课时跟踪检测(十四) 高考数学(理科)二轮总复习 层级2 保分专题5 概率与统计

第一部分高考层级专题突破
层级二7个能力专题师生共研
专题五概率与统计
第二讲统计与统计案例
课时跟踪检测(十四)统计与统计案例
A卷
一、选择题
1．(2019·衡阳一模)如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是()
A．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大
B．2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
C．2010年我国实际利用外资同比增速最大
D．2008年我国实际利用外资同比增速最大
解析：选D从图表中可以看出，我国实际利用外资规模2012年比2011年少，选项A错误；2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因
此实际利用外资规模与年份呈正相关，选项B 错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，选项C 错误，D 正确，故选D ．
2．(2019·内蒙古一模)经过对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某中学生的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为( )
A ．7
B ．9.5
C ．11.1
D ．12
解析：选C x 的平均数x －＝14×(4＋6＋8＋10)＝284＝7， y 的平均数y －＝14×(3＋5＋6＋8)＝224＝112＝5.5， 因为回归方程过点(x －，y －)，即(7,5.5)， 则5.5＝0.8×7＋a ^得a ^＝－0.1， 则y ^
＝0.8x －0.1，
则当x ＝14时，y ＝0.8×14－0.1＝11.2－0.1＝11.1， 即该中学生的识图能力为11.1，故选C ．
3．(2019·泰安一模)某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，
在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x－y的值为()
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选D根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为
1
5×(72＋77＋80＋x＋86＋90)＝81，解得x＝0；
又乙班5名同学的中位数为73，则y＝3；
所以x－y＝0－3＝－3.故选D．
4．(2019·武昌模拟)某宠物商店对30只宠物狗的体重(单位：千克)作了测量，并根据所得数据画出了频率分布直方图，如图所示，则这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约为()
A．15.5 B．15.6
C．15.7 D．16
解析：选B由频率分布直方图得这30只宠物狗体重(单位：千克)的平均值大约＝11×0.05×2＋13×0.1×2＋15×0.125×2＋17×0.125×2＋19×0.075×2＋21×0.025×2＝15.6.故选B．
5．(2019·天河区一模)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若低于60分的人数是30，则参加该测试的学生人数是()
A．45 B．50
C．75 D．100
解析：选D由频率分布直方图得低于60分的频率为
(0.005＋0.010)×20＝0.3，
∵低于60分的人数是30，
∴参加该测试的学生人数是30
0.3
＝100.故选D．
6．(2019·袁州区校级月考)甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两
组数据的平均数分别为x
甲，x
乙
，方差分别为σ2
甲
，σ2
乙
，则()
A ．x 甲>x 乙，σ2甲<σ2
乙
B ．x 甲>x 乙，σ2甲>σ2
乙
C ．x 甲<x 乙，σ2甲<σ2
乙 D ．x 甲<x 乙，σ2甲>σ2
乙
解析：选A 由甲乙两名同学6次考试的成绩统计图，知：甲组数据靠上，乙组数据靠下，甲组数据相对集中，乙组数据相对分散，由甲乙两组数据的平均
数分别为x 甲，x 乙，方差分别为σ2甲，σ2乙，得x 甲>x 乙，σ2甲<σ2
乙，故选A ．
二、填空题
7．(2019·海安模拟)某地区连续5天的最低气温(单位：℃)依次为8，－4，－1,0,2，则该组数据的标准差为________．
解析：某地区连续5天的最低气温(单位：℃)依次为8，－4，－1,0,2， ∴该组数据的平均数为1
5×(8－4－1＋0＋2)＝1， ∴该组数据的方差为
s 2＝1
5×[(8－1)2＋(－4－1)2＋(－1－1)2＋(0－1)2＋(2－1)2]＝16，
∴该组数据的标准差为4. 答案：4
8．(2019·江苏二模)某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，
将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中人数为________．
解析：由频率分布直方图得：
第一组与第二组的频率和为(0.24＋0.16)×1＝0.4，
∵第一组与第二组共有20人，
∴样本中总人数为20
0.4
＝50，
∵第三组的频率为0.36，∴第三组中人数为50×0.36＝18.
答案：18
9．(2019·海淀区校级一模)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的
两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①y^＝－30.4＋13.5t；
根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②y
^＝99＋17.5t.
利用这两个模型，该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值分别为________，________；并且可以判断利用模型________得到的预测值更可靠．解析：①y＝－30.4＋13.5×21＝253.1(亿元)．
②y＝99＋17.5×11＝291.5(亿元)．
当年份为2016时，对于模型①：t＝17，
y＝－30.4＋13.5×17＝199.1(亿元)，
对于模型②：t＝7，y＝99＋17.5×7＝221.5(亿元)，所以②的准确度较高，①的偏差较大，所以选择②得到的预测值更可靠．
答案：253.1亿元291.5亿元②
三、解答题
10．2022年北京冬奥会的申办成功与“三亿人上冰雪”口号的提出，使冰球这项运动被更多的人知道．北京某大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动是否有兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了100人进行调查，其
中女生中对冰球运动有兴趣的占2
3，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为对冰球运动是否有兴趣与性别有关？
(2)法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球运动有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望和方差．
附：K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：
根据列联表中的数据，得K 2
＝100×(45×15－10×30)55×45×75×25＝100
33≈3.030>2.706.
