导数与积分经典例题以及答案

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高三数学导数与积分经典例题以及答案
一. 教学内容：
导数与积分
二. 重点、难点：
1. 导数公式：
y f (x)c f( x)0
y f (x)x n f ( x)n x n 1
y f (x)sin x f( x)cos x
y f (x)cos x f( x)sin x
y f (x) a x f( x)a x ln a
y f (x)log a x f( x)1
log a e x
2.运算公式
[ f ( x) g (x)] f (x)g (x)
[ f ( x) g( x)] f ( x) g (x) f ( x) g (x)
[ f ( x) ] f ( x)g (x) f (x)g ( x)
g( x)g2 ( x)
3.切线，过 P（x0, y0）为切点的y f (x) 的切线， y y0f( x0 )( x x0 )
4.单调区间
不等式 f(x)0，解为 y f ( x) 的增区间， f (x)0 解为 y f ( x) 的减区间。

5.极值
（ 1）x(a, x0 ) 时， f ( x)0 ， x( x0 ,b) 时， f( x)0
∴ f ( x0 ) 为 y f (x) 极大值
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（ 2） x
(a, x 0 ) 时 f ( x) 0 ， x ( x 0 ,b) 时， f ( x) 0
∴ f ( x 0 ) 为 y f (x) 的极小值。

【典型例题】
[ 例 1] 求下列函数的导数。

（ 1） y
3
1 3x 3 7 x
2 1；
x
（ 2） y ln | x |；
（ 3） y
x
；
1
x x 2
（ 4） y
3x e x
2x e ；
ln x
（
5）
y
x 2
1 ；
（ 6） y
x cos x sin x 。

分析：直接应用导数公式和导数的运算法则
解析：（ 1） y
( 1
)
(3x 3 ) (7 x 2 ) (1)
3
x
1
1 x
(x 3 ) 3(x 3 ) 7( x 2 ) 0
3
4
3
9x 2
14 x
（ 2）当 x
0时， y
ln x, y
1 ；
x
当 x
0 时， y ln( x) ， y
1 1
(
)(1)
1
x
x
∴ y
x
（ 3） y
x (1 x x 2 ) x(1 x
x 2 )
(1 x x 2
) 2
1x x2x(012x)1x 2
(1 x x 2 ) 2(1 x x2 ) 2
（ 4）y(3x e x )(2x )(e)
(3x ) e x 3 x (e x )(2x )0
3x ln 3e x3x e x 2 x ln 2(3e) x ln 3e 2 x ln 2
（ 5）y (ln x) ( x21)ln x (x21)
( x21)2
1 ( x21) 2x ln x
x 2
12x
2
ln x
x
(x 21) 2x( x 21) 2
（ 6）y( x cos x)(sin x)
cosx x sin x cosx x sin x
[例 2]如果函数 f ( x)2a
1)的图象在 x
1处的切线 l 过点
（0，
1 ln( x）并且 l 与圆b b
C：x2y 21相离，则点（a, b ）与圆C的位置关系。

解： f ( x)2a12a a
b x1
∴ l 切 y ln 2( x 1)
b b
l 过（0，1
∴
1 2a ln 2a
）
b b b b
∴ a
1
ln 41
2a
ln 2a1
l 与圆相离b b1，b1
a 2 a 2b2
1
2b
b
∴ 1
a 2
b 2∴ a 2 b 21
b2b
∴点（ a, b）在圆内
[例 3]函数 y f ( x), y g( x) 在 [ a,b] 上可导，且 f (x)g ( x) ，则 x(a, b) 时有（）
A. f ( x)g( x)
B. f ( x) g( x)
C. f ( x) g(a)g (x) f (a)
D. f ( x)g (b)g( x) f (b)
解：令 F ( x) f ( x)g (x)
∴ F (x) f (x) g (x)
∴ x (a, b)F( x)0∴ x ( a, b) F ( x)
∴任取 x( a,b) F (x) F (a)
∴ f ( x) g( x) f (a) g(a)
即 f ( x)g (a)g( x) f ( a) 故选C
[例 4] f ( x), g(x) 分别为定义在R 上的奇函数、偶函数。

x0 时，f ( x) g( x) f ( x) g (x) 0, g( 3) 0 ，则不等式 f ( x) g( x)0 的解为。

解：令 F ( x) f ( x) g (x)∴ F ( x) f (x)g( x) f (x) g (x)
x ( ,0) F ( x)0
∴ x (0, ) F (x)
f (x) 奇，
g (x) 偶 F (x) 奇函数∵ g(3)0
∴F(3) 0
∴ F ( x) 0 解为 (, 3) (0,3)
ax
在 x1处取得极值2。

