版高二数学人教B版选修21323直线与平面的夹角
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[分析] 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平 面AFEG的法向量和AH的方向向量，再求两向量夹角余弦 的绝对值即可．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,1)， A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，
A→F＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1)
小角定理．
(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0， ∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反 之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝ 90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定 理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特 例．
[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正 方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所 成的角．
[解析]
∵PADB⊂⊥平平面面AABBCCDD⇒
PD⊥AB DA⊥AB PD∩DA＝D
⇒AABB⊥ ⊂平 平面 面PPADBA⇒平面 PAD⊥平面 PAB. 取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD， ∵PD＝DC＝DA，
2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所示，OA为平面α的斜 线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A 点的任
一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则 cosθ＝cosθ1·cosθ2. (1) 由 0<cosθ2<1 ， ∴ cosθ<cosθ1 ， 从 而 θ1<θ ， 这 就 是 最
(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与 射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的 角．
若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．
3．有时 B 在平面 α 内的射影 O 的位置不好确定，也 可用向量法求，如图所示，可求平面 α 的法向量 n，则 n 与A→B所夹的锐角 θ1 的余角 θ 就是 AB 与平面 α 所成的角．
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面A1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB. 所以，PA∥平面EDB. (2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF. 设正方形ABCD的边长为a， ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.
1．知识与技能 掌握直线和平面所成的角． 能够求直线和平面所成的角． 2．过程与方法 通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能 力． 3．情感态度与价值观 培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可 以相互转化．
重点：直线和平面所成的角． 难点：求直线和平面所成的角．
1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与 平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平 面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平 面所成的角为 90°；③直线和平面平行或直线在平面内时， 直线和平面所成的角为 0°.由此可知，直线和平面所成的 角的范围为[0，π2]．
4．求法步骤： (1)求平面法向量 n； (2)在平面 α 内任取一点 A，求，A→B； (3)线面角 α，满足 sinα＝|nn|··A|→A→BB|.
1．如图：
cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．
∴DE⊥PA
DE⊂平面PAD 平面PAD⊥平面PAB
⇒DE⊥平面 PAB.
平面PAD∩平面PAB＝PA
设 PD＝a，则 BD＝ 2a，DE＝ 22a， 2
∴sin∠DBE＝ 22aa＝12. ∴∠DBE＝30°，即 BD 与平面 PAB 所成的角为 30°.
[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜 线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线 在平面内的射影．
∴EF∥PD，F为DC的中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．
BF＝ BC2＋CF2＝ ∵EF＝12PD＝a2，
a2＋a22＝
5 2 a.
∴在
Rt△EFB
中，tan∠EBF＝
5 5.
[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4， 点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且 CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12BC.求 AH 与平面 AFEG 的夹角．
则 sinθ＝|cos〈A→H，n〉|＝
6 18·
＝ 20
10 10 .
∴AH
与平面
AEFG
的夹角为
arcsin
10 10 .
[说明]
解答本题易出现由
sinθ ＝
10 10
得
θ＝
arcsin 1100或 θ＝π－arcsin 1100的错误，导致此种错误的原
A→G＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)，
A→H＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则
4x＋z＝0 －4y＋z＝0
，
令x＝1，则z＝－4，y＝－1. 即n＝(1，－1，－4)， 即AH与平面AFEG的夹角为θ，
3．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的 夹角为________． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直 线与平面的夹角为________． (3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成 的角(或斜线和平面的夹角)．
[答案] 1.cosθ1·cosθ2 2．它在平面内的射影 3．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,0,1)， A(0,4,0)，F(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，
A→F＝(4,4,1)－(0,4,0)＝(4,0,1)
小角定理．
(2)在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1·cos90°＝0， ∴θ＝90°，即当AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反 之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝ 90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆定 理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特 例．
[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正 方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD与平面PAB所 成的角．
[解析]
∵PADB⊂⊥平平面面AABBCCDD⇒
PD⊥AB DA⊥AB PD∩DA＝D
⇒AABB⊥ ⊂平 平面 面PPADBA⇒平面 PAD⊥平面 PAB. 取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD， ∵PD＝DC＝DA，
2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如图所示，OA为平面α的斜 线，AB是OA的平面α内的射影，AC为平面α内过A 点的任
一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，则 cosθ＝cosθ1·cosθ2. (1) 由 0<cosθ2<1 ， ∴ cosθ<cosθ1 ， 从 而 θ1<θ ， 这 就 是 最
(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与 射影，射影与平面内的直线，斜线与平面内的直线所成的 角．
若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．
3．有时 B 在平面 α 内的射影 O 的位置不好确定，也 可用向量法求，如图所示，可求平面 α 的法向量 n，则 n 与A→B所夹的锐角 θ1 的余角 θ 就是 AB 与平面 α 所成的角．
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．
(1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面A1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB. 所以，PA∥平面EDB. (2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF. 设正方形ABCD的边长为a， ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.
1．知识与技能 掌握直线和平面所成的角． 能够求直线和平面所成的角． 2．过程与方法 通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能 力． 3．情感态度与价值观 培养学生辩证的看待事物，体会事物在一定条件下可 以相互转化．
重点：直线和平面所成的角． 难点：求直线和平面所成的角．
1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与 平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平 面上的射影所成的锐角；②直线和平面垂直时，直线和平 面所成的角为 90°；③直线和平面平行或直线在平面内时， 直线和平面所成的角为 0°.由此可知，直线和平面所成的 角的范围为[0，π2]．
4．求法步骤： (1)求平面法向量 n； (2)在平面 α 内任取一点 A，求，A→B； (3)线面角 α，满足 sinα＝|nn|··A|→A→BB|.
1．如图：
cosθ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有 直线所成角中的最小角．
∴DE⊥PA
DE⊂平面PAD 平面PAD⊥平面PAB
⇒DE⊥平面 PAB.
平面PAD∩平面PAB＝PA
设 PD＝a，则 BD＝ 2a，DE＝ 22a， 2
∴sin∠DBE＝ 22aa＝12. ∴∠DBE＝30°，即 BD 与平面 PAB 所成的角为 30°.
[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜 线与其平面内射影的夹角．此种方法的关键在于确定斜线 在平面内的射影．
∴EF∥PD，F为DC的中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．
BF＝ BC2＋CF2＝ ∵EF＝12PD＝a2，
a2＋a22＝
5 2 a.
∴在
Rt△EFB
中，tan∠EBF＝
5 5.
[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4， 点 E、F、G、H 分别在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且 CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12BC.求 AH 与平面 AFEG 的夹角．
则 sinθ＝|cos〈A→H，n〉|＝
6 18·
＝ 20
10 10 .
∴AH
与平面
AEFG
的夹角为
arcsin
10 10 .
[说明]
解答本题易出现由
sinθ ＝
10 10
得
θ＝
arcsin 1100或 θ＝π－arcsin 1100的错误，导致此种错误的原
A→G＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)，
A→H＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则
4x＋z＝0 －4y＋z＝0
，
令x＝1，则z＝－4，y＝－1. 即n＝(1，－1，－4)， 即AH与平面AFEG的夹角为θ，
3．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的 夹角为________． (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直 线与平面的夹角为________． (3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成 的角(或斜线和平面的夹角)．
[答案] 1.cosθ1·cosθ2 2．它在平面内的射影 3．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角