高中数学综合练习 苏教版选修2—1

高中苏教版选修（2-1）综合测试题
选择题 1．已知
{}
M =直线，{}
N =抛物线，则M N 的元素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．1或2
答案：A 2．“
p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：B 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的有（ ）
①1()AB BC CC ++； ②11111()AA A D DC ++； ③111()AB BB BC ++； ④
11111()AA A B BC ++．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
答案：D
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A ．αβ∃∈R ，，使sin()sin sin αβαβ-=-
B ．x ∀∈R ，E 6
3
10x x ++>
C ．x y ∀∈R ，
，使2x y
+D ．x y ∀∈R ，，有
2
2x y xy +⎛⎫
⎪⎝⎭≤ 答案：C
5．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为1
2y x
=±，则该双曲线的离心率等于（ ）
A ．5
B
C
． D ．54
答案：C
6．已知正四体ABCD 的棱长为1，点E F ，分别是AD DC ，的中点，则EF BA 等于（ ）
A ．14
B
．4 C ．14-
D
．
4-
答案：C
7．设A B ，为两个集合，下列四个命题： ①A B x A ⇔∀∈Ú，有x B ∉； ②A B A B ⇔=∅Ú； ③A B A
B ⇔谯；
④
A B x A ⇔∃∈Ú，使得x B ∉．
其中真命题的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．①③④
D ．④
答案：D
8．如果方程22
1
x y p q +=-表示曲线，则表示与该双曲线共焦点的椭圆是（ ） A ．22
12x y q p q +=+ B ．22
12x y q p p +=-+ C ．22
1
2x y p q q +=+
D ．22
12x y p q p +=-+
答案：D
9．如图1，在直三棱柱ABO
111A B O -中，
π
2AOB ∠=
，3AO =，
4BO =，15OO =，M 是11A B 的中点，则BM 的坐标是（ ）
A ．(325)-，
，
B ．
3252⎛⎫
- ⎪⎝⎭，， C ．3052
⎛⎫
⎪⎝⎭，，
D ．(305)，
， 答案：B
10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22
221(0)x y a b a b -=>>和抛物
线
22(0)y px p =>的离心率分别为123e e e ，，，则（ ）
A ．
123e e e >
B ．
123e e e =
C ．
123e e e <
D ．
123e e e ≥
答案：C
11．如图2，设直三棱柱
111ABC A B C -中，1A B A C A A ==
，
90BAC ∠=，M Q ，分别是1CC BC ，的中点，P 点在11A B 上，且
11:1:2A P PB =，则AM 与PQ 所成的角等于（ ）
A ．
30 B ．
45
C ．
60
D ．
90
答案：D
12．设过点()P x y ，的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A B ，两点，点Q 与
点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则P 点的轨迹方程是
（ ）
A ．
22
331(00)2x y x y +
=>>， B ．
22
331(00)2x y x y -
=>>，
C ．2
2331(00)2x y x y -=>>， D ．2
2331(00)2x y x y +=>>，
答案：D 二、填空题
13．如图3，已知正方体
1111ABCD A BC D -中，点E F ，分别是底面
11AC 和侧面1CD 的中心，若1EF A D λ+=0，则λ= ．
答案：1
2-
14．设P 为椭圆2
21
4x y +=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的
轨迹方程是 ．
答案：
2241x y += 15．边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，过O 作平面ABCD 的垂线，在其垂线上取点P ，
使2OP =，连结PC ，取PC 的中点E ，则cos BE DE =， ． 答案：17-
16．有下列四个命题：
①命题“若1xy =，则x y ，互为倒数”的逆命题； ②命题“存在两个等边三角形，它们不相似”的否定； ③命题“若1m ≤，则2
20x x m -+=有实根”的逆否命题； ④命题“若A
B B =，则A B ⊆”的逆否命题．
其中是真命题的有 ． 答案：①②③ 三、解答题
17．已知a b ∈R ，，若2
0x ax b ++≤有非空解集，则2
40a b -≥．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
解：逆命题：已知a b ∈R ，，若2
40a b -≥， 则2
0x ax b ++≤有非空解集．真命题．
否命题：已知a b ∈R ，，若2
0x ax b ++≤没有非空解集，则2
40a b -<．真命题． 逆否命题：已知a b ∈R ，，若2
40a b -<，则2
0x ax b ++≤没有非空解集．真命题．
18．在平行六面体
1111ABCD A BC D -中，求证：1112AC AB AD AC ++=．
