第一章简谐振动与频谱分析

63
64
解：
wn
k m
gk W
980*5.78*104 1.47 *105
19.6
重物匀速下降时处于静
平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0
x0 v
其振动规律为：
x
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
65
因为：
x0 0 x0 v
根据：
x
x0
cos nt
T cosnw1( 2
t)
T cosnw1( 2
t)
T
T
sin 2w1( 4 t) sin 2mw1( 4 t)
下图
几种常见的波谱
方波及其频谱 锯齿波及其频谱
几种常见的波谱
三角波及其频谱 阻尼振动及其频谱
作业
• 一个机器内某零件的振动规律为 x=0.5sinwt+0.3coswt, x 的单位是cm，w=10π 1/s. 这个振动是否简谐振动，求出它的振幅，最大 速度，最大加速度，并用旋转矢量表示三者之 间的关系
2. 能量法： 由Tmax=Umax , 求出 n
3. 瑞利法： n
g
st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
4. 等效刚度法:
72
2. 能量法： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
1.2 周期振动的谐波分析
任何一周期函数都可表示为简谐函数的合 成。也就是说，任何一个复杂的周期振动 x(t)都可以分解为一系列简谐振动之和
1.2 周期振动的谐波分析
设T是如图所示的周期振动函数，则有 x(t)=x(t±nT) n=1,2,3…
如果x(t)满足狄里赫利条件，则可以通过富 里叶级数展开为：
74
例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间 无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R， 质量为M，重物质量 m ，试列出系统微幅振动微分方程， 求出其固有频率。
75
解 ： 用机械能守恒定律
以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
56
或： x C1 cosnt C2 sin nt
C1，C2由初始条件决定 这里A和φ与C1和C2的关系为：
A c12 c22 tan 1 c1
c2
57
现考虑在初始扰动下的自由振动 x C1 cosnt C2 sin nt
设 t = 0 时，x x0 , x x0 则可求得：
•1、证明：
•1、证明：
• 设T=mT1=nT2，记x=x1+x2，则： • x(t+T)=x1(t+T)+x2(t+T) • = x1(t+mT1)+x2(t+nT2) • =x1(t)+x2(t) • =x(t)
3、频率很接近的两个简谐振动 的合成会出现“拍”的现象
补充知识：
和差化积
sin α+sinβ=2cos[(α-β)/2]·sin[(α+β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
x(t) Asin(t )
x(t) B cos(t )
其中:A为振幅、ω为圆（角）频率、Φ为初相位
单位分别是弧度（rad/s）、赫兹（Hz）秒（s）， 简谐振动三要素
速度和加速度：
x Asin(t )
x A cos(t ) A cos(t / 2) x A2 sin(t ) A2 sin(t )
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
四、其它
1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力 只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动 频率、振幅和相位等。
61
固有频率及固有周期
x0
n
sin
nt
其振动规律为：
x(t)
v
n
sin
nt
15*100 19.6 * 60
sin
19.6t
1.28sin
19.6t
(cm)
66
x(t) 1.28sin 19.6t (cm)
绳中的最大张力等于静张力 与因振动引起的动张力之和
T max Ts kA W kA
1.47 *105 5.78*104 *1.28
78
解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡 位置x为广义坐标。系统的最大动能为：
79
Tm
ax
1 2
M
(
xm
ax
)
2
1 2
或表示为：
其中：
54
55
二、在初始扰动下的自由振动 对于任何一个单自由度系统，以x 为广义坐标（从平衡位
置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
ax cx 0
a, c是与系统的物理参数有关的常数。令 n2 c / a
则自由振动的微分方程的标准形式：
x n2 x 0
方程的通解解为：x Asin(nt )
• 两张频谱图中的图形都是离散的直线，称为谱 线，各种分量的幅值及相位角如何一目了然， 这种分析振动的方法称为频谱分析
• 考虑的自变量由时间改变为频率，所以频谱分 析实际由时间域转入频率域
虽然周期振动的谐波分析以无穷级数出现， 但一般可以用有限近似表示周期振动
对称函数与反对称函数相乘在 区间积分应为零
1.47 *105 0.74*105
2.21*105 N
可见动张力几乎是静张力的一半，由于
kA k v v km wn
因而为了降低动张力，应该降低系统的刚度，工程上 采用弹簧减振钩就是此目的。相当于串联了一个弹67簧， 降低了刚度
例2.2 图示的直升机桨 叶经实验测出其质量 为m，质心C距铰中心 O距离为l。现给予桨 叶初始扰动，使其微
第一章 简谐振动与频谱分析
1.1简谐振动
简谐振动 ——最简单最基本的一种振动形式 周期性振动借助富里叶级数表示成一系列 简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析 非周期性振动借助富里叶积分表示成一系列 简谐振动的叠加
1.1简谐振动
1.1、简谐振动 定义：简谐运动是最简单的周期运动，它
是时间的单一正弦或余弦函数 。
速度相位超前位移90度，加速度相位又超前速度90度
x 2 x
即加速度大小与位移与正比，但方向总与位移相反
写成微分的形式:
d2x 2x 0
dt 2
这个微分方程的解是圆频率为w的正弦或余弦函数
1.4.2 常用的简谐振动表示方法
1.简谐振动的向量表示方法
位移、速度和加速度之间的关系
