2019届高考物理一轮复习 第九章 磁场 题型探究课 带电粒子在复合场中的运动题型专练 新人教版

题型探究课 带电粒子在复合场中的运动
1．(2015·高考天津卷)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动．真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，电场与磁场的宽度均为d .电场强度为E ，方向水平向右；磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直．一个质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射．
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v 2的大小与轨迹半径r 2；
(2)粒子从第n 层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn ，试求sin θn ；
(3)若粒子恰好不能从第n 层磁场右侧边界穿出，试问在其他条件不变的情况下，也进入第n 层磁场，但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界，请简要推理说明之．
解析：(1)粒子在进入第2层磁场时，经过两次电场加速，中间穿过磁场时洛伦兹力不
①
②
③
r 2＝2
B
mEd q
. ④
(2)设粒子在第n 层磁场中运动的速度为v n ，轨迹半径为r n (各量的下标均代表粒子所在层数，下同)．
nqEd ＝1
2
mv 2n ⑤ qv n B ＝m v 2n r n
⑥
甲
粒子进入第n 层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn ，从第n 层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn ，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有
v n －1sin θ
n －1
＝v n sin α
n
⑦
由图甲看出
r n sin θn －r n sin αn ＝d
⑧
由⑥⑦⑧式得
r n sin θn －r n －1sin θ
n －1
＝d ⑨
由⑨式看出r 1sin θ1，r 2sin θ2，…，r n sin θn 为一等差数列，公差为d ，可得
r n sin θn ＝r 1sin θ1＋(n －1)d ○
10
乙
⑪
θn ＝2
，sin θn ＝1
在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为
q ′
m ′，假设能穿出第n 层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θ′n ，由于
q ′m ′>q m
则导致sin θ′n >1
说明θ′n 不存在，即原假设不成立．所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界．
答案：见解析
2．(2018·烟台模拟)如图所示的平面直角坐标系xOy ，
在第Ⅰ、Ⅲ象限内有平行于y 轴，电场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场．一质量为m ，电荷量为q 的带电粒子，从y 轴上的M (0，
d )点，以大小为v 0的速度沿x 轴正方向射入电场，通过电场后从x 轴的N ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233d ，0点进入第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y 轴进入第Ⅲ象限，最终粒子从x 轴上的P 点离开．不计粒子所受到的重力．求：
(1)匀强电场的电场强度E 和磁场的磁感应强度B 的大小； (2)粒子运动到P 点的速度大小； (3)粒子从M 点运动到P 点所用的时间． 解析：
(1)粒子运动轨迹如图所示．
设粒子在第Ⅰ象限内运动的时间为t 1，粒子在N 点时速度大小为v 1，方向与x 轴正方向间的夹角为θ，则：
x ＝v 0t 1＝
23
3
d y ＝1
2
at 21＝d
qE ＝ma ，tan θ＝v y v 0＝at 1v 0
v 1＝
v 0
cos θ
联立以上各式得：θ＝π3，v 1＝2v 0，E ＝3mv 2
2qd
.
粒子在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qv 1B ＝m v 21
R
由几何关系得：R ＝
ON
sin θ＝43
d 联立并代入数据解得：B ＝3mv 0
2qd
.
(2)粒子由M 点到P 点的过程，由动能定理得：
qEd ＋qE (R ＋R cos θ)＝1
2mv 2P －12
mv 2
代入(1)中所求数据解得：v P ＝10v 0.
(3)粒子在第Ⅰ象限内运动时间：t 1＝23
3d v 0＝23d
3v 0
粒子在第Ⅳ象限内运动周期：T ＝2πR v 1＝4πd
3v 0
t 2＝π－1
3π
2πT ＝4πd
9v 0
粒子在第Ⅲ象限内运动时有：R ＋R cos θ＝12at 2
3
解得：t 3＝26d
3v 0
粒子从M 点运动到P 点的时间：
如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为
1.8h ，质量为m 、带电量为＋q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .
(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值． 解析：(1)设电场强度大小为E 由题意可知mg ＝qE 得E ＝mg q
，方向竖直向上．
(2)如图甲所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ.
由r ＝mv qB ，有r 1＝
mv min
qB
， r 2＝mv min 2qB ＝12
r 1
由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2，r 1＋r 1cos φ＝h 联立各式解得v min ＝(9－62)
qBh m
.
甲 乙
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为v ，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r 1和r 2，粒子第一次通过KL 时距离K 点为x .
由题意有3nx ＝1.8h (n ＝1，2，3，…) 32x ≥（9－62）h 2
，x ＝r 21－（h －r 1）2 得r 1＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋0.36n 2h
2，n <3.5
即n ＝1时，v ＝0.68qBh m ；n ＝2时，v ＝0.545qBh m ；n ＝3时，v ＝0.52qBh
m
.
答案：(1)mg
q 方向竖直向上 (2)(9－62)
qBh m
(3)0.68qBh m 0.545qBh m 0.52qBh m
4．如图a 所示，匀强磁场垂直于xOy 平面，磁感应强度B 1按图b 所示规律变化(垂直于纸面向外为正)．t ＝0时，一比荷为q
m
＝1×105
C/kg 的带正电粒子从原点沿y 轴正方向射入，速度大小v ＝5×104
m/s ，不计粒子重力．
(1)求带电粒子在匀强磁场中运动的轨道半径． (2)求t ＝π2
×10－4
s 时带电粒子的坐标．
(3)保持图b 中磁场不变，再加一垂直于xOy 平面向外的恒定匀强磁场B 2，其磁感应强度为0.3 T ，在t ＝0时，粒子仍以原来的速度从原点射入，求粒子回到坐标原点的时刻．
解析：(1)带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向力心，
qvB 1＝m v 2
r
r ＝1 m.
带电粒子在磁场中运动的周期，
过程中，粒子运动了5T 08，圆弧对应的圆心角，θ1＝5π4
过程中，粒子又运动了5T 08，圆弧对应的圆心角，θ2＝5π4
≈3.41 m
纵坐标：y ＝－2r cos π
4＝－ 2 m ≈－1.41 m
带电粒子的坐标为(3.41 m ，－1.41 m)．
(3)施加B 2＝0.3 T 的匀强磁场与原磁场叠加后，如图2所示， ①当nT ≤t ＜nT ＋T
2(n ＝0，1，2，…)时，
T 1＝2πm q （B 1＋B 2）＝π4
×10－4
s
②当nT ＋T
2≤t ＜(n ＋1)T (n ＝0，1，2，…)时，
T 2＝2πm q （B 1－B 2）
＝π×10－4
s
粒子运动轨迹如图3所示，则粒子回到原点的时刻为，t 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2n π×10－4
s
t 2＝2(n ＋1)π×10－4 s(n ＝0，1，2，3，…)．
答案：(1)1 m (2)(3.41 m ，－1.41 m)
(3)t 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2n π×10－4
s
t 2＝2(n ＋1)π×10－4 s(n ＝0，1，2，3，…)。