证明：因平行六面体的六个面均为平行四边形，
所以有以下三式：
AC AB AD =+，1111AB AB AA AD AD AA =++=+，
则
11111()()()2()AC AB AD AB AD AB AA AD AA AB AD AA ++=+++++=++． 由于11AA CC =，AD BC =，
所以
1111AB AD AA AB BC CC AC CC AC ++=++=+=．
故
1112AC AB AD AC ++=．
19．已知12F F ，是双曲线22
1916x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF =，
求证：
12PF PF ⊥．
证明：由
126
PF PF -=，
得2
2
1122236
PF PF PF PF -+=．
由1232
PF PF =，
得
2
2
12100
PF PF +=．
而2
91625c =+=，则2
12100
F F =，
即22
1212
PF PF F F +=，
故
12PF PF ⊥．
20．已知直线10x y +-=与椭圆
223
4x by +=
相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．
解：由221034x y x by +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2(44)810b y y +-+=．
因为直线与椭圆相交于两个不同点，
所以440644(44)0b b +≠⎧⎨
∆=-+>⎩，，
解得3b <且1b ≠-．
又方程
223
4x by +=
表示椭圆．
所以0b >，且1b ≠． 综上，实数b 的取值范围是{}|031b b b <<≠，且．
21．如图4，已知ABC △是以B ∠为直角的直角三角形，SA ⊥
平面
ABC ，2SA BC ==，4AB =，N D ，分别是AB BC ，的中点，求A 到平面SND 的距
离．
解：如图所示，建立空间直角坐标系，则
(022)(142)NS SD =-=--，，，，，．
设平面SND 的法向量为(1)x y =，，
n ． 0NS =n ，0SD =n ，
220420y x y -+=⎧∴⎨-+-=⎩，，21x y =⎧∴⎨
=⎩，．
(211)∴=，，n ．
(002)AS =，，，A ∴到平面SND 的距离为：
AS d =
=
=n n
．
22．如图5，F 为抛物线
2
2(0)y px p =>的焦点，(42)A ，为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PA PF
+的最小值为8．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B C ，两点，且90BOC ∠=，证明你的结论． 解：（1）由抛物线性质，得
min ()2A p PA PF x +=
+，482p
+=，
解得8p =．
故抛物线方程为
216y x =； （2）假设存在满足条件的定点M ，
当过点M 的直线斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 显然00k b ≠≠，，直线交抛物线于B C ，两点． 设
()()B B C C B x
y
C x y ，，，
90BOC ∠=，1BO CO k k ∴=-，
0B C B C x x y y ∴+=．
将直线方程代入抛物线方程， 得2
16160ky y b -+=．
16B C b y y k ∴=，222
2
2
16B C B C y y b x x k ==，
22160b b
k k ∴+=，16b k ∴=-．
∴动直线方程为16y kx k =-，即(16)y k x =-，
它必过点(160)，
． 当过点M 的直线斜率不存在时，
直线16x =交抛物线于点(1616)(1616)B C -，，，，仍有90BOC ∠=． 故存在定点(160)M ，
满足条件．
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高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题 1．已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有（ ）
A ．p 真，q 假
B ．q
真，p 假
C ．
p 真，q 真
D ．
p 真，q 可真可假
答案：D
2．抛物线2
2y x =-的焦点坐标是（ ）
A ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B ．(01)，
C ．
108⎛
⎫- ⎪
⎝⎭，
D
．
104⎛
⎫- ⎪
⎝⎭， 答案：C
3．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1
()
2AB BD BC ++化简的结果是（ ）
A ．AM
B ．BM
C ．CM
D ．DM
答案：A
4．方程2
x xy x +=的曲线是（ ）
A ．一个点
B ．一条直线
C ．两条直线
D ．一个点和一条直线
答案：C
5．若焦点在x 轴上的椭圆22
12x y m +=的离心率为12，则m 等于（ ） A ．3
2
B
C ．83
D ．23
答案：A
6．(83)(265)a b ==，
，，，，m n ，若∥m n ，则a b +的值为（ ） A ．0 B ．52
C ．212
D ．8
答案：C
7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C ．丙是甲的充要条件
D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 8．设
12x x ∈R ，，常数0a >，定义运算“*”为：12124x x x x *=，等号右边是通常的乘
