2021版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训练

2021版高考数学一轮复习第二章函数与导数课时训
练
第1课时 函数及其表示
一、 填空题
1. 下列五个对应f ，________是从集合A 到集合B 的函数．(填序号)
① A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12
，1，32，B ＝{－6，－3，1}，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－6，f(1)＝－3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；
② A ＝{1，2，3}，B ＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ③ A ＝B ＝{1，2，3}，f(x)＝2x －1； ④ A ＝B ＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x ＋1；
⑤ A ＝Z ，B ＝{－1，1}，n 为奇数时，f(n)＝－1，n 为偶数时，f(n)＝1. 答案：①②④⑤
解析：依照函数定义，即看是否是从非空数集A 到非空数集B 的映射．③中集合A 中的元素3在集合B 中无元素与之对应，故不是A 到B 的函数．其他均满足．
2. 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，
g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f(g(π))的值为________．
答案：0
解析：依照题设条件，∵ π是无理数，∴ g(π)＝0， ∴ f(g(π))＝f(0)＝0.
3. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＝2x ＋3，且f(m)＝6，则m ＝________． 答案：－1
4
解析：令2x ＋3＝6，得x ＝32，因此m ＝x 2－1＝12×32－1＝－1
4
.
4. 假如f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x≠0且x≠1时，f(x)＝________．
答案：1
x －1
解析：令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴ f(t)＝1t 1－1t
＝1
t －1
，
∴ f(x)＝1
x －1
.
5. 运算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采纳数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的对应关系如下表：
答案：6E
6. 已知g(x)＝1－2x ，f(g(x))＝1－x 2
x 2(x≠0)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝__________． 答案：15
解析：令g(x)＝1－2x ＝12，得x ＝1
4
.
∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫142⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝15.
7. 函数f(x)对任意x ，y 满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝4，则f(－1)＝____________．
答案：－2 解析：由f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4得f(1)＝2，由f(0)＝f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)得f(0)＝0，由f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＝0，得f(－1)＝－f(1)＝－2.
8. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x －1（－1≤x<0），
－x ＋1（0<x≤1），则f(x)－f(－x)>－1的解集为
______________．
答案：⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1] 解析：① 当－1≤x<0时，0<－x≤1，现在f(x)＝－x －1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x ＋1，
∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x －2>－1，解得x<－12，则－1≤x<－1
2
.
② 当0<x≤1时，－1≤－x<0，现在，f(x)＝－x ＋1，
f(－x)＝－(－x)－1＝x －1，∴ f(x)－f(－x)>－1化为－2x ＋2>－1，解得x<3
2
，则
0<x≤1.
故所求不等式的解集为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪(0，1]． 9. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度v 与时刻t 的关系如图所示，则该汽车在前3 h 行驶的路程为________km.假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 006 km ，那么在t ∈[1，2)时，汽车里程表读数s 与时刻t 的函数解析式为____________________．
答案：220 s ＝80t ＋1 976，且t∈[1，2)
解析：前3 h 行驶的路程为50＋80＋90＝220(km)．
∵ t ∈[1，2)时里程表读数s 是时刻t 的一次函数，可设为s ＝80(t －1)＋b ，当t ＝1时，s ＝2 006＋50＝2 056＝b ，
∴ s ＝80(t －1)＋2 056＝80t ＋1 976. 二、 解答题
10. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数式y ＝f(x)，并写出它的定义域．
解：设AB ＝2x ，CD ︵＝πx ，因此AD ＝1－2x －πx
2
，
则y ＝2x·1－2x －πx 2＋πx 2
2，即y ＝－π＋42
x 2
＋x.
由⎩
⎪⎨⎪⎧2x ＞0，1－2x －πx 2＞0，得0＜x ＜1π＋2，
∴ 函数的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1π＋2. 11. 已知函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，
(1) 求f(0)的值；
(2) 试确定函数f(x)的解析式．
解：(1) 令x ＝1，y ＝0，得f(1)－f(0)＝2. 又f(1)＝0，故f(0)＝－2.
(2) 令y ＝0，则f(x)－f(0)＝x(x ＋1)，
由(1)知，f(x)＝x(x ＋1)＋f(0)＝x(x ＋1)－2＝x 2
＋x －2.
12. 据气象中心观看和推测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时刻t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所通过的路程s(km)．
(1) 当t ＝4时，求s 的值；
(2) 将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来．
解：(1) 由图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12，因此s ＝1
2
×4×12＝24.
(2) 当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2
；
当10＜t≤20时，s ＝1
2×10×30＋30(t －10)＝30t －150；
当20＜t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－1
2
×(t －20)×2(t－20)＝－
t 2
＋70t －550.
综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32
t 2
，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，
－t 2
＋70t －550，t ∈（20，35].
13. 已知f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，
x －3，x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞），若f(f(x))＝1成立，求x 的
取值范畴．
解：因为f(f(x))＝1，因此0≤f(x)≤1或f(x)－3＝1.
① 由0≤f(x)≤1，可得0≤x≤1或⎩
⎪⎨⎪
⎧0≤x－3≤1，x<0或x>1，
因此0≤x≤1或3≤x≤4；
② 由f(x)－3＝1，得f(x)＝4，因此x －3＝4，∴ x ＝7. 综合①②知，x 的取值范畴是[0，1]∪[3，4]∪{7}．
点评：由于f(x)是分段函数，因此在探求方程f(f(x))＝1的解时，需要依照分段函数中相应的限制定义域进行分类讨论．
第2课时 函数的定义域和值域
一、 填空题
1. 函数f(x)＝－x 2
＋x ＋6
x －1
的定义域是______________．
答案：[－2，1)∪(1，3]
解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2
＋x ＋6≥0，x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x≤3，x ≠1，因此定义域为[－2，1)∪(1，3]． 2. 已知f(x)＝1
x ＋1
，则函数f(f(x))的定义域是________．
答案：(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)
解析：f(f(x))＝1f （x ）＋1＝1
1
x ＋1
＋1，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，11＋x
＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≠－1，x ≠－2.
