高中数学第三章不等式3 3 1 2二元一次不等式组表示的平面区域学案新人教A版必修5

第2课时二元一次不等式组表示的平面区域
学习目标1.能画出二元一次不等式组表示的平面区域.(直观想象、逻辑推理)
2.能写出平面区域表示的二元一次不等式组.(直观想象、逻辑推理)
3.用二元一次不等式组表示平面区域解决简单的实际问题.(逻辑推理、数学运算、数学建模)
必备知识·自主学习
导思
1.上一节学习了二元一次不等式,那么什么是二元一次不等式组?
2.二元一次不等式组表示的平面区域如何表示?如何确定?
1.二元一次不等式组的有关概念
(1)定义:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
(2)解集:所有满足二元一次不等式组的x和y的取值构成的有序数对(x,y)构成的集合.
2.二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.
二元一次不等式组的解与所表示的平面区域内的点的关系是什么?
提示:以不等式组的解为坐标的点都在平面区域内;平面区域内点的坐标都是不等式组的解.不等式组的解与区域内的点一一对应.
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).
(1)二元一次不等式组中的不等式必须是二元一次不等式.( )
(2)二元一次不等式组表示的平面区域都是封闭的区域.( )
(3)点(1,1)不在不等式(x+y-1)(x+y+1)>0表示的区域内.( )
提示:(1)×.也可以有一元一次不等式.
(2)×.也可以是半封闭的区域.
(3)×.因为(1+1-1)(1+1+1)>0成立,故点在不等式表示的区域内.
2.下面给出的四个点中,位于表示的平面区域内的点是( )
A.(0,2)
B.(-2,0)
C.(0,-2)
D.(2,0)
〖解析〗选C.验证法,把四个点分别代入不等式组进行验证知,只有(0,-2)在平面区域内.
3.(教材二次开发:例题改编)不等式组,表示的平面区域是( )
〖解析〗选B.因为不等式组,
可以取(0,0),在不等式的区域内,故A、C、D错误;B正确.
关键能力·合作学习
类型一二元一次不等式组表示的平面区域(数学抽象、数学建模)
1.不等式组表示的平面区域为( )
〖解析〗选B.因为不等式x<2y,表示直线x=2y的上半部分.y<-3x+12,表示直线y=-3x+12的下半部分,根据二元一次不等式组表示平面区域,得到不等式组的对应区域的图象为:
2.在平面直角坐标系中,满足不等式x2-y2≥0的点(x,y)组成的图形(用阴影部分来表示)是( )
〖解析〗选B.由x2-y2≥0,得(x+y)(x-y)≥0,
即或画出图形如图所示.
3.(1)画出不等式组表示的平面区域.
(2)画出不等式组表示的平面区域.
〖解析〗(1)不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0及左下方的区域.不等式x-2y>3表示直线x-2y-3=0右下方的区域.不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及右上方的区域.
所以不等式组表示的平面区域如图所示.
(2)不等式x-y-1<0表示直线x-y-1=0左上方的平面区域.画出直线2x-y-3=0(实线),
不等式2x-y-3≥0表示直线2x-y-3=0及右下方的平面区域.
所以不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分.
画平面区域的三步骤
(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线;
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律,确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.
〖补偿训练〗
1.不等式组表示的平面区域是( )
〖解析〗选B.x-2y+4≥0表示在直线x-2y+4=0的下方及直线上,x-y+2<0,表示在直线x-y+2=0的上方,则对应的区域为B.
2.画出不等式组表示的平面区域.
〖解析〗不等式x-y<2表示直线x-y=2左上方的区域;
不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1及其右上方的区域;
不等式x+y<2表示直线x+y=2左下方的区域,
故不等式组表示的区域如图所示.
类型二已知平面区域求不等式组(直观想象、逻辑推理)
〖典例〗如图,平面区域(阴影部分)对应的不等式组是( )
A. B.
C. D.
〖思路导引〗先求出直线方程,再判断不等号的方向.
〖解析〗选A.经过(2,0),(0,2)点的直线方程为+=1,即x+y-2=0,
经过(2,0),(0,-2)点的直线方程为-=1,即x-y-2=0,
经过(-1,0),(0,2)点的直线方程为-x+=1,即2x-y+2=0,
则阴影部分在x+y-2=0的下方,即对应不等式为x+y-2≤0,
阴影部分在2x-y+2=0的下方,即对应不等式为2x-y+2≥0,
阴影部分在x-y-2=0的上方,即对应不等式为x-y-2≤0,即对应不等式组为
.
根据平面区域求不等式组四步骤
(1)求直线:根据区域边界上的点求出边界的直线方程;
(2)定方向:取区域内的特殊点,代入直线方程的左侧,计算所得的值为正,则为“>”,否则为“<”;
(3)定等号:根据区域的边界的虚实确定不等号是否含有等号;
(4)写结论:将各个不等式联立成不等式组.