法运算，如果在平面直角坐标系中，动点P 的坐标()x y ，满足关系式：22y y
a x
*=*，则
动点P 的轨迹方程为（ ）
A ．
21
2y ax =
B ．
2y ax = C ．
2
2y ax =
D ．
24y ax = 答案：D
9．正方体
1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在对角线
1AC 上，且11
2AM MC =
，N 为
1B B 的中点，则MN 为（ ） A
．
B
．
C
． D
．
答案：A
10．若函数()()f x g x ，的定义域和值域都是R ，则“()()f x g x <”成立的充要条件是（ ） A ．
0x ∃∈R ，使得00()()f x g x <
B ．存在无数多个实数x ，使得()()f x g x <
C ．x ∀∈R ，都有
1
()()2f x g x +
<
D ．不存在实数x ，使得()()f x g x ≥ 答案：D
11．若椭圆221x y m p +=与双曲线22
1(0)
x y m n p m p n p -=>≠，，，有公共的焦点1
2F F ，，其交点为Q ，则
12QF F △的面积是（ ）
A ．m n +
B ．2m n
+
C ．
p
D ．2p
答案：C
12．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值是（ ）
A
．
B
． C ．12-
D ．12
答案：D 二、填空题
13．已知正方体
1
1
1A B C D A B C D -中
，P M ，为空间任意两点，若1111764PM PB BA AA AD =+++，则M 点一定 平面11BA D 内（填“在”或“不
在”）．
答案：在
14．下面结论：
①命题:p “设，a b 为向量，如果⊥a b ，则0a b =”的否命题为“如果a 不垂直于b ，则0≠a b ”；
②命题22:0()p a b a b +<∈R ，；命题22
:0()q a b a b +∈R ，，则“p q ∧”是真命题； ③“0ab <”是“方程
22
ax by c +=”表示双曲线的必要非充分条件； ④命题:()p x M p x ∀∈，的否定是：x ∃∈R ，()p x ⌝； ⑤命题
:p “4的平方根是2”的否定是：
“4的平方根不是2”．
其中正确的序号是 ．
答案：①③④
15．如图1，已知l αβ--为直二面角，A B ，在l 上，AC BD ，
分别在αβ，内，且AC 与l 的夹角为45，BD l ⊥，AC =，
24AB BC ==，，则CD 的长为 ．
16．在ABC △中，(20)(20)()B C A x y -，，
，，，，给出ABC △满足的条件，就得到动点A 的轨迹方程．
下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC △满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来（错一条连线得0分）；
答案：①——c ，②——a ，③——b
三、解答题
17．设a b c ，，为ABC △的三边，求证：方程2
2
20x ax b ++=与2
2
20x cx b +-=有共公根的充要条件是90A ∠=． 证明：充分性：
90A ∠=，222a b c ∴=+，
于是方程2
2
20x ax b ++=，
可化为
22220x ax a c ++-=． 22()()0x ax a c a c ∴+++-=，
即[()][()]0x a c x a c +++-=． 该方程有两根
1()x a c =-+，2()x a c =--．
同样另一方程2
2
20x cx b +-=，
也可化为
2222()0x cx a c +--=， 即[()][()]0x c a x c a +++-=， 也有两根3()x a c =-+，4()x c a =--． 可以发现
13x x =，∴方程①②有公共根．
必要性：设x 是方程的公共根，
则22
2
22020x ax b x cx b ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，①．②
由+①②，得()x a c =-+，或0x =（不合题意，舍去） 代入①并整理，得2
2
2
a b c =+．
90A ∴∠=．
综上所述，结论成立．
18．若一动点M 与定直线
16:5l x =
的距离和它到定点(50)A ，
的距离的比是4
5． （1）求动点M 的轨迹方程；
（2）设所求轨迹C 上有一点P 与两个定点(50)(50)A B -，，
，的连线互相垂直，求PA PB
的值．
解：（1）设动点()M x y ，
4
5
=
，
整理，得22
1169x y -=；
（2）依题意，得22
1008PB PA PB PA ⎧+=⎪⎨
-=⎪⎩
，，
解得18
PA PB =．
19．如图2，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB AD ，的夹角都是60，N 是CM
的中点．设AB AD
AM ===，，a b c ，试以，，a b c 为基向量表示出向量BN 的长．
解：1
2BN BC CN AD CM
=+=+
1
()
2AD AM AC =+- 1
[()]
2AD AM AD AB =+-+ 111222AB AD AM
=-++ 111222=-++a b c
．
2
2
21
112
22BN BN ⎛⎫==-++ ⎪
⎝⎭a b c 2221
(222)4=++--+a b c a b a c b c
117(4490223cos 60223cos 60)4
4=
++--⨯⨯+⨯⨯=．
故线段BN 的长为．
20．已知三点12(52)(60)(60)P F F -，，，，，．
（1）求以12F F ，为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
（2）设点