因此定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，＋∞)．
3. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________． 答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103
解析：令t ＝f(x)，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，由F(x)＝t ＋1t 知，F (x)∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103，因此函数F(x)
的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.
4. 函数y ＝4－3＋2x －x 2
的值域是__________________．
答案：[2，4]
解析：y ＝4－－（x －1）2＋4，∵ 0≤－(x －1)2
＋4≤4，
∴ 0≤－（x －1）2＋4≤2，∴ 2≤4－－（x －1）2
＋4≤4， ∴ 所给函数的值域为[2，4]．
5. 函数y ＝x －x(x≥1)的值域为________． 答案：(－∞，0]
解析：y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.因为x ≥1，因此y≤0. 6. 函数y ＝|x|
x
＋x 的值域是____________________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>0，
x －1，x<0可得值域．
7. 若函数y ＝12
x 2
－2x ＋4的定义域、值域差不多上闭区间[2，2b]，则b ＝________．
答案：2
解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12
(x －2)2
＋2，明显f(2)＝2，因此f(2b)＝2b ，结合b>1，得b
＝2.
8. 设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，
x ，|x|<1，g(x)是定义在R 上的二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋
∞)，则g(x)的值域是________．
答案：[0，＋∞)
解析：若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)可取(－∞，－1]∪[0，＋∞)．又g(x)是定义在R 上的二次函数，定义域连续，其值域也是连续的，因此g(x)的值不可能同时取(－∞，－1]和[0，＋∞)．又若g(x)的值域为(－∞，－1]，则f(g(x))的值域为[1，＋∞)，因此g(x)的值域只能为[0，＋∞)．
二、 解答题
9. 求下列函数的值域： (1) y ＝2x －x －1； (2) y ＝x ＋1－x －1.
解：(1) 令x －1＝t ，则t≥0，且x ＝t 2＋1≥1，因此y ＝2x －x －1＝2t 2
－t ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158.因为t≥0，因此y≥158，因此所求函数的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫158，＋∞.
(2) y ＝x ＋1－x －1＝2
x ＋1＋x －1，不难证明函数在其定义域[1，＋∞)上是减
函数，因此其值域为(0，2]．
点评：利用代换法求值域时，要关注新代换量的取值范畴．
10. 已知函数g(x)＝x ＋1，h(x)＝1
x ＋3
(x∈(－3，a])，其中a 为常数且a>0.令函数
f(x)＝g(x)·h(x)．
(1) 求函数f(x)的解析式，并求其定义域；
(2) 当a ＝1
4时，求函数f(x)的值域．
解：(1) f(x)＝
x ＋1
x ＋3
，x ∈[0，a](a>0)． (2) 当a ＝14时，函数f(x)的定义域为[0，1
4
]．
令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2
，t ∈[1，32
]，
则f(x)＝F(t)＝t t 2－2t ＋4＝1
t ＋4
t
－2.
当t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]．又t∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，∴F(t)单调递增，F(t)∈[13
，
613]，即函数f(x)的值域为[13，6
13
]． 11. 函数f(x)＝2x －a
x
的定义域为(0，1](a∈R )．
(1) 当a ＝－1时，求函数y ＝f(x)的值域；
(2) 若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范畴．
解：(1) 当a ＝－1时，∵ x ∈(0，1]，∴ y ＝f(x)＝2x －a x ＝2x ＋1x ≥22x ·1
x
＝22，
当且仅当x ＝
2
2
时取最小值．∴ 函数y ＝f(x)的值域为[22，＋∞)． (2) 若f(x)>5在定义域(0，1]上恒成立，即2x 2
－5x>a 在(0，1]上恒成立．设g(x)＝
2x 2－5x ，∵ g(x)＝2x 2
－5x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542－258
，∴ 当x∈(0，1]时，g (x)∈[－3，0)．而g(x)
＝2x 2
－5x>a ，∴ 只要a<－3即可，∴ a 的取值范畴是(－∞，－3)．
12. 已知二次函数f(x)＝ax 2
＋bx(a ，b 是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程
f(x)＝x 有等根．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 是否存在实数m ，n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m ，n]和[2m ，2n]？如存在，求出m ，n 的值，如不存在，请说明理由．
解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝0，f （x ）＝x 有等根，即 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝0，
ax 2＋（b －1）x ＝0有等根.
∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，（b －1）2
＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，
∴ f(x)＝－12x 2＋x. (2) 假设存在适合题设条件的实数m ，n ，
由(1)知f(x)＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2
＋12≤12
，
∴ 2n ≤12，即n≤1
4
.
而函数f(x)＝－12x 2
＋x 图象的对称轴方程为x ＝1，
∴ 函数f(x)＝－12
x 2
＋x 在[m ，n]上为增函数，
∴ ⎩⎪⎨⎪
⎧f （m ）＝2m ，f （n ）＝2n ，即⎩
⎪⎨⎪⎧－12m 2
＋m ＝2m ，－12
n 2
＋n ＝2n ， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m<n ，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0，即存在实数m ＝－2，n ＝0，使函数f(x)的定义域为[－2，0]，值域为[－4，0]．
13. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，如图，直线MN⊥AD 交AD 于点M ，交折线ABCD 于点N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，
并写出函数的定义域和值域．(用分段函数形式表示)
解：过点B ，C 分别作AD 的垂线，垂足为点H 和点G ，则AH ＝a 2，AG ＝3a
2
.