1.观察如图区域,它对应的不等式组是.
〖解析〗由图可求三边对应的直线方程分别为x+y-3=0;x-2y=0;x-y+1=0,由图知不等式组为
答案:
2.表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是.
〖解析〗由题图易知,点(3,1)在相应的平面区域内,将点(3,1)的坐标分别代入3x+2y-6、
2x-3y-6、2x+3y-12中,分别使得3x+2y-6>0、2x-3y-6<0、2x+3y-12<0,注意到包括各边界,故题图中阴影部分所示平面区域的不等式组是
答案:
类型三二元一次不等式组表示平面区域的应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 求平面区域的面积
〖典例〗不等式组所表示的平面区域的面积为( )
A.1
B.
C.
D.
〖思路导引〗画出约束条件表示的可行域,求出交点坐标,然后求出可行域的面积.
〖解析〗选D.作出不等式组所表示的平面区域,如图所示的三角形ABC,由题意可得C(1,0),B(2,0),
由可得A,=×1×=.
1.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示区域的面积.
〖解析〗如图所示,其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域.
由得A(1,3).
同理得B(-1,1),C(3,-1).
所以|AC|==2,
而点B到直线2x+y-5=0的距离为d==,所以
=|AC|·d=×2×=6.
2.(变条件)若将例题中的条件变为“”求所表示的平面区域的面积.
〖解析〗可将原不等式组分解成如下两个不等式组:
①或②上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,
所围成的面积S=×4×2-×2×1=3.
角度2 二元一次不等式组表示的平面区域与参数
〖典例〗若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A.a≥
B.0<a≤1
C.1≤a≤
D.0<a≤1或a≥
〖思路导引〗先画出不含参数a的不等式组的平面区域,再依据直线x+y=a 的平移确定参数a的取值范围.
〖解析〗选D.不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分).
由得A;
由得B(1,0).
若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥.
在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积
等于2,则a的值为( )
A.-5
B.1
C.2
D.3
〖解析〗选D.不等式组表示的平面区域如图所示,其中A(1,0),C(0,1),
由得
=|a+1|×1==2,得a=3或a=-5(舍).
角度3 二元一次不等式组在实际中的应用
〖典例〗一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资源需求如下表:
品种电力/千瓦时煤/吨工人/人
甲 2 3 5
乙8 5 2
该厂有工人200人,每天只能保证160千瓦时的用电额度,每天用煤不得超过150吨,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.
〖思路导引〗若设生产甲产品x吨,乙产品y吨,根据资源需求及条件限制,可用二元一次不等式组表示出来,然后画出二元一次不等式组表示的平面区域即可.
〖解析〗设每天分别生产甲、乙两种产品x吨和y吨.生产x吨甲产品和y吨乙产品的用电量是(2x+8y)千瓦时,根据条件,有2x+8y≤160;
用煤量为(3x+5y)吨,根据条件,有3x+5y≤150;
需要工人数(5x+2y)人,根据条件,有5x+2y≤200;
另外,还有x≥0,y≥0.
综上所述,x,y应满足不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是不等式组表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边界).
1.关于不等式组表示的平面区域的面积
首先作出平面区域,其次根据平面区域的形状确定面积的求法.常常用到点到直线的距离求高,平面区域分割求和等方法.
2.平面区域的参数问题
是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合分类讨论
的思想,针对图象分析满足条件的参数的取值范围.
3.用平面区域来表示实际问题的基本方法
(1)根据问题的需要选取两个起关键作用的关联较多的量,用字母表示.
(2)把问题中有关的量用这两个字母表示.
(3)把实际问题中有关的限制条件用不等式表示出来.
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
易错警示:易忽视实际问题中对未知数的要求,如为正数或正整数等. 1.不等式组表示的平面区域D的面积为. 〖解析〗作出不等式组对应的平面区域如图:
方法一:由得,即C(-1,-2),
又B(1,0),A(0,1),
所以S△ABC=|AB|·|BC|=××2=2.
方法二:当y=0时,由y=3x+1=0得x=-,
即D,则BD=,
由得,即C(-1,-2),
则平面区域的面积
S=S△ABD+S△CBD=××1+××2=2.
答案:2
2.某工厂生产A、B两种产品,计划每种产品的生产量不少于15千克,已知生产A产品1千克要用煤9吨,电力4千瓦时,3个工作日;生产B产品1千克要用煤4吨,电力5千瓦时,10个工作日.现在工厂只有煤360吨,电力200千瓦时,300个工作日.设A、B产品分别生产x千克,y 千克,列出满足生产条件的不等式组,并画出相应的平面区域.
〖解析〗满足的不等式组为
,
作出以上不等式组的可行域,如图所示:
〖拓展延伸〗
求区域面积或区域内整点的坐标
在应用平面区域时,准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键.
