2020-2021下海三林中学北校高一数学下期末一模试卷(含答案)

2020-2021下海三林中学北校高一数学下期末一模试卷(含答案)
一、选择题
1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4
2．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知集合{
}
2
2
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若
sin 5sin 2A c
B b
=，7sin 4B =
，574
ABC S =△，则b =（ ） A ．23
B ．27
C ．15
D ．14
5．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，
1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
7．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()2
10216()122x
x x f x x ⎧≤≤⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪
> ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭ B ．11,24⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫
-
--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
8．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．1
1()()2
2
a
b
>
B ．ln ln a b >
C ．
11a b
> D ．
11ln ln a b
> 9．设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=
83
π
对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=
6
π D ．f(x)在(
2
π
,π)单调递减
10．已知()2019
1
1,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得
()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
B ．[-2,0)
C ．(]2,0-
D ．（0,1）
11．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )
A ．
2
π B ． C ． D ．
3
π 12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式
()0f x >的解集为（ ）
A ．33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭U
B ．33,,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33,22⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
13．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n
n n S a =-，则n S =__________．
14．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示） 15．抛物线2
14
y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、
的距离之和的最小值为__________． 16．若,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，1sin 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________
17．直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．
18．等边ABC ∆的边长为2，则AB u u u v 在BC uuu v
方向上的投影为________． 19．(
)()()()()1tan1
1tan 21tan31tan 441tan 45︒
︒
︒
︒
︒
+++++L =__________．
20．函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.
三、解答题
21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=u u u r u u u r
，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率． 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆
22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .
（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.
（1）求证：BD ⊥平面PAC ；
（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
25．如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东
12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海
岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2/km h ，步行速度为4/km h .
（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值. 26．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2
AD BC BAD AB BC π
∠=
=1
2
AD a =
=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.
（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；
（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为2a 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则1
21282
l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41l
r
α==或， 故选C ．
2．D
解析：D 【解析】
试题分析：，
且
，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛ ⎝⎭，2222⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B I 中有2个元
素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简
sin 5sin 2A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c ，由7
sin B =
，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于
sin 5sin 2A c B b
=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即5
2a c =
由于在ABC V 中，7sin 4B =
，574
ABC S =△157sin 24ABC S ac B ==V ，
联立521
sin 2
4sin 4a c ac B B ⎧=⎪⎪
⎪=⎨
⎪⎪=⎪
⎩
，解得：5a =，2c = 由于B
为锐角，且sin B =
，所以3cos 4B ==
所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=
，故b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：
cos cos OM OP x x ==
M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1
()cos sin sin 22
f x x x x ==
对应图像为B 故答案选B 【点睛】
本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
(1101010)
y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数
据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，21
04
t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
由题意，作出函数()y f x =的图像如下，
由图像可得，1
0()(2)4
f x f ≤≤=
Q 关于x 的方程[]()2
()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，
设()f x t =，
20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；
且114t =
，2104
t << 又12a t t -=+Q
11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.
【详解】
依题意01a b <<<，由于12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11
ln ln a b
>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11
a b
>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.
9．D
解析：D 【解析】
f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；
∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫
⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】
()20191
1,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】
设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．
平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，2225
2()2a A B a BM a =
=+=，，
222313
(
)2a A M a =+=，
222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可得答案. 【详解】
解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想.
二、填空题
13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等差数列从而得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为1公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
解析：*
2()n n S n n N =∈g
【解析】
分析：令1n =，得12a =，当2n ≥ 时，1
1122n n n S a ---=-，由此推导出数列{}2n n
a 是首项为1公差为
12
的等差数列，从而得到()1
12n n a n -+＝，从而得到n S . 详解：令1n =，得1
1122a a =-，解得12a = ，
当2n ≥ 时，
由22n n n S a =-），得1
1122n n n S a ---=-，
两式相减得(
)()
1
1122
22
,n
n n n n n n a S S a a
---=-=--- 整理得111222n n n n a a ---=，且1
1
1,2a =
∴数列{}2n n a
是首项为1公差为12 的等差数列， ()111,22
n n a n ∴
=+- 可得()1
12,n n
a n -=+ 所以()1
2221222.n
n n n
n n S a n n -⎡⎤=-=+-=⋅⎣⎦
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合
理运用．
14．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决 解析：
12n
m
【解析】 【分析】 【详解】
由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()2
2
221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积
之和为
211=22π
π⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122
,1342
n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答
案为
12n
m
. 【方法点睛】
本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
15．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则
解析：4 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，
则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=
16．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属
解析：
46
+ 【解析】 【分析】
利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】
因为1sin 43πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=
14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=
+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
.