当点M 位于点H 及其左侧时，AM ＝MN ＝x ，则面积y ＝S △AMN ＝12x 2⎝
⎛
⎭⎪⎫0≤x≤a 2；
当点M 位于点H ，G 之间时，面积y ＝S 梯形MNBA ＝12(AM ＋BN)·MN＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋x －a 2·a 2＝12ax －
a 2
8⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2<x<3a 2； 当点M 位于点G 及其右侧时，面积y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝a ＋2a 2·a 2－12(2a －x)2
＝－12
x 2＋
2ax －5a 24⎝ ⎛⎭
⎪⎫32a≤x≤2a .
综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2⎝
⎛
⎭⎪⎫0≤x ≤a 2，
12ax －a 28⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2
<x<3a 2，－12x 2
＋2ax －54a 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a 2≤x ≤2a .
其定义域为[0，2a]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，34a 2.第3课时 函数的单调性
一、 填空题
1. 下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是______．(填序号)
① f(x)＝3－x ；② f(x)＝x 2
－3x ；
③ f(x)＝－1
x ＋1
；④ f (x)＝－|x|.
答案：③
解析：分别画出四个函数的图象易知y ＝x 2
－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上递增，y ＝3－x 在(0，＋
∞)上递减，y ＝－|x|在(0，＋∞)上递减，y ＝－1
x ＋1
在(－1，＋∞)上递增．
2. 若函数f(x)＝(k 2
－3k ＋2)x ＋b 在R 上是减函数，则实数k 的取值范畴为____________．
答案：(1，2)
解析：由题意得k 2
－3k ＋2<0，∴ 1<k<2.
3. 函数f(x)＝x 2
－2x －3的单调增区间为________． 答案：[3，＋∞)
解析：∵ t＝x 2
－2x －3≥0，∴ x ≤－1或x≥3.当x ∈(－∞，－1]时，t 递减，f(x)递减；当x∈[3，＋∞)时，t 递增，f(x)递增．∴ 当x∈(－∞，－1]时，f(x)是减函数；当x∈[3，＋∞)时，f(x)是增函数．
4. 已知函数f(x)是定义在(－2，2)上的减函数．若f(m －1)＞f(2m －1)，则实数m 的取值范畴是____________．
答案：0＜m ＜3
2
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2，－2＜2m －1＜2，m －1＜2m －1，解得0＜m ＜3
2
.
5. 已知y ＝x 2
＋2(a －2)x ＋5在区间(4，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范畴是____________．
答案：a≥－2
解析：对称轴为x ＝2－a ，2－a≤4，a ≥－2.
6. 函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|的单调减区间为________．
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12 解析：将函数y ＝|1＋2x|＋|2－x|改写成分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12，x ＋3，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，2，
3x －1，x ∈[2，＋∞）.
画出函数的图象容易得出其在⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12上为单调减函数．
7. 已知函数f(x)＝ax 2
－x ＋1在(－∞，2)上是递减的，则a 的取值范畴是____________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：当a ＝0时，f(x)＝－x ＋1在(－∞，2)上是递减的；当a≠0时，要使f(x)在(－
∞，2)上单调递减，则⎩⎪⎨⎪
⎧a>0，
12a
≥2，
解得0<a≤14.综上，a 的取值范畴是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，14.
8. 已知f(x)＝x
x －a
(x ≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值
范畴是________．
答案：(0，1]
解析：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2
x 2－a
＝
－a （x 1－x 2）
（x 1－a ）（x 2－a ）
，因为x 1<x 2，且a>0，因此要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0
恒成立．又x∈(1，＋∞)，因此a≤1.综上，实数a 的取值范畴是0<a≤1.
9. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2
，x ＜0.若f(2－a 2
)＞f(a)，则实数a 的取值范畴是____________．
答案：(－2，1)
解析：由f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x ＋2）2
－4，x ≥0，
－（x －2）2
＋4，x ＜0的图象知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a 2)＞f(a)得2－a 2＞a ，即a 2
＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.
二、 解答题
10. 利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2
x ＋1
在(－1，＋∞)上是递减函数．
证明：设x 1>x 2>－1，则x 2－x 1<0，
y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1
（x 1＋1）（x 2＋1）
，
∵ x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 2－x 1<0，
∴ x 2－x 1
（x 1＋1）（x 2＋1）<0，即y 1－y 2<0.∴y 1＜y 2. ∴ y ＝x ＋2x ＋1
在(－1，＋∞)上是递减函数．
11. 讨论函数f(x)＝ax
x 2－1
(a>0)在x∈(－1，1)上的单调性．
解：设－1<x 1<x 2<1，
则f(x 1)－f(x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2
x 22－1
＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 2
1＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1）（x 21－1）（x 2
2－1）. ∵ －1<x 1<x 2<1，
∴ x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 2
2－1)>0. ∵ a>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)＞f(x 2)． ∴ 函数f(x)在(－1，1)上为减函数．
12. 已知函数f(x)＝1a －1
x
(a>0，x>0)．
(1) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；
(2) 若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，求a 的值． (1) 证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.
∵ f(x 2)－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2
>0，∴ f(x 2)>f(x 1
)，∴ f(x)在(0，
＋∞)上是单调递增函数．
(2) 解：∵ f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2， 又f(x)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2上单调递增， ∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
2
，f(2)＝2，解得a ＝25.
13. 已知函数f(x)对任意的m ，n∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，同时x>0时，恒有f(x)>1.
(1) 求证：f(x)在R 上是增函数；
(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a 2
＋a －5)<2.