(1)求区域面积时,要先确定好平面区域的形状,注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标,这样易求底与高.必要时分割区域为特殊图形.
(2)整点是横、纵坐标都是整数的点,求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点,以免出现错误.
〖拓展训练〗
已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域;
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积;
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标.
〖解析〗(1)不等式4x+3y≤12表示直线4x+3y=12上及其左下方的点的集合;x>0表示直线x=0右方的所有点的集合;y>0表示直线y=0上方的所有点的集合,故不等式组表示的平面区域如图(1)所示.
(2)如图(1)所示,不等式组表示的平面区域为直角三角形,其面积S=×4×3=6.
(3)当x=1时,代入4x+3y≤12,得y≤,
所以整点为(1,2),(1,1).当x=2时,代入4x+3y≤12,得y≤,所以整点为(2,1).所以区域内整点共有3个,其坐标分别为(1,1),(1,2),(2,1).如图(2).
〖补偿训练〗
1.设x,y满足则平面区域中的整点的个数为. 〖解析〗不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分,由
得
所以A(5,2),当x=0时,整点个数有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),共7个; 当x=1时,整点个数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6个;
当x=2时,整点个数有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),共5个;
当x=3时,整点个数有(3,2),(3,3),(3,4),共3个;
当x=4时,整点个数有(4,2),(4,3),共2个;
当x=5时,整点有(5,2),共1个,
所以共有7+6+5+3+2+1=24(个).
答案:24
2.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是.
〖解析〗画出不等式组所表示的平面区域D,如图中阴影部分所示.
由解得
所以A(2,9),当指数函数y=a x的图象经过点A(2,9)时,9=a2,
又a>0且a≠1,所以a=3.
由图象可知,若指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是(1,3〗.
答案:(1,3〗
3.向量=(1,0),=(1,1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成图形的面积为.
〖解析〗因为动点P(x,y),所以=(x,y),
则·=x,
·=x+y,
因为
所以
设点Q(x+y,y)的坐标为(a,b),
则满足即所以
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):则A(0,-1),C(2,1),D(2,2),则阴影部分的面积为1×2=2.
答案:2
4.某工艺厂有铜丝5万米,铁丝9万米,准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售,已知一只花篮需要用铜丝200米,铁丝300米;编制一只花盆需要铜丝100米,铁丝300米,该厂准备用这些原料编制x个花篮,y个花盆.试列出x,y满足的关系式,并画出相应的平面区域.
〖解析〗由已知,得x,y满足的关系式为
即,
该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分中的整点所示:
课堂检测·素养达标
1.设不等式组所表示的平面区域是W,则下列各点在区域W内的是( )
A. B.
C. D.
〖解析〗选D.根据题意,依次分析选项:
对于A、不满足y≥0,不符合题意;
对于B、不满足x-y≥0,不符合题意;
对于C、不满足y≥0,不符合题意;
对于D、,有x=,y=,满足,符合题意.
2.(教材二次开发:习题改编)不等式组所表示的平面区域大致为哪一个( )
〖解析〗选C.根据题意,不等式组中,x+2y+4≤0表示直线
x+2y+4=0及直线下方的区域,x-y+1≤0表示直线x-y+1=0及直线上方的区域,
则不等式组所表示的平面区域为直线x+2y+4=0及直线下方和直线x-y+1=0及直线上方的区域,分析可得,C符合.
3.不等式组表示的区域为D,已知P1(0,-2),P2(0,0),则( )
A.P1∉D,P2∉D
B.P1∉D,P2∈D
C.P1∈D,P2∉D
D.P1∈D,P2∈D
〖解析〗选C.根据题意,将P1(0,-2)代入不等式组中,分析可得三个不等式都成立,则P1∈D,将P2(0,0)代入不等式组中,其不满足第一个不等式y<x,则P2∉D.
4.已知实数x,y满足不等式组,则该不等式组表示的平面区域的面积
为.
〖解析〗作出不等式组对应的平面区域如图:
则A(0,2),B(-1,0),C(2,0),
则三角形ABC的面积S=×3×2=3.
答案:3
5.画出不等式组所表示的平面区域,并求其面积.
〖解析〗如图所示,图中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域.
由于x-y-1=0与x-y+1=0互相平行,且两条直线间的距离d1==, 同理得x+y+1=0与x+y-1=0互相平行,两条平行线间的距离d2=,
又直线l1:x+y+1=0的斜率为k1=-1,直线l2:x-y+1=0的斜率为k2=1,k1k2=-1,
所以l1⊥l2,所以阴影部分为正方形.
故S阴影=×=2.
〖新情境·新思维〗
不等式组的解集记为D,若对任意(x,y)∈D,则( ) A.x+2y≥-2 B.x+2y≥2
C.x-2y≥-2
D.x-2y≥2
〖解析〗选A.作出不等式组所表示的图象知A正确.。