所以有90%的把握认为对冰球运动是否有兴趣与性别有关．
(2)由列联表中的数据可知，对冰球运动有兴趣的学生的频率是3
4，将频率视为概率，即从一年级全体学生中随机抽取1名学生，该学生对冰球运动有兴趣的概率是34，
由题意知X ～B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫5，34，从而X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 P
11 024
151 024
45512
135512
4051 024
2431 024
E (X )＝5×34＝15
4， D (X )＝5×34×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－34＝1516.
11．NBA 球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，以下是2017～2018赛季NBA 常规赛中，球员J 和H 在某15场常规赛中，每场比赛得分的茎叶图(如图)：
(1)根据茎叶图估计球员J 在本赛季的场均得分以及球员H 在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32的场数；
(2)效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员J 在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值如下表：
场次 1 2 3 4 5 得分x 18 21 27 30 31 效率值y
19
20.5
26.5
28.8
30.2
若球员J 求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，并由此估计在上述15场比赛中，球员J
的效率值超过31的场数(精确到0.001)．
参考公式：b
^＝
∑i ＝1
n
(x i －x －
)(y i －y －)∑i ＝1
n
(x i －x －
)2＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －
y －∑i ＝1
n
x 2i －n x －
2，a ^＝y －－b ^x －
.
参考数据：∑i ＝1
5x i y i ＝3 288.2，∑i ＝1
5
x 2i ＝3 355.
解：(1)由茎叶图可得球员J 在15场比赛中的场均得分为
1
15×(15＋18＋21＋22＋22＋24＋27＋30＋32＋33＋36＋37＋38＋39＋41)＝29.
故估计球员J 在本赛季的场均得分为29.
由茎叶图可得球员H 在15场比赛中，得分超过32的有6场，以频率作为概率，故估计球员H 在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32的场数约为6
15×75＝30.
(2)由表格可得x －＝25.4，y －＝25， 又∑i ＝1
5
x i y i ＝3 288.2，∑i ＝1
5
x 2i ＝3 355，
所以b
^＝
∑i ＝1
5
x i y i －5x －
y －∑i ＝1
5
x 2i －5x
－2
＝3 288.2－5×25.4×25
3 355－5×25.42
≈0.876，
于是a ^＝y －－b ^x －≈25－0.876×25.4≈2.750， 故回归直线方程为y ^＝0.876x ＋2.750.
由于y 与x 正相关，且当x ＝32时，y ＝0.876×32＋2.750＝30.782<31. 当x ＝33时，y ＝0.876×33＋2.750＝31.658>31，
所以估计在这15场比赛中，当球员J 得分为33分，36分，37分，38分，39分，41分时，效率值超过31，共6场．
B 卷
1．(2019·德州一模)改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2003年至2012年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为y (单位：万亿元)．
(1)求出y 关于年份代码t 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2003年至2012年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；
(3)结合折线图，试求出除去2007年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1)．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n
(t i －t －
)(y i －y －)∑i ＝1
n
(t i －t －
)2，a ^＝y －－b ^t －
.
样本方差公式：s 2
＝1n ∑i ＝1
n
(y i －y －)2.
参考数据：y －
＝110∑i ＝1
10y i ＝10.8，∑i ＝1
10 (t i －t －)(y i －y －)＝132，
∑i ＝1
10
(y i －y －
)2＝
211.6.
解：(1)t －＝1
10×(1＋2＋3＋…＋9＋10)＝5.5， ∑i ＝110
(t i －t －
)2＝(t 1－t －)2＋…＋(t 10－t －)2 ＝2×(4.52＋3.52＋2.52＋1.52＋0.52) ＝82.5. b
^＝13282.5
＝1.6， a ^＝y －－b ^t －＝10.8－1.6×5.5＝2， 故回归方程是y ^＝1.6t ＋2. (2)由(1)知，b
^＝1.6>0， 故2003年至2012年我国产业差值逐年增加， 平均每年增加1.6万亿元， 令1.6t ＋2＝34，解得t ＝20，
故预测在2022年我国产业差值为34万亿元． (3)结合折线图，2007年产业差值为10.8万亿元，
除去2007年(t ＝5时)产业差值外的9年的产业差值平均值为1
9×(10×10.8－
10.8)＝10.8，
又∵∑i ＝110
(y i －y －)2＝211.6，
故除去2007年(t ＝5时)产业差值外的9年的产业差值的方差为1
9×[211.6－(10.8－10.8)2]≈23.5.
2．(2019·河北五校联考)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：
(1)
将题中的2×2(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由； (3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：
K 2＝n (ad －bc )
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
.
解：(1)题中的2×2列联表补充如下：
(2)K2＝100×(40×25－20×15)
55×45×60×40
≈8.25>6.635，
所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．
(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X的取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝C34
C36＝
1
5，
P(X＝1)＝C24C12
C36＝
3
5，
P(X＝2)＝C14C22
C36＝
1
5，
故X的分布列为
E(X)＝0×1
5＋1×
3
5＋2×
1
5＝1.。