(1) 证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，∴ x 2－x 1>0. ∵ 当x>0时，f(x)>1， ∴ f(x 2－x 1)>1.
f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1， ∴ f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，∴f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在R 上为增函数．
(2) 解：∵ m，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，
∴ f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，
∴ f(1)＝2，∴ f(a 2
＋a －5)<2＝f(1)． ∵ f(x)在R 上为增函数，
∴ a 2
＋a －5<1，解得－3<a<2.第4课时 函数的奇偶性及周期性
一、 填空题
1. 已知奇函数f(x)的定义域为(－2a ，a 2
－3)，则a ＝________． 答案：3
解析：(－2a)＋(a 2
－3)＝0，且⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
－3＞0，－2a ＜0.得a ＝3.
2. 若函数f(x)＝x ＋a
x 2＋bx ＋1在[－1，1]上是奇函数，则f(x)的解析式为______________．
答案：f(x)＝x
x 2＋1
解析：∵ f(－x)＝－f(x)，∴ f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0，
∴ a 1＝0，∴ a ＝0，即f(x)＝x x 2＋bx ＋1.∵f(－1)＝－f(1)，即－12－b ＝－12＋b
，∴ b
＝0.∴ f(x)＝x
x 2＋1
.
3. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x 2
－2x ，则f(x)的解析式为f(x)＝________．
答案：x(|x|－2)
解析：设x≤0，则－x≥0，∵ 当x≥0时，f(x)＝x 2
－2x ，
∴ f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x 2
＋2x.又f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，∴ f(x)
＝－(x 2
＋2x)，∴ f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
－2x （x≥0），－x 2－2x （x<0），即f(x)＝x(|x|－2)(x∈R )．
4. 设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)＝________．
答案：27
解析：由f(－7)＝－17得g(－7)＝－22，依照g(x)为奇函数得g(7)＝22，而f(7)＝g(7)＋5，因此f(7)＝22＋5＝27.
5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2
＋2，－1≤x＜0，x ，0≤x ＜1，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝_______．
答案：1
解析：由题意可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋2＝1. 6. 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上差不多上减函数，若f(1－a)＋f(1－3a)＜0，则实数a 的取值范畴是____________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 解析：原不等式化为f(1－3a)＜－f(1－a)，∵ f(x)是奇函数，∴ －f(1－a)＝f(a －1)，∴ 原不等式化为f(1－3a)＜f(a －1)．
∵ f(x)是减函数，∴ 1－3a ＞a －1，∴ a ＜1
2
①.
又f(x)的定义域为(－1，1)， ∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－3a ＜1，解得0＜a ＜23 ②.
由①和②得实数a 的取值范畴是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12. 7. 已知f(x)与g(x)差不多上定义在R 上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝______．
答案：1
解析：F(－2)＋F(2)＝a[f(－2)＋f(2)]＋b[g(2)＋g(－2)]＋6＝6，∴ F(2)＝1. 8. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判定：
① f(x)是周期函数；
② f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③ f(x)在[0，1]上是增函数； ④ f(x)在[1，2]上是减函数； ⑤ f(2)＝f(0)．
其中正确的是________．(填序号) 答案：①②⑤
解析：∵ f(x＋1)＝－f(x)，∴ f(x)＝－f(x ＋1)＝f(x ＋1＋1)＝f(x ＋2)，∴ f(x)是周期为2的函数，①正确．
∵ f(x ＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴ f(x)＝f(2－x)，∴ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，②正确．
∵ f(x)为偶函数，且在[－1，0]上是增函数，
∴ f(x)在[0，1]上是减函数．又f(x)的对称轴为x ＝1，
∴ f(x)在[1，2]上为增函数，且f(2)＝f(0)，故③④错误，⑤正确．
9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2
－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是__________．
答案：{x|x ＞4}
解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2
－3x ，x ≤0，
x 2－3x ，x ＞0，
f(x －1)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－（x －1）2
－3（x －1），x －1≤0，
（x －1）2
－3（x －1），x －1＞0， 即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2
－x ＋2，x ≤1，
x 2－5x ＋4，x ＞1.
因此不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为
⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2＞－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－5x ＋4＞－x ＋4，x ＞1， 解得x ＞4.
10. 设函数f(x)＝x 3＋2x 2
，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(2，1)对称，则函数g(x)的解析式为____________________．
答案：g(x)＝x 3－14x 2
＋64x －94
解析：设P(x ，y)是f(x)图象上任意一点，
∴ y ＝x 3＋2x 2
①，
P 关于点(2，1)的对称点为Q(x′，y ′)，
则 ⎩
⎪⎨⎪
⎧x ＋x′
2＝2，y ＋y′2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－x′，y ＝2－y′，
代入①得2－y′＝(4－x′)3＋2(4－x′)2
，化简得
y′＝(x′)3－14(x′)2
＋64x′－94，
即g(x)＝x 3－14x 2
＋64x －94. 二、 解答题
11. 已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0 时，f(x)<0恒成立，求证：
(1) 函数y ＝f(x)是R 上的减函数； (2) 函数y ＝f(x)是奇函数．
证明：(1) 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，而f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)，∴ f(x 1)＝f(x 1－x 2＋x 2)＝f(x 1－x 2)＋f(x 2)<f(x 2)，∴ 函数y ＝f(x)是R 上的减函数．
(2) 由f(a ＋b)＝f(a)＋f(b)得f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，即f(x)＋f(－x)＝f(0)，而f(0)＝0，∴ f(－x)＝－f(x)，即函数y ＝f(x)是奇函数．
12. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
解：∵ 函数f(x)在[3，6]上是x 的二次函数，且满足f(x)≤f(5)＝3，∴当 x∈[3，
6]时可设f(x)＝a(x －5)2＋3.由f(6)＝2得a(6－5)2
＋3＝2，解得a ＝－1，∴ 当x∈[3，
6]时，f(x)＝－(x －5)2＋3＝－x 2
＋10x －22，∴ f(3)＝－9＋30－22＝－1.∵ f(x)在[0，3]上是x 的一次函数，且据奇函数知f(0)＝0，∴ 当x∈[0，3]时，可设f(x)＝kx(k 为常
数)．由f(3)＝－1得3k ＝－1，∴ k ＝－13，∴ 当x∈[0，3]时，f(x)＝－1
3
x ，∴ f(x)＝
⎩⎪⎨⎪⎧－13
x ，x ∈[0，3]，
－（x －5）2＋3，x ∈（3，6].
