高二数学下学期期末考试试题 理

河北省永年县第一中学-高二数学下学期期末考试试题 理
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．若集合A ＝{x|0≤x＋2≤5}，B ＝{x|x<－1或x>4}，则A∩B 等于( )
A ．{x|x≤3或x>4}
B ．{x|－1<x≤3}
C ．{x|3≤x<4}
D ．{x|－2≤x<－1}
2．命题“∃x ∈R ，x 2
－2x ＋4>0”的否定是( )
A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4<0
B ．∀x ∈R ，x 2
－2x ＋4>0
C ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0 D．∀x ∈R ，x 2
－2x ＋4≤0
3．四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相，要求两名老人必须站在一起，则不同的排列方法为( )
A ．A 24A 22
B ．A 55A 22
C ．A 55
D.A 6
6
A 22
4．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2
)的单调递减区间是( )
A ．(－∞，32]
B ．[32，＋∞)
C ．(－1，32]
D ．[3
2
，4)
5．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )
A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
6．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭
圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为( )
A.
33 B.32 C.22 D.23
7．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2
y ≤2
x ≤2y
给定．若M (x ，y )为D
上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z ＝OM →·OA →
的最大值为( )
A ．4 2
B ．3 2
C ．4
D ．3
8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面
积为( )
A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2
9．用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值，
设f (x )＝min{2x
，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4
10．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－5
2
)＝( )
A ．－12
B ．－14 C.14 D.12
11．函数f (x )的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝x ＋sin x
B ．f (x )＝cos x
x
C ．f (x )＝x cos x
D ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2
)
12．已知f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f (x )<f ′(x )对于x ∈R 恒成立，
则( )
A ．f (2)>e 2
·f (0)，f (2010)>e 2010
·f (0) B ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)>e 2010
·f (0) C ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)<e
2010
·f (0) D ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)<e
2010
·f (0)
二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ，x >0
10x
，x ≤0，则f (f (－2))＝________.
14．双曲线x 24－y 2
4＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________．
15.关于x 的方程|x 2
－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．
16．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
……
按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 三．解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本题满分10分)A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，
若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A
2
，sin A 2，且m ·n ＝12.
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b ＋c 的值．
18. (本题满分12分))若为二次函数，-1和3是方程的两根，
（1）求的解析式；
（2）若在区间上，不等式有解，求实数m 的取值范围。

19. (本题满分12分)
已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为
f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数 y ＝f (x )的图像上．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
3
a n a n ＋1，T n 是数列{
b n }的前n 项和，求使得T n <m
20对所有n ∈N *
都成立 的最小正整数m .
20．(本题满分12分) 如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点．
(1)求直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值； (2)求证：平面EB 1D ⊥平面B 1CD ； (3)求二面角E ­B 1C ­D 的余弦值．
21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12
x 2
－m ln x .
(1)若函数f (x )在(1
2，＋∞)上是递增的，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．
22．(本小题12分)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)
()f x ()40f x x --=(0)1f =()f x ]1,1[-m x x f +>2)(
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
理科数学答案
一．选择题
D D B D C A C B B A C A 二．填空题
13 －2 14 (－6，－2)∪(2，6) 15 a ∈[－1，－3
4]
16
n 2－n ＋6
2
三．解答题
17． 解：（1）设 即
由∴
（2）由题意：在上有解，即在上有解
设，则在上递减，
max ()(1)5m g x g ∴<=-=
18．解析 (1)m ·n ＝－cos 2A 2＋sin 2A 2＝－cos A ＝12
，
∴cos A ＝－1
2，∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.
(2)S △ABC ＝1
2bc sin120°＝3∴bc ＝4，
又∵a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos120° ＝b 2
＋c 2
＋bc ＝(b ＋c )2
－bc ＝12， ∴b ＋c ＝4.
19．解析 (1)设这个二次函数f (x )＝ax 2
＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )＝6x －2，得
a ＝3，
b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .
又因为点(n ，S n )(n ∈N *
)均在函数y ＝f (x )的图像上， 所以S n ＝3n 2
－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2
－2n )－[3(n －1)2
－2(n －1)]＝6n －5，又∵n ＝1时也符合．
故{a n }的通项公式为a n ＝6n －5. (2)由(1)得b n ＝
3
a n a n ＋1
＝
3
6n －5
[6n ＋1－5]
()4(1)(3),f x x a x x --=+-()(1)(3)4,f x a x x x =+-++(0)3411f a a =-+=⇒=1)(2
+-=x x x f m x x x +>+-212]1,1[-2
31m x x <-+]1,1[-2
()31,[1,1]g x x x x =-+∈-)(x g ]1,1[-
＝12(16n －5－16n ＋1
)， 故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1
)，
因此，使12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N *
)成立的m ，必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，
所以满足要求的最小正整数m 为10.
20．解析 解法一：(1)连接A 1D ，则由A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角即为A 1D 与DE 所成的角．
连接A 1E ，由正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为a ， 则A 1D ＝2a ，A 1E ＝DE ＝5
2
a ， ∴cos ∠A 1DE
＝A 1D 2＋DE 2－A 1E 22·A 1D ·DE ＝105
.
∴直线B 1C 与DE 所成的角的余弦值是
10
5
. (2)取B 1C 的中点F ，B 1D 的中点G ，连接BF ，EG ，GF . ∵CD ⊥平面BCC 1B 1，
且BF ⊂平面BCC 1B 1，∴DC ⊥BF 。