Aw
w
w
Ø 0
当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达 到最大值。
如：
Umax
1 2
k( A st
)2
1 2
k st 2
mgA
k st mg
U max
1 2
k A2
73
Tmax
1 2
mx
2
1 2
mA2n2
由 Tmax U max
1 2
mA2 n2
1 2
k A2
n
k m
能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振 动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。
C1 x0 , x＝－wnC1 sin wnt wnC2coswnt 代入：x＝x0 x0＝－wnC1 sin wnt wnC2coswnt
C1 x0 , C2 x0 / n
x
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
A
x02
x02
n2
,
arctg
n x0
x0
58
59
三、自由振动的特点：
A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。
令x为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，当系统受干扰时，根据 牛顿第二定律，有：
mx mg k (s x)
52
在静平衡时有：
mg ks
代入：
mx mg k (s x)
振动微分方程为：
mx kx
令 n2 k / m g / s
x n2x 0
方ห้องสมุดไป่ตู้的通解为：
x Asin(nt )
幅摆动，用秒表测得
多次摆动循环所用的
时间，除以循环次数
获得近似的固有周期， 试求桨叶绕垂直铰O的 转动惯量。
O l
C
mg
68
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
sin
J0 mgl 0
n
mgl , J0
Tn 2
狄里赫利条件
(1) 函数在任意有限区间内连续，或只有有 限个第一类间断点（当t从左或右趋于这 个间断点时，函数有有限的左极限和右 极限）
(2) 在一个周期内，函数有有限个极大值或 极小值。
富里叶级数
• 式中：
• 其中：
• 富里叶级数又可写为
• 记w=nw1,如果以频率w作为自变量，幅值 及相位角都是w 函数，他们的关系分别 为振幅频谱图与相位频谱图
设 x Asin(n ) 则有 xmax A , xmax An
(3 2
M
m) A2wn2
4k A2
wn 2
8k 3M
2m
n
8k 3M 2m
77
例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，
大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 k1 , k2，重物质量为m, 不计
轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。
第二章 单自由度系统的自由振动
单自由度系统具有实际意义和普遍意义
以弹簧质量系统为力学模型，讨论单自由度 无阻尼系统的固有振动和自由振动，
固有振动的表现形式为简谐振动，最重要的 数字特征：固有频率 固有频率的计算方法有静变形法、能量法、瑞利 法以及等效刚度、等效质量法 有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临 界阻尼及欠阻尼三种状态
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
以平衡位置为计算势能的零位置，
并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
因平衡时
U
k 2
[(
st
2x)2
st2] (M
m)gx
2kx2 2k st x (M m)gx
2k st x (M m)gx U 2kx2
76
由 T＝U 有：
1 ( 3 M m)x2 2kx2 22
n
k m
固有圆频率，为了方便也称 为固有频率，是系统的固有 特性，与系统是否振动无关
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
2 n
2
m k
固有周期
k / m g / s 62
固有频率及固有周期
wn
k m
g
s
对于不易得到刚度或质量的系统， 若能测出静变形，可用上式计算固有频率。
J0 mgl
J0
mgl 42
Tn2
Jc J0 ml 2
O l
C
mg
69
例 2.3 一个质量为m的物体从h高处自由落下， 与一根抗弯刚度为EJ、长L的简支梁作完全非弹 性碰撞，不计梁的质量，求梁的自由振动的频 率和最大挠度。
M
x
70
解：
M
由材料力学可知简支梁在
重物mg作用下的静变形为：
s
mgl 3 48 EJ
Aw2
Ø 0
2.简谐振动的复数表示方法
振动中几个简谐振动的合成 分以下三种情况：
1、两个相同频率的简谐振动的 合成仍然是简谐振动，并且保持 原来的频率
补充知识：
z
x iy
A(cost i sin t)
Aeit
z 2 A2 x2 y2
t arctg( y / x)
2、频率不同的两个简谐振动的 合成不再是简谐振动，振动比为 有理数时，合成为周期振动；频 率比为无理数时，合成为非周期 振动。
48
单自由度系统的自由振动
一、自由振动的概念：
49
单自由度系统的自由振动
m k 以弹簧质量系统为力学模型
50
单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型
51
运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。
质量—弹簧系统：
x
故自由振动频率为：
wn
g
s
48EJ ml 3
以梁受重时平衡位置为坐标原点，以撞击时为0时候
x0 s， x0 2gh
则自由振动振幅为： A
x0
( x0 wn
)2
梁的最大挠度为： max A s
s 2 2gh
71
§2 求系统固有频率的方法 1. 静变形法： w k / m g /
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T
——周期，每振动一次所经历的时间。T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
60
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；