又f(x)是奇函数，∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋5）2
－3，x ∈[－6，－3），
－1
3x ，x ∈[－3，3]，
－（x －5）2
＋3，x ∈（3，6].
13. 函数f(x)的定义域为D ＝{x|x≠0}，且满足关于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝
f(x 1)＋f(x 2)．
(1) 求f(1)的值；
(2) 判定f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3) 假如f(4)＝1，f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范畴．
解：(1) ∵ 关于任意x 1，x 2∈D ，都有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，∴ 令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴ f(1)＝0.
(2) f(x)为偶函数．
令x 1＝x 2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴ f(－1)＝1
2
f(1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴ f(－x)＝f(x)，
∴ f(x)为偶函数．
(3) 依题意有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f (16×4)＝f(16)＋f(4)＝3， ∵ f(3x ＋1)＋f(2x －6)≤3， ∴f((3x ＋1)(2x －6))≤f(64)． ∵ f(x)为偶函数，
∴ f(|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f(64)．
∵ f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(x)的定义域为D ， ∴ 0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.
解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－1
3
<x<3.
∴ x 的取值范畴是{x ⎪⎪⎪－7
3
≤x<－13或－13<x<3或3<x ≤5}．第5课时 指数、对数运算
一、 填空题
1. 设a≥0，运算(36
a 9)2
·(6
3a 9)2的结果是________．
答案：a 2
解析：在底数不小于零的前提下，幂指数与根指数的公因数能够直截了当约分．
2. 化简3
2－6227
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3232
－3－（102）2－42的结果是________． 答案：9
解析：先将式子中的根式逐个进行化简，然后进行运算即可．原式＝
3
－827
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1132
－3－216＝－23＋113＋6＝9.
点评：对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一样原则：先算根号内的，然后进行根式运算；在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情形，如3a ：若a>0，则3
a>0；若a<0，则3
a<0.但对根指数为偶数的根式，如a ，只有当a ≥0时，a 才有意义．
3. log 29×log 34＝__________． 答案：4
解析：log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2
lg 3
＝4.
4. 方程1＋3
－x
1＋3
x ＝3的解是________．
答案：x ＝－1
解析：3－x ·3x ＋3－x 1＋3
x
＝3－x
＝3，x ＝－1.
5. 若f(10x
)＝x ，则f(5)＝________． 答案：lg 5
解析：由题意得10x
＝ 5，故x ＝lg 5，即f(5)＝lg 5.
6. 设f(x)＝4x 4x ＋2，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1011的值为________． 答案：5
解析：∵ f(x)＝4x 4x ＋2＝1－24x ＋2，∴ f(x)＋f(1－x)＝1－24x ＋2＋1－241－x ＋2＝2－2
4x
＋2
－241－x ＋2＝2－24x ＋2－4x
2＋4x
＝1.∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫311＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫611]＝5. 7. 若对数式log (a －2)(5－a)有意义，则实数a 的取值范畴是____________． 答案：(2，3)∪(3，5)
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，
a ≠3，a ＜5，
∴ 2<a<5且a≠3. 8. 已知a 2
3＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫232(a ＞0)，则log 23
a ＝________． 答案：3
解析：由a 23＝49得a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫4932＝[(23)2]3
2＝(23)3，因此log 23
a ＝3.
9. 若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 5
5
，则a ，b ，c 的大小顺序是___________.
答案：c<a<b
解析：a ＝ln 2，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则55＝1052，2＝1025，∴ 5
5< 2.又2＝68，33＝69，∴ 3
3> 2.故c ＜a ＜b. 二、 解答题
10. 已知a ＝27，b ＝52，求a 3
2
b 2－9b 43a 32b －2
－6a 34b －13
＋9b 4
3·b
3a 34＋3b 53
的值．
解：由于a 32b －2－6a 34b －13
＋9b 43＝(a 34b －1－3b 23)2，且a 34<a<b<3b 53，∴ a 34b －1
<3b 2
3，
∴ 原式＝a 32－9b 103（3b 23－a 3
4b －1）2
·b
a 34＋3
b 53
＝（a 34＋3b 53）（a 34－3b 53）b （3b 23－a 34b －1
）（a 34＋3b 5
3）
＝（a 34－3b 53）b 3b 23－a 3
4b
－1
＝－b 2＝－50.
11. 已知a ＞1，且a ＋a －1
＝3，求下列各式的值．
(1) a 1
2－a －1
2；
(2) a －a －1
；
(3) （a 1
2－a －12
）（a 2＋a －2
－4）
a 4－a －4
. 解：(1) (a 1
2－a －12)2＝a ＋a －1
－2＝1.
∵ a ＞1，∴ a 1
2－a －1
2
＝1.
(2) 由a ＋a －1＝3，得a 2＋a －2＋2＝9，即a 2＋a －2
＝7，
∴ (a －a －1)2＝a 2＋a －2
－2＝5.
∵ a ＞1，∴ a －a －1
＝ 5.