[ 例 5] 已知函数f ( x)
x2b
（ 1）求f (x)的解析式；
（ 2）m满足什么条件时，区间（m,2m 1）为函数增区间；
（ 3）若 P（x0, y0）为y f ( x) 图象上任一点，l 与y f (x) 切于点P求l的倾斜角的正切值的取值范围。

解：
f( x)a( x2b)ax(2x) ( x2b)2
∴f (1)2a4
f ( x)
4x
f( x)0b1x21
∴ f( x)4(1x 2 )
0x1 (x 21) 2
列表∴ (, 1)（－ 1，1）↑（1 ，+ ∞）↓
m1
2m111m0
2m1m
f( x)4(1x 2
)4( x21)24[21] ( x21)2( x21) 21) 2x 2
( x21
令
1
t(0,1]
x21
1)21]
f( x)4[ 2t 2t] 4 [2( t
1 ,4]48
∴ f(x)[
2
[ 例 6] f (x) 1 x31
(b1) x2cx
32
（ 1）f (x)在 x=1 ， x=3 处取得极值，求b, c ；
（ 2）f (x)在(, x1 ),( x2 ,), ( x1 , x2 )，且 x2x1 1，求证： b22(b 2c)（ 3）在（ 2 ）的条件下，t x1比较 t 2bt c 与 x1大小关系。

解：（1 ）f ( x)x 2(b 1) x c
f(1)0b c0b3
f(3)063b c0 c 3
∴ f ( x)1x32x23x
3
（ 2）f ( x)x 2(b 1) x c
x1x2 1 b x1 x2c x2x11
( x2x1 )21(x1x2 ) 2 4 x1 x21
12b b24c1∴ b22(b2c)
（ 3）x2(b 1) x c ( x x1 )( x x2 )
t 2bt c x1t 2(b 1)t c t x1(t x1 )(t x2 ) (t x1 )
(t x1 )(t 1x2 ) *
∵ x2 x1 1 ∴ x2x1 1 t 1
∴ * 式0∴ t2bt c x1
[ 例 7] 已知抛物线C1: y x 22x 和 C 2 : y x2 a 。

如果直线l同时是 C1和 C 2的切线，称 l 是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

（1）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（2）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。

分析：分别利用曲线C1, C2方程求切线l的方程再比较，从而求得 a 满足条件；对于（ 2 ）两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。

解析：（ 1）函数y x 22x的导数 y 2x 2 ，曲线 C1在点 P(x1 , x122x1 ) 的切线方程是
y (x122x1 ) (2x12)( x x1 )
即 y (2x12) x x12①
函数 y x 2a的导数 y2x
曲线 C2在点 Q( x2 ,x22a) 的切线方程是
y ( x22a)2x2 (x x2 )
即 y2x2 x x22 a ②
如果直线 l是过 P 和 Q 的公切线，则①式和②式都是l 的方程x11x2
所以
x22a
x12
消去 x2得方程 2 x122x11a0
442(1a)01
时解得 x1
1
若判别式，即 a，此时点 P与 Q 重合
122
即当 a有且仅有一条公切线
时， C1和 C2
2
1
由①得公切线方程为y x
4
1
（ 2）由（ 1 ）可知，当a时C1和C2有两条公切线
2
设一条公切线上切点为P( x1 , y1 ), Q ( x2 , x2 ) ，其中P在 C1上，Q在 C 2上，则有x1x21
y1y2x122x1 ( x22a)
x122x1( x1 1)2a 1 a
11a
线段 PQ 的中点为(,)
22
同理，另一条公切线段P Q 的中点也是(1
, 1 a )
22
所以公切线段PQ 和PQ互相平分
[ 例 8]已知抛物线y ax2bx c 过点 (1,1) ，且在点 (2, 1) 处与直线 y x 3 相切，求a, b, c 的值。