12P F F ，，关于直线y x =的对称点分别为12P F F '''，，，求以12F F ''，为焦点且
过点P '的双曲线的标准方程．
解：（
1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>，
其半焦距6c =．
122a PF PF =+==
a ∴=22245369
b a
c =-=-=．
所以所求椭圆的标准方程为22
1
459x y +=；
（2）点
12(52)(60)(60)P F F -，，，，，关于直线y x =的对称点分别为
12(25)(06)(06)
P F F '''-，，，，，．
设所求双曲线的标准方程为22
112211
1(00)y x a b a b -=>>，．
由题意知，半焦距16c =
，
1122a P F P F ''''=-==．
1a ∴=222111362016b c a =-=-=．
所以所求双曲线的标准方程为22
1
2016y x -=．
21．如图3，在直三棱柱
111ABC A B C -中，AB BC =，D E ，分别为
11BB AC ，的中点．
（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；
（2
）设
1AA AC =D ，求二面角11A AD C --的大小．
（1）证明：如图，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点， 设1(00)(00)(02)A a B b B b c ，，，，，，，，．
则
1(00)(02)(00)(0)C a C a c E c D b c --，，，，，，，，，，，．
(00)ED b =，，，1(002)BB c =，，． 10ED BB =， 1ED BB ∴⊥．
又
1(202)AC a c =-，，，
10ED AC =， 1ED AC ∴⊥，
所以ED 是异面直
1BB 与1AC 的公垂线．
（2）解：不妨设(1
00)A ，， 则
1(010)(100)(102)B C A -，，，，，，，，，
(110)BC =--，，，(110)AB =-，，，1(002)AA =，，， 0BC AB =，10BC AA =，即BC AB ⊥，1BC AA ⊥，
又
1AB
AA A =，
BC ∴⊥面1A AD ．
又(001)(001)(100)E D C -，
，，，，，，，， (101)(101)(010)EC AE ED =--=-=，，，，，，，，，
0EC AE =，0EC ED =，即EC AE ⊥，EC ED ⊥，
又AE
ED E =，
EC ∴⊥面1C AD ．
1
cos 2
EC BC EC BC EC BC
=
=
，，
即得EC 和BC 的夹角为60． 所以二面角
11A AD C --为60．
22．有如下命题：已知椭圆22
1
94x y +=，AA '是椭圆的长轴，11()P x y ，是椭圆上异于A A '
，的任意一点，过P 作斜率为
1
149x y -
的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，
垂足分别为点A A '，，则
（1）
AM A M ''
为定值4；
（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为12．
请分析上述命题，并根据上述命题对于椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>构造出一个具有一般性
结论的命题，使上述命题是一个特例．写出这一命题，并证明这一命题是真命题．
解：这一命题是：已知22
221(0)x y a b a b +=>>，AA '是椭圆的长轴，
11()P x y ，是椭圆上异于A A '，的任意一点，过P 作斜率为
21
2
1b x a y -的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，垂足分别为A A '，，则 （1）
AM A M ''
为定值2
b ；
（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为2ab ． 这一命题是真命题，证明如下：
（1）不妨设(0)(0)A a A a '-，，，，则直线21
1121:()
b x l y y x x a y -=--，
即
22222222
1111b x x a y y b x a y a b +=+=． 由M 与A ，M '与A '有相同的横坐标，
得22221111ab b x ab b x M a M a ay ay ⎛⎫⎛⎫+-'- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭，，，， M M AM A M y y '''∴=222211
11ab b x ab b x ay ay +-=
22222
2
1221
a b b x b b a y -==；
（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，
四边形的面积
1
()2S AA AM A M '''=
+．
2AA a
'=，且
AM A M ''
，都为正数，
1
()()2S AA AM A M a AM A M '''''∴=
+=+
2a ab
=≥．
即四边形的面积的最小值为2ab ．
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高中苏教版选修（2-1）综合测试题
一、选择题
1．设命题:05p x <<，命题:23q x -<，那么p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 答案：A
2．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行．
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：B