(3) （a 1
2－a －12
） （a 2＋a －2
－4）
a 4－a
－4
＝（a 1
2－a －12）（a 2＋a －2
－4）
（a －a －1）（a ＋a －1）（a 2＋a －2
）＝1×（7－4）5×3×7
＝5
35. 12. 设x>1，y>1，且2log x y －2log y x ＋3＝0，求T ＝x 2－4y 2
的最小值．
解：因为x>1，y>1，因此log x y>0.令t ＝log x y ，则log y x ＝1t .因此原式可化为2t －2
t
＋3
＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即log x y ＝12，因此y ＝x.因此T ＝x 2－4y 2＝x 2
－4x ＝(x
－2)2
－4，由于x>1，因此当x ＝2，y ＝2时，T 取最小值，最小值为－4.
13. 设log a C ，log b C 是方程x 2
－3x ＋1＝0的两根，求log a b
C 的值．
解：依题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，
log a C ×log b C ＝1，
从而⎩
⎪⎨⎪⎧1log C a ＋1log C b ＝3，1log C a ×1log C b
＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ×log C b ＝1.
因此(log C a －log C b)2＝(log C a ＋log C b)2－4log C a ×log C b ＝32
－4＝5，因此 log C a －log C b
＝± 5.又log a b C ＝1log C a b
＝1log C a －log C b ＝±55，因此log a b C 的值为±5
5.
点评：本题将对数运算、换底公式、根与系数的关系综合于一起，是对学生数学运算能力、应用能力的综合考查．如何利用对数的运算性质，在已知条件和待求的式子间建立联系
是解决本题的关键．第6课时 指 数 函 数
一、 填空题
1. 函数f(x)＝2x
－4的定义域为__________． 答案：[2，＋∞)
解析：由2x
－4≥0，得x≥2.
2. 函数y ＝3－|x －2|
的单调递增区间是__________． 答案：(－∞，2]
解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x －2|，t ＝|x －2|的单调减区间(－∞，2]确实是所给函数的单调增区间． 3. 函数y ＝e x
－1
e x ＋1
的值域是________．
答案：(－1，1)
解析：y ＝e x
－1e x ＋1，则e x
＝1＋y 1－y
>0，则－1<y<1.
4. 若指数函数y ＝a x
在[－1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝____________．
答案：5±1
2
解析：若0＜a ＜1，则a －1－a ＝1，即a 2
＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍
去)；若a ＞1，则a －a －1＝1，即a 2
－a －1＝0，解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)．
综上，a ＝
5±1
2
. 5. 要使g(x)＝3x ＋1
＋t 的图象不通过第二象限，则实数t 的取值范畴是_________． 答案：t≤－3
解析：要使g(x)＝3x ＋1＋t 的图象不通过第二象限，只要g(0)＝31
＋t≤0，即t≤－3.
6. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x
的图象关于__________对称． 答案：原点
解析：由y ＝－3－x 得－y ＝3－x
，(x ，y )→(－x ，－y)，即关于原点对称．
7. 若关于x 的方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，则实数a 的取值范畴是________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫34，5 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 的定义域为R ，由于方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫34x ＝3a ＋25－a 有负根，因此应有3a ＋25－a >1，
解得3
4
<a<5.
8. 已知函数y ＝a 2x ＋2a x
－1(a ＞0且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a ＝__________．
答案：3或1
3
解析：设t ＝a x ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2
－2＝f(t)，对称轴方程为t ＝－1.
当0＜a ＜1时，∵ －1≤x≤1，∴ a ≤t≤1a ，现在，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝1a 2＋2a －1＝14，即1a 2＋2a －15＝0，∴ a ＝13或a ＝－1
5
(舍去)；
当a ＞1时，∵ －1≤x≤1，∴ 1a
≤t ≤a ，现在，y 关于t 单调递增，∴ y max ＝f(a)＝a
2
＋2a －1＝14，即a 2
＋2a －15＝0，
∴ a ＝3或a ＝－5(舍去)．
综上，a ＝3或a ＝1
3.
9. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x≥1.
则满足f(f(a))＝2f(a)
时a 的取值范畴是
____________．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ 解析：由f(f(a))＝2f(a)
可知f(a)≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＜1，3a －1≥1，解得a≥23.
二、 解答题
10. 求函数y ＝4x －2·2x
＋5，x ∈[0，2]的最大值和最小值．
解：令t ＝2x ，则t∈[1，4]．y ＝t 2－2t ＋5，t∈[1，4]．∵ y＝t 2
－2t ＋5在区间t∈[1，4]上是单调递增函数，∴ t ＝1即x ＝0时，y 有最小值4，t ＝4即x ＝2时，y 有最大值13.
11. 已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2x －1＋12(x≠0)．
(1) 判定f(x)的奇偶性； (2) 求证：f(x)>0.
(1) 解：∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1， f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x
＋1
2x －1
＝f(x)，
∴ f(x)为偶函数．
(2) 证明：f(x)＝x 2·2x
＋12x －1
，当x>0时，2x －1>0，即f(x)>0；当x<0时，2x
－1<0，即
f(x)>0，∴ f(x)>0.
12. 已知9x －10·3x
＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．
解：由9x －10·3x ＋9≤0得(3x －1)(3x
－9)≤0，
解得1≤3x
≤9，∴ 0≤x ≤2. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2
－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122＋1，
当t ＝1
2
时，y min ＝1，现在，x ＝1；
当t ＝1时，y max ＝2，现在，x ＝0.