解析：∵ y f (x) ax 2bx c
∴ y f (x) 2ax b
∵抛物线在点 (2, 1) 处与直线y x 3 相切
∴ f ( 2)1，且 f (2) 1
4a 2b c1(1)
即
4a b1(2)
又抛物线过点（1， 1 ）∴ a b c 1 （3）
将（ 1 ）（2 ）（ 3）联立解得 a 3,b11, c9
[ 例 9]设函数y ax3bx2cx d 的图象与y轴的交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为 12x y 4 0 ，若函数在x 2 处取得极值为0 ，试确定函数的解析式。

解析：∵ y ax3bx2cx d 的图象与y轴交点为P
∴点 P 的坐标为(0, d )
∵曲线在 P 点处的切线方程为y12x 4 ，故P点坐标适合此方程，将P(0, d ) 代入后得 d4
又切线的斜率为 k12
而 y3ax22bx c ， y |x 0c
∴c 12
又函数在 x 2 处取得极值0
∴ y |x 20 且 f (2)0
12a 4b 120(1)
即
8a 4b 200(2)
由（ 1 ）（2 ）解得a2, b9
∴ y 2x 39x212 x4
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1 [ 例 10] 已知曲线 y。

x
（ 1）求曲线在点 P （ 1 ， 1 ）处的切线方程；
（ 2）求曲线过点 Q （ 1， 0 ）的切线方程；
（ 3）求满足斜率为
1
的曲线的切线方程。

3
解析：（ 1）∵ y
1
x 2 ，又 P （ 1 ，1 ）是曲线上的点
∴ P 为切点，所求切线的斜率为 k
f
(1) 1
∴ 曲线在 P 点处的切线方程为
y 1 (x
1) ，即 y x 2
（ 2）显然 Q （ 1 ， 0 ）不在曲线 y
1 上，则可设过该点的切线的切点为 A(a, 1
) ，则
1
x
a
该切线斜率为 k 1
f (a)
a 2
则切线方程为 y
1
1 ( x a) （ * ）
a
a 2 1 1 1
将 Q （1，0）代入方程（ *）得
0 (1 a) 得 a 。

故所求切线方程为
a
a 2
2
y
4x 4
（ 3）设切点坐标为 A(a,
1
) ，则切线的斜率为
k 2
1 1
a
a 2
3
解得 a 3
∴ A(
3,
3
)或A(
3,
3
) ，代入点斜式方程得
y
3 1
(x
3) 或
3
3
3
3
y
3 1
(x
3)
3
3
即切线方程为 x 3y 2 3 0 或 x 3y 2 3 0
[ 例 11] 已知 a 0 ，函数 f ( x)
x 3 a, x [0,
) ，设 x 1 0 ，记曲线 y f (x) 在点
M ( x 1 , f (x 1 )) 处的切线为 l 。

（ 1）求 l 的方程；
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（ 2）设 l 与 x 轴交点为 (x 2 ,0) ，证明：
1
1 1
① x 2
a 3 ；② 若 x 1 a 3 ，则 a 3 x 2
x 1 。

解析：（ 1）求 f (x) 的导数： f ( x)
3x 2 ，由此得切线 l 的方程：
y (x 13 a) 3x 12 ( x x 1 )
（ 2）依题意，切线方程中令
y
x 2
x 1
x 13 a 2x 13 a
3x 12
3x 12
1 1
1
x 2 a
3
3
2 3
)
①
3x 1
2 ( 2x 1
a 3x 1 a
1
1
1
( x 1 a 3 ) 2 (2x 1 a 3 ) 0 3x 12
1
1
∴ x 2
a 3
当且仅当 x 1 a 3 时等号成立
1
x 13 a
1
② 若 x 1
a 3 ，则 x 13 a
0 ， x 2 x 1
0 ，且由① x 2 a 3 ，所以
3x 12
1
a 3 x x 2
x 1
[例 12]
设函数 f ( x) ax (a
1) ln( x 1) ，其中 a
1 ，求 f ( x) 的单调区间。

解析： 由已知得函数
f ( x) 的定义域为 ( 1,
) ，且 f ( x)
ax 1
( a
1)
x 1
（ 1）当
1 a 0 时，由 f ( x) 0 知，函数 f ( x) 在 ( 1,
) 上单调递减
（ 2）当 a
0 时，由 f (x)
0 ，解得 x
1
a
f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表：
x
( 1,1
)
1 ( 1
, )
a
a
a
f ( x) － 0
+ f ( x)
↓
极小值
↑
从上表可知
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当 x
( 1,
1 时， f (x)
0 ，函数 f (x) 在 (
1,
1
) ) 上单调递减
1 , a
1 a
当 x
( ) 时， f (x) 0 ，函数 f ( x) 在 ( , ) 上单调递增
a
a
综上所述：
当 1
a 0 时，函数 f ( x) 在 ( 1,
) 上单调递减
当 a
0 时，函数 f (x) 在 ( 1, 1 ) 上单调递减， f ( x) 在 ( 1
,
) 上单调递增
a
a
[ 例 13] 已知函数 f ( x
ax 3
3 x 2 x 1 在 R 上是减函数，求
a 的取值范围。

