23．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥B D交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点
求证：四边形EGFH是菱形．
【考点】菱形的判定；中点四边形．
【专题】证明题．
【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF=EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE=EH，即可得出结论．
【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，
∴GF∥AD，GF=AD，GE=BC，EH∥AD，EH=AD，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AD=BC，
∴GE=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法；熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系是解决问题的关键．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．
【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN﹣BM=MN．
在线段DN上截取DQ=BM，
在△ADQ与△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AM N和△AQN中，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN﹣BM=MN．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．。