3．下列命题中的真命题是（ ）
A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件
B ．“A
B ≠∅”J “A B Ü”的充分条件
C ．“240b ac -<”是“一元二次不等式
2
0ax bx c ++>的解集为R ”的充要条件 D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 答案：D
4．在平面直角坐标系中，到两坐标轴的距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ） A ．1
x y -= B ．1x y -= C ．
1
x y -=±
D ．
1
x y ±=
5．椭圆22
14x y m +=的焦距是2，则m 的值是（ ）
A ．5
B ．5或8
C ．3或5
D ．20
答案：C
6．已知椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴，椭圆22
221x y a b +=的短轴长与椭圆22
1219y x +=的短轴长相等，则（ ）
A ．225a =，2
16b = B ．2
9a =，2
25b =
C ．2
25a =，2
9b =，或2
9a =，2
25b = D ．2
25a =，2
9b = 答案：D
7．已知方程22
152
x y k k -=--表示的图形是双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A ．5k >
B ．5k >或22k -<<
C ．2k >，或2k <-
D ．22k -<< 答案：B
8．椭圆222134x y n +=和双曲线22
2
116x y n -=有共同的焦点，则n =（ ）
A ．5±
B ．3±
C ．25
D ．9
答案：B
9．过抛物线
28y x =的焦点F 作倾斜角为3π
4的直线，交抛物线于A B ，两点，则AB =（ ） A ．8
B
．C
．
D ．16
10．若椭圆221(05)5x y m m +=<<和双曲线22
1(0)
3x y n n -=>有相同的焦点1
2F F ，，P 是两条曲线的一个交点，
12PF PF ⊥，则12PF F △的面积是（ ）
A ．1
B ．1
2
C ．4
D ．4
答案：A
11．已知a b ，是异面直线：A B a ∈，，C D b ∈，，AC b ⊥，BD b ⊥，且
21AB CD ==，，则a b ，所成的角为（ ）
A ．
30 B ．
45
C ．
60
D ．
90
答案：C
12．如图1，已知P 是二面角AB αβ--棱上的一点，分别在
αβ，内引射线P M P N ，，使45BPM BPN ∠=∠=，
60MPN ∠=，那么二面角AB αβ--的大小为（ ）
A ．
60 B ．
70
C ．
80
D ．
90
答案：D 二、填空题
13．已知平面α的一个法向量
1214x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a ，(121)=-，，b ，1322⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭，，c ，且，b c 在α内，则=a ．
答案：
91
152264⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 14．在长方体
1111ABCD A BC D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面
11AB D 的距离为 ．
答案：4
3
15．设中心在坐标原点的椭圆与双曲线
22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．
答案：2
21
2x y +=
16．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是 ． 答案：5.625cm 三、解答题
17．已知:p 方程210x mx ++=有两个不相等的负根；:q 方程
244(2)10x m x +-+=无实根，若
p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解：p 真2400m m ⎧∆=->⇔⎨>⎩，
，
解得2m >，即:2p m >，
q 真216(43)0m m ⇔∆=-+<，
解得13m <<，即:13q m <<． 因
p 或q 为真，所以p q ，至少有一个为真；又p 且q 为假，所以p 或q 是至少有一个为假． 因此
p q ，必一真一假，即
213m m m >⎧⎨⎩，≤或≥，或213m m ⎧⎨<<⎩≤，，
解得3m ≥或12m <≤．
18．如图2，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为
12F F ，，斜率为k 的直线l 过左焦点1F 且与椭圆的交点为A B ，，与
y 轴交点为D ，又B 为线段1DF 的中点，
若
k ，求椭圆离心率e
的取值范围．
解：设:()l y k x c =+，
则
(0)22c kc D kc B ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，，，．
B 在椭圆上，222
221
44c k c a b ∴+=，
即222222144()c k c a a c +=-，即222
241k e e e +=-．
222
2
(4)(1)72e e k e --∴=≤，
则有42
21780e e -+≤，解得21
12e <≤．
e ∴
的取值范围为12⎫
⎪⎪⎣
⎭．
19．双曲线22
221(10)x y a b a b -=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，且点(10)，到直线l 的距离与点(1
