高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算课时作业 理

第1讲 平面向量及其线性运算
1．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．(2014年新课标Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( )
A.AD →
B.12AD →
C.BC →
D.12
BC →
3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →
，则( ) A ．点P 在线段AB 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
4．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23
c 5．如图X4­1­1所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →
＝( )
图X4­1­1
A.FO →
B.OG →
C.OH →
D.EO →
6．设点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，点O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意
一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →
＝( )
A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →
7．P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 内部 B ．AC 边所在直线上
C ．AB 边所在直线上
D ．BC 边所在直线上
8．(2015年新课标Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
9．(2017年湖南长沙长郡中学统测)如图X4­1­2，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN
→
＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29
AC →
，则实数m 的值为________．
图X4­1­2
10．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →
＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为__________．
11．设两个非零向量e 1和e 2不共线 ．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
12．如图X4­1­3，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →
＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，求数对(x ，y )的值．
图X4­1­3
第1讲 平面向量及其线性运算
1．B 解析：由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，点M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13
(AB
→
＋AC →)．所以AB →＋AC →＝3AM →
，即m ＝3.
2．A 解析：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝1
2
(a ＋b )＝AD →.故选A. 3．B 解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →
.所以点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.
4．A 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)．∴3AD →＝2AC →＋AB →.∴AD →＝23AC →＋13AB →＝
2
3
b ＋13
c .
5．A 解析：如图D108，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，OP →＋OQ →＝OA →＝FO →
.
图D108
6．D 解析：如图D109，∵点M 为AC ，BD 的中点，∴OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →.∴OA →
＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.
图D109
7．B 解析：∵CB →＝PB →－PC →，CB →＝λPA →＋PB →
， ∴PB →－PC →＝λPA →＋PB →.∴－PC →＝λPA →. ∴PC →∥PA →，即PC →与PA →
共线．
∴点P 一定在AC 边所在直线上．故选B.
8.1
2 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )．则⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝k ，1＝2k .
所以λ＝12.
9.13 解析：由AN →＝12NC →
，知N 是AC 的三等分点． ∵AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23
AN →，
∵B ，P ，N 三点共线，
∴m ＋23＝1，即m ＝13
.
10．④ 解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →
不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．
11．(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2，
∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12
C D →.∴AC →与CD →
共线．
∵AC →与CD →
有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线．
(2)解：AC →＝AB →＋BC →
＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.
∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →
共线．
从而存在实数λ使得AC →＝λCD →
， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3＝2λ，－2＝－λk .
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝3
2，k ＝4
3
.
12．解：方法一，令BF →＝λBE →，由题意知，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12AC →－AB →＝
(1－λ)AB →＋12λAC →
.
同理，令CF →＝μCD →，则AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝AC →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AC →＝12
μAB →
＋(1－μ)AC →.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1－λ＝1
2μ，12λ＝1－μ.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝2
3，μ＝2
3.
∴AF →＝13AB →＋13AC →.故⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13为所求．
方法二，设CF →＝λCD →
，∵E ，D 分别为AC ，AB 的中点，
∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12λ－1a ＋(1－λ)b . ∵BE →与BF →
共线，a ，b 不共线， ∴1
2λ－1－1＝1－λ12
.∴λ＝23
.
∴AF →＝AC →＋CF →＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a －b ＝13a ＋13b . 故x ＝13，y ＝13.则⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，13即为所求．。