)
分析：因为 f ( x) 在 R 上为减函数， 即 f (x) 0 在 R 上恒成立， 再解不等式即可得解。

解析： 求函数 f (x) 的导数： f (x)
3ax 2
6x 1
（ 1）当 f ( x)
0( x R) 时， f ( x) 是减函数
3ax 2 6x 1 0(x R)
a
0，且
36 12a 0 a
3
所以，当 a 3 时，由 f (x) 0 知 f ( x)( x R) 是减函数；
（ 2）当
a
3 时， f ( x
)
x 3 3 x 2
x
1 3( x 1) 3
8
3
3
9
由函数 y x 3 在 R 上的单调性，可知
当 a
3 时， f (x)( x
R) 是减函数；
（ 3）当 a
3 时，在 R 上存在一个区间，其上有 f ( x)
所以，当 a
3 时，函数 f (x)( x
R) 不是减函数
综上，所求 a 的取值范围是 (
, 3]
[ 例 14]
设 a 为实数，函数 f (x) x 3 ax 2 ( a 2 1)x 在 ( ,0) 和 (1, ) 上都是增函数，
求 a 的取值范围。

解析： f
( x )
x 2 ax ( a 2 1)
3
2
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其判别式
4a 2 12a 2 12 12 8a 2
（ 1）若
12 8 2
0 ，即 a
6
a
2
当 x
( , a
a
, ) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 (
, ) 上为增函数
) 或 x (
3 3
∴ a
6
2
（ 2）若
12 8a 2
0 ，恒有 f ( x) 0 ， f ( x) 在 ( , ) 上为增函数
∴ a
2
3 即 a (
,
6 ) ( 6
, )
2
2
2
（ 3）若
12 8a 2
0 ，即
6 a
6 ，令 f ( x) 0
2
2
解得 x 1
a
3 2a 2 ， x 2
a
3 2a 2
3
3
当 x (
, x 1 ) 或 x (x 2 , ) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数
当 x
(x 1, x 2 ) 时， f (x)
0， f (x) 为减函数
依题意 x 1
0 得 x 2 1
由 x 1
0 得 a
3 2a 2 ，解得 1
a
6
2
由 x 2
1 得 3 2a 2
3 a 解得
6 a
6
2
2
从而 a
[1,
6 )
2
综上， a 的取值范围为 (
,
6 ] [ 6 , )
[1,
6 )
2 2
2
即 a
(
,
6 ] [1,
)
2
【模拟试题】（答题时间： 60 分钟）
x2
3ln x 的一条切线的斜率为1
）
1. 已知曲线y，则切点的横坐标为（
42
1
A. 3
B. 2
C. 1
D.
2
2.设 a0 ，f ( x)ax 2bx c ，曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围为 [ 0,] ，则 P 到曲线y f (x) 对称轴距离的取值范围是（）
A. [0,14
1b D. [0,
| b
1 |] ] B. [0,] C. [0,||]
a2a2a2a
3.在函数 y x38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个
4
数是（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
4.y ln[ln(ln x)] 的导数为（）
A.
1 B.1
x)ln x ln(ln x)
xln(ln
C.
1 D.1
x)ln(ln x)
x ln x ln(ln
5.已知函数 f (x) 在x 1 处的导数为3 ，则f (x)的解析式可能为（）
A. f ( x)( x1) 33( x1)
B. f ( x)2(x1)
C. f ( x)2( x1) 2
D. f ( x)x1
6.设 f ( x), g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当 x0 时，
f ( x)
g ( x) f (x) g (x)0，且 g (3)0 ，则不等式 f ( x) g (x) 0 的解集是（）
A. (3,0)(3,)
B.(3,0)(0,3)
C. (,3)(3,)
D.(, 3)(0,3)
7.函数 y(x2a)( x a)2的导数为（）