13. 已知函数f(x)＝2x
(x∈R )，且f(x)＝g(x)＋h(x)，其中g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．
(1) 求g(x)，h(x)的解析式；
(2) 若不等式2a·g(x)＋h(2x)≥0对任意x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范畴．
解：(1) 由⎩
⎪⎨⎪⎧f （x ）＝g （x ）＋h （x ）＝2x
，
f （－x ）＝
g （－x ）＋
h （－x ）＝2－x
， 得⎩
⎪⎨⎪⎧g （x ）＋h （x ）＝2x
，－g （x ）＋h （x ）＝2－x
， 解得g(x)＝12(2x －2－x
)，h(x)＝12
(2x ＋2－x )．
(2) 由2a·g(x)＋h(2x)≥0，得a(2x －2－x
)＋12
(22x ＋2－2x )≥0对任意x∈[1，2]恒成
立．令t ＝2x －2－x ，由于t 在x∈[1，2]上单调递增，因此t ＝2x －2－x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，154.因为22x
＋2
－2x ＝(2x －2－x )2＋2＝t 2
＋2，因此a≥－t 2
＋22t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t 在t∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，154上恒成立．设φ(t)
＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，154，由φ′(t)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2＝2－t 22t 2<0，知φ(t)在t∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，154上为
单调减函数，因此[φ(t)]max ＝φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－1712，因此a≥－1712.
第7课时 对 数 函 数
一、 填空题
1. 在下列四个图象中，能够表示函数y ＝a x
与y ＝－log a x(a>0，a ≠1)在同一坐标系中的图象的是________．(填序号)
答案：①
解析：将y ＝－log a x(a>0，a ≠1)第一改为y ＝log 1a
x(a>0，a ≠1)，结合函数的定义域
第一排除②，当a>1时，0<1a
<1，函数y ＝a x
单调递增，y ＝log 1a
x 单调递减，①中图象正确，
③中图象错误，当0<a<1时，1a
>1，函数y ＝a x
单调递减，y ＝log 1a
x 单调递增，④中图象错
误．
2. 函数y ＝ln(x 2
－x －2)的定义域是________． 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：由x 2
－x －2＞0，解得x ＞2或x<－1.
3. 函数f(x)＝log 2(－x 2
＋22)的值域为________．
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32 解析：由－x 2
＋22≤22，得f(x)≤log 222＝32，函数f(x)的值域为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32.
4. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为__________．
答案：(0，6]
解析：由1－2log 6x ≥0，得log 6x ≤1
2
，即0＜x≤6，故所求的定义域为(0，6]．
5. 函数y ＝ln(1－x)的图象大致为________．(填序号)
答案：③
解析：由1－x>0，知x<1，排除①②；设t ＝1－x(x<1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y
＝ln t 为增函数，因此y ＝ln(1－x)为减函数，故选③.
6. 已知函数y ＝log 12
(x 2
－2kx ＋k)的值域为R ，则实数k 的取值范畴是____________．
答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：要想满足题意，则t ＝x 2
－2kx ＋k 要能取到所有正实数，抛物线要与坐标轴有交
点，因此Δ＝4k 2
－4k≥0，解得k ≥1或k≤0.
7. 已知3是不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)的一个解，则此不等式的解集为____________．
答案：{x|x ＞－1}
解析：将x ＝3代入不等式log a (1＋x)＞log a (2x ＋3)，得log a 4＞log a 9，则0<a<1.
可得⎩⎪⎨⎪
⎧1＋x ＞0，
2x ＋3＞0，
1＋x ＜2x ＋3，
解得x ＞－1.
则不等式的解集为{x|x ＞－1}．
8. 设f(x)＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则使f(x)＜0的x 的取值范
畴是________．
答案：(－1，0)
解析：∵ f(x)为奇函数，且在x ＝处有意义，∴ f(0)＝0，解得a ＝－1.
∴ f(x)＝lg 1＋x 1－x .令f(x)<0，则0<1＋x
1－x
<1，
∴ x ∈(－1，0)．
9. 若函数y ＝log 2(x 2
－ax －a)在区间(－∞，1－3)上是减函数，则实数a 的取值范畴是________．
答案：[2－23，2]
解析：令u ＝g(x)＝x 2
－ax －a ，∵ 函数y ＝log 2u 在区间(－∞，1－3)上为单调增函
数，∴ u ＝g(x)＝x 2
－ax －a 在区间(－∞，1－3)上是单调减函数，且满足u>0，∴ ⎩⎪⎨
⎪⎧a 2≥1－3，
g （1－3）≥0，
解得2－23≤a ≤2. 二、 解答题
10. 已知函数f(x)＝log 12
(x 2
－2ax ＋3)．
(1) 若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，求实数a 的取值范畴．
解：(1) 由x 2
－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，因此a ＝2，即实数a 的值为2.
(2) 因为f(x)的定义域为R ，因此y ＝x 2
－2ax ＋3＞0在R 上恒成立．由Δ＜0，得－3
＜a ＜3，又f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max ＝－1，因此y ＝x 2
－2ax ＋3的最小值为
y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a)2＋3－a 2，得3－a 2＝2，因此a 2
＝1，因此a ＝±1.
(3) f(x)在(－∞，1]上为单调增函数，则y ＝x 2
－2ax ＋3在(－∞，1]上为单调减函数，且y>0，
因此⎩
⎪⎨⎪⎧a≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，即1≤a<2.
因此实数a 的取值范畴是[1，2)．
11. 已知f(x)＝log a x(a>0且a≠1)．假如关于任意的x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2都有|f(x)|≤1成立，
试求a 的取值范畴．
解：因为f(x)＝log a x ，因此y ＝|f(x)|的图象如图．
由图知，要使x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，2时恒有|f(x)|≤1， 只需⎪⎪⎪⎪
⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤1，即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1
≤log a 13≤log a a.
当a>1时，得a －1
≤13≤a ，即a≥3；
当0<a<1时，得a －1
≥13≥a ，即0<a≤13
.