0)-，到直线l 的距离之和4
5s c
≥，求双曲线的离心率e 的取值范围． 解：直线l 的方程为1
x y a b +=，即0bx ay ab +-=，
由点到直线的距离公式，且1a >，得点(1
0)，到直线l
的距离1d =
同理可得点(1
0)-，到直线l
的距离2d =
122ab
s d d c ∴=+=
=
，
又45s c ≥，得
245ab c c ≥，即222
52a c a c
-≥， 于是得2
2e ，即42
425250e e -+≤，
解得
2554e ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦，，
又1e >，e ∴
的范围是
e ∈⎣． 20．如图3，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E F G ，，分别是1
1DD BD BB ，，的中点．
（1）求证：EF CF ⊥；
（2）求EF 与CG 所成角的余弦； （3）求CE 的长．
解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系D xyz -，
则
1111(000)00(010)0112222D E C F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，， 1111111010012222222EF CF CG CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫∴=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，． （1）1111100
22222EF CF ⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
EF CF ∴⊥，即EF CF ⊥；
（2）
11111
102
2224EFCG ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=
⎪⎝⎭， 1EF ⎛
==
， 212CG ==
，
cos EF CG EF CG EF CG
∴=
，1
==
；
（3
）
2
02CE ==
． CE ∴的长为．
21．如图4，ABCD 是边长为a 的菱形，且60BAD ∠=，PAD △为正三角形，且面PAD ⊥
面ABCD ． （1）求
cos AB PD
，的值；
（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求EF
；
（3）求二面角P BC D --的大小．
解：（1）以AD 中点O 为原点，射线OB 为非负x 轴， 射线OD 为非负
y 轴，射线OP 为非负z 轴，
建立空间直角坐标系，则
000000002222a a A B a P a D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，
30022a a AB a PD ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，
则1
cos 4
AB PD
AB PD AB PD
=
=
，；
（2）
E F ，分别为AB PD ，的中点，
0044a a E F ⎫⎛⎫∴-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，，，，，
则4EF a ⎛== ；
（3）
面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，
PO ∴⊥
面ABCD ， BO AD ⊥，AD BC ∥， BO BC ∴⊥，则PB BC ⊥．
PBO ∴∠为二面角P C D --的平面角，
又
33000BO a BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，， 2
cos cos 2PBO BO BP ∴∠==
，，
45PBO ∴∠=，即该二面角大小为45．
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w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题
1．下列各组命题中，满足“p 或q 为真”，且“非p 为真”的是（ ）
A ．:0p =∅；:0q ∈∅
B ．
:p 在ABC △中，若cos 2cos 2A B =，则A B =；:sin q y x =在第一象限是增函数
C ．:)p a b a b +∈R ≥，；:q 不等式x x >的解集为(0)-∞，
D ．:p 圆22
(1)(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；:q 椭圆22
143x y +=的一条准线
方程是4x = 答案：C
2．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足6
PA PB +=，则
PA
的取值范
围是（ ）
A ．[1
4]， B ．[16]， C ．[26]， D ．[24]，
答案：D
3．设M 是ABC △的重心，记BC =a ，CA =b ，AB =c ，则AM =（ ）
A ．2-b c
B ．2-c b
C ．3-b c
D ．3-c b
答案：D
4．
35m <<是方程22
21
56x y m m m +=---表示双曲线的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 答案：A
5．已知双曲线
22
1x y -=，则过(01)P ，与它只有一个公共点的直线的条数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：D
6．如图1，在正三棱柱
111ABC A B C -中，
若1AB =，
则