A. 2( x2 a 2 )
B. 3( x2a2 )
C. 3( x2a2 )
D. 2(x2a2 )
8. 设f (x)是函数f (x)的导函数，y f (x) 的图象如下图所示，则 y f ( x) 的图象最有可能的是（）
9. 函数y ( x1) 2 ( x1) 在x1处的导数等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知 f ( x) 与 g( x) 是定义在R上的连续函数，如果 f (x) 与 g(x) 仅当x0 时的函数值为 0 ，且f (x)g(x) ，那么下列情形不可能出现的是（）
A. 0是 f ( x) 的极大值，也是g( x) 的极大值
B. 0 是f ( x)的极小值，也是g ( x) 的极小值
C. 0 是f ( x)的极大值，但不是g( x) 的极值
D. 0 是f ( x)的极小值，但不是g( x) 的极值
11.已知二次函数 f (x)ax 2bx c 的导数为 f ( x), f (0)0 ，对于任意实数，都有
f ( x)0
f (1)
），则的最小值为（
f (0)
A. 3
5
C. 2
3 B. D.
22
12.设函数 f ( x) 是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线 y f ( x) 在x 5 处的切线的斜率为（）
11
A. B.0 C. D.5
55
13. 已知对任意实数x，有f ( x) f ( x) ， g (x) g (x) ，且x0 时， f ( x)0 ，
g (x)0，则 x0时（）
A.f( x)0, g ( x)0
B. f ( x)0, g ( x)0
C.f(x) 0, g ( x)0
D. f ( x)0, g ( x)0
14.若曲线 y x 4的一条切线l与直线
A. 4 x y30
B.
C.4x y30
D.
x 4 y80 垂直，则l的方程为（）x 4 y50
x 4 y30
15.设f ( x)是函数 f (x) 的导函数，将y f (x) 和 y f ( x) 的图象画在同一个直角坐
标系中，不可能正确的是（）
16.若对任意x R, f ( x) 4x3， f (1)1，则 f (x) 是（）
A. f ( x) x 4
B. f ( x) x 42
C. f ( x) 4x 35
D. f ( x) x 42
17. f ( x) 是定义在 ( 0, ) 上的非负可导函数，且满足 xf ( x) f ( x) 0 任意正数 a, b ，
若 a b，则必有（）
A.af (a) f (b)
B. f (b) f ( a)
C. af (b)bf ( a)
D. bf (a)af (b)
18.曲线y
1 x 32在点( 1,7)处切线的倾斜角为（）
33
A. 30 °
B. 45 °
C. 135 °
D. －45°
19.设f0( x)sin x ，f1( x) f 0 (x) ， f 2 (x) f1 ( x) ，，f n 1 ( x) f n ( x) ，n N
则 f 2005 ( x) 等于（）
A.sin x
B.sin x
C.cos x
D.cos x
20.抛物线 y x 2到直线 x y20 的最短距离为（）
A.2
B.72
C. 2 2
D. 以上答案都不对8
21.已知函数 y f (x)x3px2qx 的图象与x轴切于非原点的一点，且y
最小
值 4 。

（ 1）求p, q的值；
（ 2）函数y g (x)x2x ，若函数 F (x) f ( x)mg( x)( x R)在区间 [ 2,) 上单调，求 m 的取值范围。

22.已知函数 f ( x)ax 3cx d (a0) 是R上的奇函数，且 f (1)0 ， f (1) 2 。

（1）求a,c, d的值；
（2）在y f (x)的图象 C 上任取一点 P，在点 P 处的切线l与图象 C 的另一个交点为
Q ，设点 P 的横坐标为t ，线段PQ中点R的纵坐标为u。

①用 t 表示u；
②当 t 0 时，求u的最大值。

23.
已知函数f ( x) ln x g( x)
1
x
2
a l
与
y f ( x) y g( x)，（ a 为常数），若直线，
2
的图象都相切，且l 与y f (x) 的图象相切的切点横坐标为1。

（ 1）求直线l的方程及a的值；
（2）当24.已知函数2 m
1
h(x) f ( x) f ( x)[ 2g( x) m 1] 在[
1
时，求,2] 上的最大值。

