2023年上海交通大学附属中学高二下期中数学试卷及答案

上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试
卷
一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.已知集合
{}
2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.
2.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为___________.
3.已知直线
1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．
4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则
z =
___________.
5.
函数
2y =
的最小值是______．
6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π
5，则该圆锥的体积为___________.
7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.
8.设常数a
使方程sin x x a +=在闭区间
[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则
实数a 的取值为___________.9.设随机变量
()
12,X B p ~，若
()8
E X ≤，则
()
D X 的最大值为___________.
10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若
()415P A =
，()215P B =，()7
10P C =
，则()P B A =______．
11.已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为
1
2
．过
1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是
________________．
12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由
行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.
二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）
13.已知2
2
2
:O x y r += ，直线2
23l x y r +=：
，若l 与⊙O 相离，则（）
A.点(2,3)P 在l 上
B.点(2,3)P 在O 上
C.点(2,3)P 在O 内
D.点(2,3)P 在O 外
14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e kt
R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教
师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：
lg20.3010≈）A.9
B.10
C.11
D.12
15.给定下列四个命题：
①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）
A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点
B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点
C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点
D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点
三、解答题（本大题共5道小题，共78分）
17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，
105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.
（1）求,A C 两点间的距离；
（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；
（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB ，求实数k 的值.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.
20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为
1-，以线段
AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．
（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；
（3）设()6,0M ，求2
2
MP MQ +的最小值．
21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22
:143
x y Γ+
=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之
和1.求证：123
111
k k k +
+为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；
（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =
.
上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试
卷
一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1.
已知集合
{}
2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.
【答案】{}2【解析】
【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再解含绝对值符号的不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式2680x x -+≤，得(2)(4)0x x --≤，解得24x ≤≤，即
{|24}A x x =≤≤，
解不等式|1|2x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，即{0,1,2}B =,所以{2}A B = .故答案为：{}
22.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a
在向量b 方向上的数量投影为___________.
【答案】3
5
##0.6【解析】
【分析】利用向量的数量积转化求解向量a ，b
在方向上的数量投影即可．
【详解】解：设向量a 与b 的夹角是θ，则向量a 在b
方向上的数量投影为：
3||cos 5
||a b a b θ⋅==
．
故答案为：
35
3.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．【答案】2-【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求解．
【详解】因为12//l l ，所以24
24m m ⎧-=-⎨≠⎩
，解得2m =-．
故答案为：2
-
4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.【答案】5【解析】
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可.【详解】由i 34i z =+可得()2
i 34i 34i 43i i i
z ++===-，
所以43i z =+，5z ==，
故答案为：55.函数2
y =
的最小值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】将函数化为
y =++
，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【详解】解：函数22
y ==
=
=++
= ．
当且仅当
=0x =，取得等号．
则函数的最小值为
2
．
故答案为：
2
．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．
6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于
8π
5
，则该圆锥的体积为___________.
【答案】128π【解析】
【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5
，所以侧面展开图的弧长为：8
10π16π5
⨯=.设该圆锥的底面圆的半径为r ，所以2π16πr =，解得8r =，
所以该圆锥的高6h ==，所以该圆锥的体积2211
ππ86128π33
V r h ==⨯⨯=.故答案为：128π.
7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.【答案】23130x y +-=【解析】
【分析】作图分析可知，当原点到直线l 的距离最大时，OP l ⊥，求出l 的斜率，根据点斜式即可求出直线l 的方程.
【详解】
由题意知，OP l ⊥，32
OP k =
，所以直线l 的斜率2
3k =-，
所以直线l 的方程为：()2
323
y x -=--，即23130x y +-=.故答案为：23130x y +-=.
8.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.
【解析】
【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数
π2sin
3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当a =与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.
【详解】∵13πsin 2sin 2sin 223x x x x x a ⎛⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴方程的解即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin 3y x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象的交点的横坐标，∵[]0,2πx ∈，∴ππ7π,333x ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，令π
3
z x =+
，画出函数2sin y z =在π7π,
33z ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的图象，如下：
由图象可知当且仅当a =.
9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.【答案】3【解析】
【分析】根据二项分布的数学期望得p 的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得
()D X 的最大值.
【详解】随机变量()12,X B p ~，由()8E X ≤可得0128p <≤，所以2
03
p <≤
又()()2
1121123
2p p D X p p +-⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭
当且仅当1
2
p =
时，“”=成立，故()D X 的最大值为3.故答案为：3.
10.研究人员开展甲、
乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若
()415P A =
，()215
P B =，()7
10P C =，则()P B A =______．【答案】38
##0.375【解析】
【分析】求出()P A B ，结合()()()()P A B P A P B P AB =+- 求出()P AB ，进而利用求条件概率公式求出答案.