1AB 与1C B 所成角的大小为（ ） A ．
60
B ．
90
C ．105
D ．
75
答案：B
7．下列全称命题为真命题的是（ ） A ．所有的素数是奇数 B ．x ∀∈R ，2
11x +≥
C ．对任一个无理数x ，2
x 也是无理数 D ．所有的平行向量均相等 答案：B
8．已知曲线22
1x y a b +=和直线10ax by ++=（a b ，为非零实数），在同一坐标系中，它
们的图象可能为（ ）
答案：C
9．已知12F F ，分别为双曲线22
221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 为双曲线上任一
点，若
2
2
1
PF PF 的最小值为8a ，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ）
A ．(1
)+，∞ B ．
(]03，
C ．
(]13，
D ．
(]12，
答案：
C
10．如图2所示，正方体
1111ABCD A BC D -中，棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则
O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．1
2
B
．4 C
．2 D
．
答案：B
11．已知圆锥曲线
2244mx y m +=的离心率e 为方程22520x x -+=的根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案：C
12．如图3所示，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂
直，AB =，1AF =，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点坐标为（ ）
A ．(111)
，，
B
．
1⎫
⎪⎪
⎝⎭ C ．
122⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭， D
．
144⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭， 答案：C 二、填空题
13．已知点A B C ∈，，平面 α，点P α∉，则0A P A B =，且0A
P A C =是0AP BC =的 条件． 答案：充分不必要
14．已知两点551444M N ⎛⎫⎛
⎫-- ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭，，，，给出下列曲线方程： ①4210x y +-=；②
22
3x y +=； ③22
14x y +=；④2212x y -=．
在曲线上存在点P 满足MP NP
=的所有曲线方程是 （填序号）．
答案：②③④ 15．已知M 为长方体
1AC 的棱BC 的中点，点P 在长方体1AC 的面11CC D D 内，且
11PM BB D D ∥，则点P 位置应落在 ．
答案：点P 在面
11DCC D 内DC 的中垂线上
16．方程22
1
41x y t t +=--表示的曲线为C ，给出下列四个命题：
①曲线C 不可能是圆；
②若曲线C 为椭圆，则14t <<； ③若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >；
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<
．
其中真命题的序号是 ． 答案：③④ 三、解答题
17．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题： （1）任一个奇数减去1，成为一个偶数； （2）没有一个实数x 使2
20x +=成立；
（3）存在一个角α，满足
1
sin 2α<
；
（4）对任意有理数x ，都有
22
33x x -
-是有理数；
（5）存在无理数，满足两个无理数的和是有理数． 解：（1）
{}
x ∀∈奇数，
{}
1x -∈偶数．
（2）x ∀∈R ，2
20x +≠．
（3）α∃∈R ，
1
sin 2α<
．
（4）x ∀∈Q ，22
33x x -
-∈Q ．
（5）{}
x y ∃∈，无理数，x y +∈Q ．
18．设过原点的直线l 与抛物线
2
4(1)y x =-交于A B ，两点，且以AB 为直径的圆恰好过
抛物线焦点F ． 求（1）直线l 的方程； （2）
AB
的长．
解：（1）设:l y kx =，抛物线的焦点为(20)F ，
， 222
4(1)440y x k x x y kx ⎧=-⇒-+=⎨
=⎩，．
当0k =时，l 与x 轴重合，不合题意，所以0k ≠． 设
1122()()A x y B x y ，，，，则
1224x x k +=
，12
24
x x k =． ①
因为AF BF ⊥，所以1AF BF k k =-，
所以1212122y y
x x =---，，整理得
21212122()40k x x x x x x +-++=， ②
①代入②，得
22244(1)
240k k k ⎛⎫
+-+= ⎪⎝⎭，
解得
2k =±
．
所以直线l
的方程为
2y x =±
；
（2）由（1）的求解，易得
128x x +=，128x x =，
所以AB =
==．
所以弦AB
的长为
19．已知
{}123，，e e e 为空间的一个基底，且12323OP =-+e e e ，1232OA =+-e e e ，
12332OB =-++e e e ，123OC =+-e e e ．
（1）判断P A B C ，，，四点是否共面； （2）能否以
{}OAOB
OC ，，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底
表示向量OP ．
解：（1）假设四点共面，则存在实数x y z ，，使OP xOA yOB zOC =++，
且1x y z ++=， 即