故答案为：46
+【点睛】
本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.
17．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =
【解析】
试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆
22240x y x y +--=化为()()2
2
125x y -+-=，圆心坐标()1
2，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为
2y x =．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．
18．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB u u u r 在BC uuu r
方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B ，()
1,3C ，
则：()2,0AB =uu u r ，()
1,3BC =-u u u v ，2AB BC ⋅=-u u u r u u u r
且2AB =u u u r ，10BC =u u u v
，
据此可知AB u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为212AB BC AB
⋅-==-u u u v u u u v
u u u
v .
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．【解析】【分析】根据式子中角度的规律可知变形有由此可以求解【详解】根据式子中角度的规律可知变形有所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用属于中档题 解析：232
【解析】 【分析】
根据式子中角度的规律，可知(
)
45045,045αβαβ+=︒<<︒<<o
o o
，
tan tan tan 4511tan tan αβ
αβ
+=
=-o ，变形有()()1tan 1tan 2αβ++=，由此可以求解．
根据式子中角度的规律，可知(
)
45045,045αβαβ+=︒<<︒<<o
o o
，
tan tan tan 4511tan tan αβ
αβ
+=
=-o ，变形有()()tan 1tan 12αβ++=．所以
()()1tan11tan 442︒
︒
++=，()()1tan 21tan 432︒
︒
++=， L ，()()1tan 221tan 232︒
︒
++=，1tan 452+=o
，
()()()()()23
1tan11tan 21tan31tan 441tan 452
︒︒︒︒︒+++++=L ．
故答案为：232． 【点睛】
本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．
20．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出
解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ 【解析】 【分析】
由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】
函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1
cos 2
x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233
k x k k Z ππππ-
≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦. 【点睛】
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
三、解答题
21．（1）3,2a c ==；（2）23
27
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=.
解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin 9
c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=u u u r u u u r
得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6. 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，22122
sin 1cos 1().33
B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 3c C B b =
=⋅=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223
393927
⋅+⋅=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 22．(1) ． (2)
．
【解析】 【分析】 【详解】
设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ． 用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ， 则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．
（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，
则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝．
考点：古典概型的概率计算
23．（1）22
(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.
【解析】 【分析】
（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.
（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程. 【详解】
（1）圆M 的标准方程为22
(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,.
由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x 因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切 所以007<<x ，圆N 的半径为0x 从而0075-=+x x 解得01x =.
所以圆N 的标准方程为2
2
(1)(6)1x y -+-=. （2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201
402
-=-. 设直线l 的方程为1
2
y x m =
+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离
55
=
=d 因为222425==+=BC OA 而2
2
2
2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
BC MC d 所以2
(25)2555
-=+m
解得152
m =
或52m =-.
故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=. 【点睛】
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题. 24．（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】
（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然
AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证. (2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可. 【详解】
（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥； 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;
因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC , 所以BD ⊥平面PAC .
（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以
AE CD ⊥,
因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；
因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD , 所以AE PA ⊥； 因为PA AB A ⋂= 所以AE ⊥平面PAB ，
AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE . 【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．（1）1tan 3cos 2
t θθ=+-；（2）6π
【解析】 【分析】
（1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值． 【详解】
（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02
π
θ<<，
所以2tan PC θ=，2
cos AC θ
=，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为
2122tan 1tan 3242cos 4cos 2
AC BC t θθ
θθ-=
+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθ
θθ
-=+-=+，
令2sin 0cos y θ
θ
-=
>，则2sin 2cos y θθ=+…
解得y 1sin ,cos 2θθ= 即6
π
θ=
时，所花时间t 最小．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
26．（Ⅰ） 证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解. 试题解析:
（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC ⊥∴⊥⊥Q 所以，在图2中，1,CD OC CD AO CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC （2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE , 1CD A O ⊥ 所以1A O ⊥平面BCDE
21116332
BCDE
AO S a a a ∴⋅=⋅== 考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．。