人教A版高中数学选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件

数
的Байду номын сангаас
z a bi(a,b R)
代
数 形
实部
虚部 虚数
单位
式 把全体复数所成的集合C=a bi a,b R叫做复数集.
信息交流 揭示规律
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复 下列各数中哪些是复数？如果是 数 复数，请说明它们的实部与虚部.
的 代 1 3i 数
1i 7
1 3
形 5i 8 (1 )i 0

4，
即m 2时，复数z是虚数4+3i.
反思小结 观点提炼
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小
结
复数
式
信息交流 揭示规律
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实数 (b 0)
复复数 a bi
数 (a,b R) 虚数(b 0)(当a=0时为纯虚数）
的
集
代 数 形
集 集 R QZ N
式
集
信息交流 揭示规律
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复数的发展史
虚数这种假设，是需要勇气的，人们在当时是无法
接受的，认为她是想象的，不存在的，但这丝毫不影响
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
创设情境 设计问题
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从一个数集中任取两个数，经过下列六种运算， 所得的结果是否仍然属于原数集？
运算 加法 减法 乘法 除法 乘方 开方
数集
自然数集 是
否
是
否
是
否
整数集 是
是
是
否
是
否
有理数集 是
是
是
是
是
否
实数集 是
是
是
是
是
否
问题1：有哪些运算是对于任何集合都成立的？ 问题2：数系的每一次扩充，解决了怎样的运算问题？ 问题3：在实数范围内，还有什么运算问题没有解决？
的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复
数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他 们也感到它的作用．1830年，高斯给出了复数的几何解
释，使复数有了立足之地，人们才最终承认了复数．到 今天复数已成为现代科技中普遍运用的数学工具之一．
运用规律 解决问题
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例1、实数m取什么值时，复数
数学家对虚数单位 i的假设研究：第一次认真讨论这种数
的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他 是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩 量”．几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取 了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉还是说这
种数只是存在于“幻想之中”，并用 （i imaginary即虚幻
信息交流 揭示规律
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为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入
一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1)i2 1 ；
(2)实数可以与 i 进行加法和乘法运算，并且
原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合 律和分配律)仍然成立.
信息交流 揭示规律
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复 定义：把形如a bi(a,b R)的数叫做复数.
复
z m2 m 2 (m2 1)i
数
是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
的 解：(1)当m2 1 0，即m 1时，复数z是实数；
代 (2)当m2 1 0，即m 1时，复数z是虚数；
数 形 式
(3)当mm22
m2 1 0

0，
即m 2时，复数z是纯虚数.
变练演编 深化提高
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例2、实数m取什么值时，复数
复
z m2 m 2 (m2 1)i
数
是(1)实数0；(2)虚数4+3i.
的 相
解：(1)当
m m
2 2
m2 1 0

0，
等
即m 1时，复数z是实数0；
(2)
当
m m
2 2
m2 1 3