12312312312323(2)(32)()x y z -+=+-+-++++-e e e e e e e e e e e e ．
比较对应的系数，得一关于
x y z ，，的方程组
322123x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=-⎨⎪-+-=⎩
，，，解得17530x y z =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩，，与1x y z ++=矛盾，故四点不共面；
（2）若向量OAOB
OC ，，共面，则存在实数m n ，使OA mOB nOC =+， 同（1）可证，这不可能，因此{}OAOB OC ，，可以作为空间的一个基底，
令OA OB OC ===，
，a b c ， 由
1232+-=e e e a ，12332-++=e e e b ，123+-=e e e c 联立得到方程组，
从中解得
123
3547=--⎧⎪
=-⎨⎪=--⎩，
，
，e a b c e a c e a b c
所以17530OP OA OB OC =--．
20．如图4，已知双曲线的中心在原点，右顶点为(10)A ，，点P Q ，在双曲线的右支上，点(0)M m ，
到直线AP 的距离为1． （1）若直线AP 的斜率为k
，且
k ∈⎣，求实数m 的取值范围；
（2
）当1m =
时，APQ △的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程．
解：（1）由条件得直线AP 的方程为(1)y k x =-， 即0kx y k --=．
因为点M 到直线AP 的距离为1，
1
=，
即
1m -=
=
因为k ∈⎣
，所以123m -≤
解得
11m -≤≤
或13m +≤．
所以m
的取值范围是231113⎡⎡⎤
--+⎢⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，，；
（2）设双曲线方程为2
2
21(0)
y x b b -=≠，
由10)
(10)M A ，，，， 得
AM =．
又因为M 是APQ △的内心，M 到AP 的距离是1，所以45MAP ∠=， 直线AM 是QAP ∠的角平分线，且M 到AQ PQ ，的距离均为1，
因此
1AP k =，1AQ k =-（不妨设P 在第一象限）
，
则得直线PQ
方程为2x =+
AP 的方程为1y x =-．
所以P 点坐标为(2，将P
点坐标代入2
2
21
y x b -=，得
2
b = 所以双曲线方程为
22
1
x y =，
即22
1)1x y -=．
21．如图5是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m ，镜深2m ．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度． 解：（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，
使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．
由已知，得A 点坐标是(26)，
． 设抛物线方程为
2
2(0)y px p =>， 则36229p p =⨯⇒=．
∴所求抛物线的方程为2
18y x =，焦点坐标是902F ⎛⎫
⎪⎝⎭，．
（2）
盛水的容器在焦点处，
A F ∴，两点间的距离即为每根铁筋长．
132AF ==或913222AF ⎛⎫
=+= ⎪⎝
⎭． 故每根铁筋的长度是6.5m ．
22．如图6，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，
AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在
底面上的射影恰好为点O ，又2BO =
，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P AB C --的大小；
（3）设点M 在棱PC 上，且PM
MC λ
=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．
解：
PO ⊥平面ABCD ，
PO BD ∴⊥，
又PB PD ⊥，2BO =
，PO =
以O 为原点，OA OB OP ，，分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为(000)(200)(020)(100)(010)(00O A B C D P --，
，，，，，，，，，，，，，，． （1
）(01PD =-，，(120)BC =--，，， 3PD ∴=5BC =，2PD BC =， 215
cos PD BC
PD BC PD BC ∴=
=，．
故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为15；
（
2）设平面PAB 的一个法向量为()x y z =，，n ， 由于(220)(20AB AP =-=-，，，， 由00AB AP
⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得
x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，． 取=n ，又易知平面ABCD 的一个法向量(001)=，，m ， 2cos 2∴==，m n m n m n ，
又二面角P AB C --为锐角，
∴所求二面角P AB C --的大小为45；
（3）设00
(0)M
x z ，，，由于P M C ，，三点共线，00z
① PC ⊥平面BMD ，OM PC ∴⊥，
00(10(0
)0x z ∴-=，，，，
000x ∴=．
②
由①②知
023x =-，0z =，
203M ⎛∴- ⎝⎭， 2PM MC λ∴==，故2λ=时，PC ⊥平面BMD ．。