综上所述，a 的取值范畴是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，13∪[3，＋∞)． 12. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝f 2(x)＋f(x 2
)的最大值及y 取最大值时x 的值．
解：∵ f(x)＝2＋log 3x ，
∴ y ＝f 2(x)＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2
－3. ∵ 函数f(x)的定义域为[1，9]，
∴ 要使函数y ＝f 2(x)＋f(x 2
)有意义，必须使⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2
≤9，1≤x ≤9，
∴ 1≤x ≤3，∴ 0≤log 3x ≤1，
∴ 6≤(log 3x ＋3)2
－3≤13.
当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.
∴ 当x ＝3时，函数y ＝f 2(x)＋f(x 2
)取最大值13.
13. 已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1) 求f(x)的定义域；
(2) 判定f(x)的奇偶性并予以证明； (3) 若a>1，求使f(x)>0的x 的解集．
解：(1) f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，则⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，
1－x>0，解得－1<x<1.故所求函数f(x)
的定义域为{x|－1<x<1}．
(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1<x<1}，且f(－x)＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x)＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
(3) 因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－1<x<1}内是增函数，因此f(x)>0，即x ＋1
1－x
>1，
解得0<x<1.
因此使f(x)>0的x 的解集是{x|0<x<1}．第8课时 二次函数与幂函数
一、 填空题
1. 函数y ＝x 2
＋bx ＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，则b 的取值范畴是____________． 答案：[0，＋∞)
解析：考虑对称轴和区间端点，结合二次函数图象易得－b
2
≤0，故b≥0.
2. 若函数f(x)是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12的值为________． 答案：13
解析：依题意设f(x)＝x α(α∈R )，则有4α2
α＝3，即2α
＝3，得α＝log 23，则f(x)＝xlog 23，
因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13.
3. 已知n∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15n ，则n 的值为________． 答案：－1或2
解析：能够逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解．
4. 已知函数f(x)＝ax 2
＋(1－3a)x ＋a 在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范畴是________．
答案：[0，1]
解析：若a ＝0，则f(x)＝x ，满足题意；若a≠0，则a ＞0且－1－3a
2a
≤1，解得0＜a≤1，
因此0≤a≤1.
5. 已知a ＝x α
，b ＝x α2，c ＝x 1
α，x ∈(0，1)，α∈(0，1)，则a ，b ，c 的大小顺序是__________．
答案：c<a<b
解析：∵ α∈(0，1)，∴ 1α>α>α2
.又∵ x∈(0，1)，∴ x 1α<x α
<x α
2，即c<a<b.
6. 若函数y ＝x 2
－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－254，－4，则m 的取值范畴是
________．
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32，3 解析：因为函数y ＝x 2
－3x －4即y ＝(x －32)2－254，其图象的对称轴为直线x ＝32
，其最
小值为－254，同时当x ＝0及x ＝3时，y ＝－4，若定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则3
2
≤m ≤3. 7. 已知幂函数f(x)＝xm 2
－2m －2(m∈N )为奇函数且在区间(0，＋∞)上是单调减函数，则m ＝________．
答案：1
解析：由幂函数f(x)＝xm 2－2m －2在区间(0，＋∞)上是单调减函数，得m 2
－2m －2<0，
又m∈N ，故m ＝0，m ＝1，m ＝2，当m ＝0和2时，f(x)＝x －2
为偶函数，当m ＝1时，f(x)＝x －3
为奇函数，故m ＝1.
8. 设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，
x 2＋bx ＋c ，x ≤0.若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等
式f(x)≤1的解集为____________．
答案：{x|－3≤x≤－1或x>0}
解析：由f(－4)＝f(0)，得b ＝4.又f(－2)＝0，可得c ＝4，∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x≤0，
x 2＋4x ＋4≤1或
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2≤1，可得－3≤x≤－1或x>0. 9. 如图，已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C(t ，2)，且与x 轴交于A ，B 两点．若AC⊥BC，则a ＝________．
答案：－1
2
解析：设y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，由图象过点C(t ，2)可得a(t －x 1)(t －x 2)＝2.又AC⊥BC，
利用斜率关系得2t －x 1·2t －x 2＝－1，因此a ＝－1
2
.
二、 解答题
10. 已知函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1
为幂函数，且为奇函数． (1)求m 的值；
(2)求函数g(x)＝h(x)＋1－2h （x ）在x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12上的值域． 解：(1)∵ 函数h(x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1
为幂函数， ∴m 2
－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5. ∵函数h(x)为奇函数，∴m ＝0.
(2)由(1)可知h(x)＝x ，∴ g(x)＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 令1－2x ＝t ，则t∈[0，1]，g(x)＝f(t)＝－12t 2＋t ＋12，可求得其值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1.从而函数g(x)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1. 11. 已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2
＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴总有交点． (1) 求m 的取值范畴；
(2) 若函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的倒数和等于－4，求m 的值． 解：(1) 当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数y ＝－14x －5与x 轴有一个交点；当m ＋6≠0，
即m ≠－6时，有Δ＝4(m －1)2
－4(m ＋6)(m ＋1)＝4(－9m －5)≥0，解得m≤－59
，即当m ≤
－5
9
且m≠－6时，函数图象与x 轴有一个或两个交点． 综上可知，当m≤－5
9
时，此函数的图象与x 轴总有交点．
(2) 设x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2
＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个根，则x 1＋x 2＝－2（m －1）m ＋6
，
x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵ 1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4，∴ －2（m －1）m ＋1＝－4，解得m ＝－3.当m ＝－
3时，m ＋6≠0，Δ>0，符合题意，∴ m 的值是－3.
12. 已知函数f(x)＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12时，f (x)≥18，求实数a 的值．
解：f(x)＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，f(x)max ＝16a 2≤1
6
，得－1≤a≤1，函数f(x)的对称轴是直。