2019-2020学年苏教版选修2-1 3.2.2 空间线面关系的判定 课时作业

1．已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：
(1)MN ∥平面PAD ；
(2)平面PMC ⊥平面PDC .
建立空间直角坐标系A (O )­xyz 如图：
设|PA |＝|AD |＝b ，|AB |＝a ，则B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0，b,0)，P (0,0，b )，因为M 、N 分别为AB 、PC 的中点，
所以M (a 2，0,0)，N (a 2，b 2，b 2)． (1)因为MN →＝(0，b 2，b 2
)， 显然MN →＝12AD →＋12
AP →，所以MN →与AD →、AP →共面， 因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .
(2)因为DC →＝(a,0,0)，DP →＝(0，－b ，b )
所以MN →·DC →＝0，MN →·DP →＝0，
即MN ⊥DC ，MN ⊥DP ⇒MN ⊥平面PDC ，
又MN ⊂平面PMC ，所以平面PMC ⊥平面PDC .
2．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．
(1)求证：AM ∥平面BDE ；
(2)求证：AM ⊥平面BDF .
(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是(
22，22，0)、(0,0,1)，所以NE →＝(－22，－22，1)，
又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)，(
22，22
，1)， 所以AM →＝(－22，－22
，1)． 所以NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM .
又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，
所以AM ∥平面BDE .
(2)由(1)知AM →＝(－22，－22，1)， 因为D (2，0,0)，F (2，2，1)，所以DF →＝(0，2，1)，
所以AM →·DF →＝0，所以AM →⊥DF →，
所以AM ⊥DF ，同理AM ⊥BF .
又DF ∩BF ＝F ，所以AM ⊥平面BDF .
3．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．
设正方体的棱长为1，如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系，
依题意，得B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，E (0,1，12
)， 所以BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12
)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0得
⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0，
所以x ＝z ，y ＝12
z ，令z ＝2得，n ＝(2,1,2)， 设F 是棱C 1D 1上的一点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)，
又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)，而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是，
B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →
·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0，
所以2(t －1)＋1＝0，得t ＝12
， 故F 是C 1D 1的中点，
这说明在棱C 1D 1上存在一点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .
4．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.
(1)求证：AC ⊥BC 1；
(2)在AB 上是否存在点D ，使AC 1⊥CD?
(3)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1?
在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)．
(1)证明：AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，
因为AC →·BC 1→＝0，
所以AC →⊥BC 1→.所以AC ⊥BC 1.
(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，
则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)．
于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)．
由于AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ，
所以－9＋9λ＝0，得λ＝1.
所以在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ，且这时点D 与点B 重合．
(3)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，
则AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D (3－3λ，4λ，0)． B 1D →
＝(3－3λ，4λ－4，－4)．
又B 1C →＝(0，－4，－4)，
由于AC 1→＝(－3,0,4)，AC 1∥平面CDB 1，
所以存在实数m ，n ，使AC 1→＝mB 1D →＋nB 1C →成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m －3λ＝－3，m
λ－－4n ＝0，－4m －4n ＝4.所以λ＝12
. 所以在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，且D 是AB 的中点．。