【详解】由题意可知()()
710P C P A B =⋂=
，则()()
73
111010
P A B P A B ⋃=-⋂=-
=．又()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()4231
15151010
P AB P A P B P A B =+-⋃=
+-=，则()()()1
3
104815
P AB P B A P A =
==．故答案为：
38
11.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为
1
2
．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是
________________．【答案】13【解析】
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为22
2222213412043x y x y c c c
+=+-=，即，根据离心
率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的
方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，
整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =
，得13
24
a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为1
2
c e a =
=，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程
为22
2222213412043x y x y c c c
+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23
AF O π
∠=
，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，
∴直线DE 的斜率为33
，
直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化
简得到：221390y c --=，
判别式()
2
2224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，
∴12226461313
c
DE y =-=⨯
=⨯⨯⨯=，∴138c =
，得13
24
a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为
222211*********
DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.
故答案为：13.
12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组
成的区域面积为___________.
【答案】5033
【解析】
【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB 点，则OA =OB =10米，作AOB ∠的角平分线OC ，过A 作AD ⊥OB ，垂足为D 点，交OC 于C 点，设机器人先在道路OA 上前进t 分钟到达P 点,此时2OP t =，AP=102t -，后进入危险区域，
其能探测到达的点组成以P 为圆心，以()5t -为半径的圆弧 QR
，由题意可知：
1
sin 2
r OAD AP ==∠，即AD 与该圆弧相切，设切点为E ，故随P 点从O 移动到A ，机器人可探测的区域为OAD △，
结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有OAD △与OBF ，即图中阴影部分，其面积为2OAC S ，
易知OAC 为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：21503
2sin12023
OA ⨯
⨯⨯=
.故答案为：
503
3
【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.
二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）
13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）
A.点(2,3)P 在l 上
B.点(2,3)P 在O 上
C.点(2,3)P 在O 内
D.点(2,3)P 在O 外
【答案】C 【解析】
【分析】根据l 与O
2
r >，即可推出||r OP >，即可得答案.
【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为2
2
2
:O x y r +=
22r =
>，
故r >，由于(2,3)P
，则OP =||r OP >,则点(2,3)P 在O 内，故选：C ．
14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e kt
R t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教
师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：
lg20.3010≈）A.9 B.10 C.11
D.12
【答案】D 【解析】
【分析】根据已知条件求得()ln10
5
e 100t R t =，结合()20000R t >及指对数关系、对数运算
性质求解集，即可得结果.
【详解】由题设0050(0)e 100(5)e 1000k
R R R R ⎧==⎨==⎩，可得0100
ln105R k =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，所以()ln10
5
e
100R t =，则
ln10
5
e
10020000t >，故
5ln 200
5lg 2005(lg 22)11.50511ln10
t =
==⨯+≈>，
所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D
15.给定下列四个命题：
①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；
②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①③
【答案】D 【解析】
【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.
【详解】对①， 幂函数的图象都过(1,1)，偶函数的图象关于y 轴对称，
∴图象不经过点(1,1)-的莫函数一定不是偶函数，故①正确；
对②，若平面内的无数条直线互相平行，则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；对③，若有两个相邻的侧面是矩形，
则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；对④，当7n a n =-时,满足数列{}n a 是递增数列，116S a ==-，
2126511S a a =+=--=-，
则12S S >，不满足数列{}n S 是递增数列，故④不正确；故选：D.
16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）
A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点
B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点
C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点
D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点【答案】AD 【解析】
【分析】联立方程可得2224420x cx c r -+-=，构建()2
2
2
442f x x cx c r =-+-，根据
二次函数讨论()f x 在[]
,c r c r -+上的零点分布，并结合对称性分析C 与Γ右支的交点个数.
【详解】设双曲线方程为：2222c x y -=，联立方程()222222
2c x y x c y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩
，
消去y 得2224420x cx c r -+-=，
由圆222:()C x c y r -+=可知：x 的取值范围为[]
,c r c r -+，构建()2
2
2
442f x x cx c r =-+-，[]
,x c r c r ∈-+，
则()f x 的对称轴2
c
x c c r =
<<+，且()()()2
2
222
2,20,2402c f c r r c c f r f c r r cr c ⎛⎫-=--=-<+=++>
⎪⎝⎭
，当()0
2f c r c c r ⎧-<⎪
⎨-≥
⎪⎩即2122c c r ⎛-<≤ ⎝⎭时()f x 有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+，当()0
2f c r c c r ⎧-=⎪
⎨-≥
⎪⎩即212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有一个零点0212x c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.当()0
2f c r c c r ⎧->⎪
⎨-≥
⎪⎩
即2012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 无零点.当()0
2f c r c c r ⎧->⎪
⎨-<
⎪⎩即212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有两个零点()01,,x x c r c r ∈-+.当()0
2f c r c c r ⎧-=⎪
⎨-<
⎪⎩
即12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x
有且只有两个零点()011,,2x c x c r c r ⎛⎫
=+∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭
.
