2019届高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系夯基提能作业本

第四节直线与
圆、圆与圆的位置关系
A组基础题组
1.直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,则a的值为( )
A.3
B.2
C.3或-5
D.-3或5
2.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为( )
A.-1或
B.1或3
C.-2或6
D.0或4
3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( )
A.2x+y-5=0
B.2x+y-7=0
C.x-2y-5=0
D.x-2y-7=0
4.直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为( )
A.x+y-3=0
B.x+y-1=0
C.x-y+5=0
D.x-y-5=0
5.(2017湖南四地联考)若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
6.已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为.
7.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为.
8.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程.
9.(2018云南昆明调研)已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C.
(1)求点C的轨迹C2的方程;
(2)若过点A(1,0)的直线l1与C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.
B组提升题组
1.已知直线3x+4y-15=0与圆O:x2+y2=25交于A,B两点,点C在圆O上,且S△ABC=8,则满足条件的点C的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.过直线kx+y+3=0上一点P作圆C:x2+y2-2y=0的切线,切点为Q.若|PQ|=,则实数k的取值范围
是 .
3.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
4.(2017课标全国Ⅲ理,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
答案精解精析
A组基础题组
1.C 解法一:联立消去y可得,2x2-(2a-2)x+a2-7=0,则由题意可得
Δ=[-(2a-2)]2-4×2×(a2-7)=0,整理可得a2+2a-15=0,解得a=3或-5.
解法二:(x-a)2+(y-3)2=8的圆心为(a,3),半径为2,由直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相切,知圆心到
直线的距离等于半径,即=2,即|a+1|=4,解得a=3或-5.
2.D 因为圆(x-a)2+y2=4,
所以圆心为(a,0),半径为2,
圆心到直线的距离d=,
因为d2+=r2,
解得a=4或0.故选D.
3.B ∵过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,
∴点(3,1)在圆(x-1)2+y2=r2上,
∵圆心与切点连线的斜率k==,
∴切线的斜率为-2,
则圆的切线方程为y-1=-2(x-3),
即2x+y-7=0.故选B.
4.C 由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,又弦AB的中点为(-2,3),所以直线l的方程为
y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圆的圆心坐标为(-1,2),所以圆心到直线的距离为,
所以=,解得k=1,所以直线l的方程为x-y+5=0.
5.C 圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为(-1,2),半径为.因为圆C关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即b=a-3,∴点(a,b)到圆心的距离
d====.所以当a=2
时,d取最小值=3,此时切线长最小,为==4,所以选C.
6.答案
解析由圆C
1与圆C2外切,可得=2+1=3,
即(a+b)2=a2+2ab+b2=9,
根据基本不等式可知9=a2+2ab+b2≥2ab+2ab=4ab,
即ab≤,当且仅当a=b时,等号成立.
7.答案±1
解析由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离为,所以=,解得a=±1.
8.解析(1)将圆C:x2+y2+4x-2y+m=0化为(x+2)2+(y-1)2=5-m,
∵圆C:x2+y2+4x-2y+m=0与直线x-y+-2=0相切,
∴圆心(-2,1)到直线x-y+-2=0的距离d==2=r,
∴圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=4.
(2)若圆C上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,则可设直线MN的方程为2x-y+c=0,
∵|MN|=2,半径r=2,
∴圆心(-2,1)到直线MN的距离为=1,
即=1,∴c=5±,
∴直线MN的方程为2x-y+5±=0.
9.解析(1)圆C 1的圆心为C1(1,4),半径为5.
设C(x,y),则=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由题设知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)证明:直线l1与圆C2相交于两点,斜率必定存在,且不为0,可设直线l1的方程为kx-y-k=0.
由得N,
又直线C2M与l1垂直,
由得
M.
|AM|·|AN|=|·|=··=6,
即|AM|·|AN|为定值6.
B组提升题组
1. C 圆心O到已知直线的距离为d==3,
因此|AB|=2=8,
设点C到直线AB的距离为h,则S△ABC=×8×h=8,所以h=2,由于d+h=3+2=5=r(圆的半径),
因此与直线AB距离为2的两条直线中一条与圆相切,一条与圆相交,
故符合条件的点C有三个.
2.答案(-∞,-]∪[,+∞)
解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径为r=1.根据题意,PQ是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,Q是切
点,|PQ|=,则|PC|=2.当PC与直线kx+y+3=0垂直时,圆心到直线的距离最大.由点到直线的距离公式得
≤2,解得k∈(-∞,-]∪[,+∞).
3.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为
4.
设M(x,y),则=(x,y-4),
=(2-x,2-y).
由题设知·=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,
为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.
又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.
4.解析(1)证明:设A(x 1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),
圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为
(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为
+=.。