42
f ( x)x 3ax 23x。

（ 1）若f (x)在x[1,) 上是增函数，求实数 a 的取值范围；
2
）若方程f x a x a
（
精品
【试题答案】
1. A
2. B
3. D
4. C
5. A
6. D
7. C
8. C9. D10. C11. C12. B13. B14. A
15. D16. B17. C18. B19. C20. B
21.
解：（1 ）设函数y f ( x) 的图象与x轴切于点 ( x0 ,0) (x0 0)∵ y f ( x) x3px 2qx f (x) 3x 2 2 px q
∴ f( x0 ) 0 3x02 2 px0q 0①
又 f ( x0 ) 0x0 ( x02px0由①－②2x02px00把 p 24q 代入 f ( x) 中，则令 f ( x) 03x 2 2 px
q
②
)
x0
p
，代入①式得 p 24q
2
f(x)3x2 2 px p 2
4
p2
x1
p
， x2
p 0
26 4
当时，p p 3p 2p 2p
p0最小值 f ()()p()()4
64
666 p6, q9
当 p0 时， y最小值 f (p )(p )3p(p)2p 2(p )
22242
4p3p 3p 3
4，不符合题意848
综上所述，p 6, q9
（ 2）由（ 1 ）知f ( x)x36x29x ∴ F ( x) x3(6 m) x2(9 m) x
F (x) 3x2(122m) x 9m
∵ F ( x) 在 [ 2, ) 上单调，即 F ( x) 在 [ 2, ) 上恒大于零或恒小于零
又由二次函数性质，有 F ( x) 恒大于零
6m
2时，
当
3
3 2 2(122m)29m0∴ m9
6m
2 时，
当
3
3 (6m )2(122m) (6m
) 9m0
33
∴ m 无解综上所述 m9
22.
解：（1 ）由f (x)为奇函数可知d0
∴ f ( x)ax3cx ， f( x)3ax 2c
f (1)0a c0
a1,.c1
由
(1)23a c2
f
∴ a 1 ， c1， d0
（ 2）①由（ 1）知 f ( x)x3x ，
P(t ,t 3t ) ， y f (x) 3x21
f(t )3t 21
∴ f ( x) 在P点处切线方程为
y (t 3t )(3t 21)( x t )
与 y x3x联立得
x3x (t 3t)(3t 21)( x t)(x t) 2 (x 2t )0
∴ Q ( 2t, 8t 32t)∴ u(t 3t ) ( 8t 32t )7t 3t
22
②令 u21 t210 得 t21
2221
21
当 t
21 时， u
当 0
t
21
u
0 ，故当 t
21
21 时，
时， u 取极大值。

21
∵ t (0, )
∴ u 最大值
1 [ 7 ( 21)3 21 ] 21
2 21
21
63
23.
解：（1 ） f
( x)
1 ∴ f (1) 1 ∴ k 1
1
x
又切点为（ 1，0）
∴ l 的方程为 y
x
1
y x 1
1 x 2
又 l 与 g (x) 相切，由
y 1 x 2 a 得 x a 1 0
2
2
1 4
1
( a 1)
∴ a
1
2
2
（ 2） h( x) f ( x) f ( x)[ 2g(x)
m
1]
ln x m x 2
x
1
2
1
h ( x) x
2
x m
( x 2
)
m 4
x 2
x
2
当 2
m 1 ( x)
0 得 x 1
1
1 4m
时，由 h
2
4
1
1
4m
1
x 1 1 1 x 2
2
x 2
2
，显然
2
，
2
∴ x 1
1
,2] ， x 2 1
,2] [ ( 2
2
又 h ( x)
(x
x 1 )( x x 2 )
x
2
1 x
x 2 时， h ( x)
0 ， h( x) 单调递增
当
2
精品当 x2x 2 时， h ( x)0 ， h( x) 单调递减
∴ h(x) max h( x2 )
114m 1 4m ln
2
24.
解： f x
3x2
2
ax
3
( )
∴ x1∴ a 3
(x 1 ) 2x
当 x 1 时，3
( x1) 是增函数，其最小值为
3
(1 1) 0 2x2
∴a 0
（ 2）令h( x) f ( x)(a 23)x1 h ( x)3x22ax a 20
得 x a 或x a
∵ a0∴ 有3
∴ x a
时 f ( x) 有极大值，f ( x)极大值 f (a)5a31 3327
x a 时， f ( x) 有极小值，f (x)极小值 f ( a)a31∵若方程 f (x)( a 23) x1(a 0) 至多有两个解
∴ f ( a)0 或f (a
) 0
3
∴a3 1 0 或5a310 （舍），解得 0a1
27
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