当()0
2f c r c c r ⎧-<⎪
⎨-<
⎪⎩
即2122c r c ⎛⎫<<+ ⎪ ⎪⎝⎭时有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+.
注意到当212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，C 与Γ的交点坐标为21,02c ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当212r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，C 与Γ的交点坐标有21,02c ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即会出现交点在对称轴上，结合C 与Γ的对称性可得：
当012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭
时，使C 与Γ没有公共点，即C 与Γ的右支没有公共点；
当212r c ⎛⎫
=-
⎪ ⎪⎝⎭
时，使C 与Γ有且仅有一个公共点，即C 与Γ的右支有且仅有一个公共点；
当221122c r c ⎛⎫⎛⎫
-<<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时，使C 与Γ有两个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；
当12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有三个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭
时，使C 与Γ有四个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点.
对A ：对于任意r ，存在c ，使得212r c ⎛⎫
>-
⎪ ⎪⎝⎭
，此时圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点，A 正确；
对B ：对于任意r ，存在c ，使得12r c ⎛⎫
>-
⎪ ⎪⎝⎭
，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，B 错误；
对C ：存在c ，使对于任意r ，使得212r c ⎛⎫
<- ⎪ ⎪⎝⎭
，此时圆C 与双曲线Γ右支没有公共点，
C 错误；
对D ：存在c ，使对于任意r ，使得12r c ⎛⎫
>- ⎪ ⎪⎝⎭
，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个
公共点，D 正确.故选：AD.
三、解答题（本大题共5道小题，共78分）
17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在
同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，
105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒
.
（1）求,A C 两点间的距离；
（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）【答案】（1
）m （2）264m 【解析】
【分析】（1）根据题意，先求出BAC ∠，然后利用正弦定理计算即可求解；
（2）根据题意结合（1
）的结果可直接求出AD = ，然后利用两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】
由已知得1801054530BAC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，因为
sin sin BC AC
BAC ABC
=∠∠，
即
50sin30sin45AC
︒︒
=
，所以AC =，
所以,A C
两点间的距离为m.【小问2详解】在DCA △中，因为90,
tan AD
DAC AC
∠α==
，
所以tan75AD AC == ，又因为(
)
tan75tan 4530
=+
3
1tan45tan30321tan45tan303
3
+
+==+-
所以
2AD =+=141.4122.45263.85264≈+=≈，
答：楼高约为264m .
18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；
（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB
，求实数k 的值.【答案】（1）1k =±
或k =（2）0k =【解析】
【分析】（1）联立方程组，消元后得到(
)2
2
1220k x
kx -+-=，分210k -=、210
k -≠两种情况求解即可；
（2）先由题意可得11k -<<，令直线l 与y 轴交于点(0,1)D -
，从而得到
1212111
222
=+=
+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x .【小问1详解】
由2211
x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()
22
1220k x kx -+-=①，当210k -=，即1k =±时，方程①有一解，l 与C 仅有一个交点（与渐近线平行时）.
当()
2
22
10,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩
，
得22,==k k l 与C 也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得k 的取值是1k =±
或k =【小问2详解】
设交点()()1122,,,A x y B x y ，由2211
x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()
221220k x kx -+-=，
首先由()
2
22
10,Δ4810
k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩
，得k <<且1k ≠±，并且1212
22
22
,11--+=
=--k x x x x k k ，又因为l 与C 的左右两支分别交于A ､B 两点，所以120x x <，即
2
2
020,11k k
-<->-，解得11k -<<，
故11k -<<.
因为直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，
所以1212111
222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x ，
故2
2
121212222248,4811--⎛⎫⎛⎫-=∴+-=-= ⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
k x x x x x x k k .解得0k =或6
2
k =±
.因为11k -<<，所以0k =
.
19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.
【答案】（1）当0a =时，函数是偶函数，当0a ≠时，函数是非奇非偶函数；（2）当12
a 时，min 3()4f x a =-；当1122a -<<时，2min ()1f x a =+；当1
2a 时，min 3()4
f x a =+.