又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ， ∴BF ⊥平面B 1CD . 又∵GF 綊12CD ，BE 綊1
2
CD ，
∴GF 綊BE ，∴四边形BFGE 是平行四边形， ∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面B 1CD . ∵GE ⊂平面EB 1D ， ∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD . (3)连接EF .
∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C . 又∵GE ⊥平面B 1CD 。

∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角E ­B 1C ­D 的平面角．
设正方体的棱长为a ，则在△EFG 中，
GF ＝12a ，EF ＝
32a ，∴cos ∠EFG ＝FG EF ＝33
， ∴二面角E ­B 1C ­D 的余弦值为
3
3
. 解法二：如图所示建立空间直角坐标系D ­xyz ，设D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，
C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，则E (2,1,0)．
(1)∵DE →＝(2,1,0)，CB 1→
＝(2,0,2)， ∴cos 〈CB 1→，DE →
〉 ＝
CB 1→·DE
→
|CB 1→|·|DE →|
＝422×5＝105，
∴DE 与B 1C 所成角的余弦值是105
. (2)取B 1D 的中点F ，连接EF . ∵F (1,1,1)，E (2,1,0)．
∴EF →＝(－1,0,1)，DC →
＝(0,2,0)， ∴EF →·DC →＝0，EF →
·CB 1＝0， ∴EF ⊥DC ，EF ⊥CB 1. 又∵CD ∩B 1C ＝C ， ∴EF ⊥平面B 1CD . ∵EF ⊂平面EB 1D . ∴平面EB 1D ⊥平面B 1CD .
(3)设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(1，a ，b )．由 ⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·DC →＝1，a ，b ·0，2，0＝2a ＝0，m ·DB 1→＝1，a ，b ·2，2，2＝2＋2a ＋2b ＝0，
解得a ＝0，b ＝－1，∴m ＝(1,0，－1)． 设平面EB 1C 的一个法向量n ＝(－1，c ，d )，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·EC →＝－1，c ，d ·－2，1，0＝2＋c ＝0，
n ·CB 1→＝－1，c ，d ·2，0，2＝－2＋2d ＝0.
解得c ＝－2，d ＝1， ∴n ＝(－1，－2,1)．
∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－22·6
＝－3
3，
∴二面角E ­B 1C ­D 的余弦值为
3
3
. 21． 解 (1)若函数f(x)在(12，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(1
2
，＋∞)上恒成立．
而f′(x)＝x －m x ，即m≤x 2
在(12，＋∞)上恒成立，即m≤14.
(2)当m ＝2时，f′(x)＝x －2x ＝x 2
－2
x ，
令f′(x)＝0得x ＝±2， 当x∈[1，2)时，f′(x)<0， 当x∈(2，e )时，f′(x)>0，
故x ＝2是函数f(x)在[1，e ]上唯一的极小值点， 故f(x)min ＝f(2)＝1－ln 2，
又f(1)＝12，f(e )＝12e 2－2＝e 2
－42>12，故f(x)max ＝e 2
－4
2
.
22 解 (1)投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题设f (x )＝k 1·x ，g (x )＝k 2·x ，
由图知f (1)＝14，∴k 1＝14，又g (4)＝52，∴k 2＝5
4，
从而f (x )＝14x ，(x ≥0)，g (x )＝5
4
x ，(x ≥0)．
(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，设企业的利润为y 万元．
y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4
＋5
4
10－x ，(0≤x ≤10)，
令10－x ＝t ，则y ＝10－t 2
4＋54t ＝－14(t －52)2＋25
16，(0≤t ≤10)，
当t ＝52，y max ≈4，此时x ＝10－25
4
＝3.75.
∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．。