【解析】
【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．
【详解】解：（1）当0a =时，函数2()()||1()f x x x f x -=-+-+=此时，()f x 为偶函数
当0a ≠时，()2
1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，()()f a f a ≠-，()()
f a f a ≠--此时()f x 既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x a
时，2213
()1(24
f x x x a x a =-++=-++当1
2
a ，则函数()f x 在(-∞，]a 上单调递减，从而函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为
()21f a a =+．
若12
a >
，则函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为13(24f a =+，且1
(()2f f a
．②当x a
时，函数2213
()1()24
f x x x a x a =+-+=+-+若12
-a ，则函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为13
()24f a -=-；
若1
2
a >-
，则函数()f x 在[a ，)∞+上单调递增，从而函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为()21f a a =+．
综上，当1
2-
a 时，函数()f x 的最小值为34
a -当11
22
a -< 时，函数()f x 的最小值为21
a +当12a >
时，函数()f x 的最小值为3
4
a +．【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．
20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为
1-，以线段
AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．
（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；
（3）设()6,0M ，求2
2
MP MQ +的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）2
142
x y =+；（3）10．【解析】
【分析】（1）设直线l 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与
抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知0OA OB ⋅=
，利用平面向量的数量积的坐标
运算并结合韦达定理求出t 的值，即可证得结论成立；
（2）设线段AB 的中点为(),N x y ，可得出224
2x m y m
⎧=+⎨=⎩，消去m 可得出线段AB 的中点
的轨迹方程；
（3）利用平面向量的数量积推导出(
)
22
22
24MP MQ
MO PQ '+=+，结合两点间的距
离公式以及二次函数的基本性质可求得2
2
MP MQ +的最小值.
【详解】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
由24y x x my t
⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()(
)2
2
141606t m t m
∆++==>，所以1
2
4y y
m +=，124y y t =-，
所以()2
1212242x x m y y t m t +=++=+，22212
1216
y y x x t ⋅==，
因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以0OA OB ⋅=
，
所以2
121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，过定点()4,0；
（2）2
1248x x m +=+ ，直线l 中点为圆心()
224,2O m m +'，
设线段AB 的中点为(),N x y ，可得224
2x m y m
⎧=+⎨=⎩，消去m 得228y x =-，
因此，线段AB 的中点的轨迹方程为2
142
x y =
+；（3）如下图所示，易知圆心O '为线段PQ 的中点，
()()
111222
MO MP PO MP PQ MP MQ MP MQ MP ''=+=+=+-=+ ，
所以，2MO MP MQ '=+ ，
所以，()(
)222222422MO PQ MQ MP MQ MP MQ MP '+=++-=+ ，即(
)(222222244MP MQ
MO PQ MO ''+=+=+()()2
222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当22
m =±时，22MP MQ +的最小值为10．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22
:143
x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123
111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；
（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =
.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证；
（2）点的坐标代入椭圆方程，化简得1212346x x y y +=-，再由椭圆的参数方程化简可得cos()αβ-，再由重心可得3ABC AOB S S = 求证即可；
（3）根据直线CD 、EG 的方程及点在椭圆上可得曲线系
()()2211221043
x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，可由方程根的关系得证.【小问1详解】
设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，
因为,A B 在椭圆上，所以222211221,14343
x y x y +=+=，两式相减得：121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-，则31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM ､､的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，即123
111k k k ++为定值.【小问2详解】
设()()()
112233,,,,,A x y B x y C x y 因为ABC 的重心为O ，故1231230
x x x y y y ++=++=又A B C ､､都在椭圆22
143
x y +=上，故()()22
2222121211221,1,1434343x x y y x y x y +++=+=+=化简得1212346x x y y +=-，
设11222cos ,,2cos ,x y x y ααββ====，
代入上式可得：2cos cos 2sin sin 1αβαβ+=-，
即()1cos 2
αβ-=-，
()
122139322
ABC AOB S S x y x y αβ==-=-=△△，即ABC 的面积为定值
92.【小问3详解】
设直线CD 方程为：()11y k x =-，直线EG 的方程为：()21y k x =-，直线CD 与直线EG 上所有点对应的曲线方程为：()()11220y k x k y k x k -+-+=，又C D E G ､､､都在椭圆上，则同时过C D E G ､､､的二次曲线系可设为：()()2211221043
x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，得213034y λ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，易知该方程的两根分别为,M N y y ，由韦达定理可知，0M N y y +=，则FM FN =.
【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得1212346x x y y +=-，利用椭圆的参数方程，结合重心的性质找出3ABC AOB S S = ，并且能应用三角函数求出AOB S 的大小，是研究三角形面积为定值的关键，本题困难，不易解答.。