近年届高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时训练27平面向量的数量积文(2021年整理)

2019届高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时跟踪训练27 平面向量的数量积文
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课时跟踪训练(二十七）平面向量的数量积
[基础巩固]
一、选择题
1．对于任意向量a,b，c，下列命题中正确的是（）
A．|a·b｜＝｜a|｜b｜B．|a＋b｜＝|a|＋|b｜
C．（a·b）c＝a(b·c) D．a·a＝｜a｜2
［解析］∵a·b＝｜a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b｜≤｜a||b|，∴A错误；根据向量加法的平行四边形法则,|a＋b｜≤|a｜＋｜b｜,只有当a，b同向时取“＝”，∴B错误；∵(a·b）c是与c共线的向量，a（b·c）是与a 共线的向量，∴C错误；∵a·a＝|a｜|a|cos0＝｜a|2，∴D正确．故选D。

［答案］D
2．(2018·辽宁协作体期末）四边形ABCD中，错误!＝错误!且｜错误!－错误! |＝|错误!＋错误!|，则四边形ABCD为（)
A．平行四边形B．菱形
C．矩形D．正方形
[解析］因为四边形ABCD中，错误!＝错误!，所以四边形ABCD是平行四边形．因为｜错误!－错误!｜＝｜错误!＋错误!｜，所以|错误!|＝|错误!|，即对角线相等，所以平行四边形ABCD是矩形．故选C.
[答案］C
3．在边长为1的等边△ABC中,设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则a·b ＋b·c＋c·a＝( ）
A．－错误!B．0
C。

错误!D．3
[解析］依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝错误!＋错误!＋错误!＝－错误!。

[答案］A
4．(2018·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a，b满足a⊥b，｜a|＝2,｜b｜＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为（)
A。

错误!B．－错误!
C．±3
2
D．1
[解析］因为a⊥b，所以a·b＝0。

又（3a＋2b)⊥（λa－b),
所以(3a＋2b）·（λa－b）＝3λa2－3a·b＋2λa·b－2b2＝12λ－18＝0,解得λ＝错误!.
[答案］A
5．若向量a，b满足：｜a｜＝1,(a＋b）⊥a，（2a＋b）⊥b,则|b｜＝( ）A．2 B。

2
C．1 D。

错误!
［解析]因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，
又因为｜a|＝1,所以a·b＝－1.又因为(2a＋b)⊥b，
所以(2a＋b）·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，所以|b|2＝2，所以|b|＝错误!.
[答案］B
6．（2015·安徽卷）△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a，b满足错误!＝2a，错误!＝2a＋b，则下列结论正确的是( ）
A．｜b|＝1 B．a⊥b
C．a·b＝1 D．（4a＋b)⊥错误!
［解析]∵错误!＝2a，错误!＝2a＋b，∴a＝错误!错误!,b＝错误!－错误!＝错误!，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴｜b|＝2，a·b＝错误!错误!·错误!＝－1,故a，b不垂直，4a＋b＝2错误!＋错误!＝错误!＋错误!，故（4a＋b）·错误!＝（错误!＋错误!)·错误!＝－2＋2＝0,∴（4a＋b)⊥错误!,故选D.
[答案]D
二、填空题
7．已知向量a，b满足(a＋2b）·（a－b)＝－6，且｜a｜＝1，｜b｜＝2,则a与b的夹角为________．
[解析](a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋a·b－2×22＝－6,∴a·b＝1，所以cos<a,b>＝错误!＝错误!，又∵<a，b〉∈［0，π],∴<a，b〉
＝错误!。

[答案]错误!
8. （2018·沧州百校联盟期中）如图，△ABC中，AC＝3,BC＝4,∠C＝
90°，D是BC的中点，则BA，→
·错误!的值为________．
［解析]如图，建立直角坐标系，则C（0,0）,A(3，0），B(0，4)，D(0，2）．
则错误!＝(3，－4），错误!＝（－3,2）．
∴错误!·错误!＝3×(－3）－4×2＝－17.
［答案]－17
9．已知平面向量a＝(1，1)，b＝(－2,2)，c＝k a＋b（k∈R),且c与a 的夹角为错误!，则k＝________.
[解析]由题意得c＝（k－2，k＋2)，因为cos〈c，a〉＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，解得k＝2。

[答案］2
三、解答题
10．(2017·合肥模拟）已知向量a＝（1，2），b＝（2,－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c）a；
（2）若a＋λb与a垂直，求λ的值；
（3）求向量a在b方向上的投影．
［解]（1)∵a＝（1，2），b＝（2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2）＝(6,6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0,
∴(b·c）a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1,2)＋λ（2，－2）＝（2λ＋1,2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ）＝0，∴λ＝错误!。

∴λ的值为错误!。

(3）设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为｜a|cosθ.
∴|a|cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!＝－错误!。

［能力提升]
11．若|a＋b|＝｜a－b｜＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( ）A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
［解析］由|a＋b｜2＝|a－b｜2，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，得a·b＝0。

又｜a－b|2＝4a2，得a2－2a·b＋b2＝4a2，得b2＝3a2。

由（a－b)·b＝－b2，设a－b与b的夹角为θ,则cosθ＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!.因为θ∈[0,π］，所以θ＝错误!，故选C.
［答案]C
12．(2017·山西大学附中期末)已知a，b是平面内互不相等的两个非零向量，且｜a｜＝1,a－b与b的夹角为150°，则｜b|的取值范围是（) A．（0,3] B．（0，1]
C．(0,2］D．(0，2错误!]
[解析]如图所示，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝错误!－错误!＝a－b.
由｜a｜＝1，a－b与b的夹角为150°,可得△OAB中,OA＝1，∠OBA＝30°.
由正弦定理可得△OAB的外接圆的半径r＝1,则点B为圆上的动点．
由图可设b＝错误!＝(1＋cosθ，sinθ),
则|b|＝错误!＝错误!.∴|b｜∈(0，2］．故选C。

[答案］C
13．(2018·河北保定模拟）若a＝(2＋λ,1)，b＝(3，λ），〈a，b〉为钝角，则实数λ的取值范围是________．
［解析]∵a＝(2＋λ,1），b＝(3，λ），
由a·b＝3（2＋λ)＋λ<0，得λ<－错误!.
若a，b共线,则λ（2＋λ）－3＝0，解得λ＝－3或λ＝1.
即当λ＝－3时,a,b共线反向．
∴若〈a，b>为钝角，则λ<－错误!且λ≠－3。

[答案]（－∞,－3)∪错误!
14．(2016·浙江卷）已知向量a,b,｜a｜＝1,｜b|＝2。

若对任意单位向量e，均有｜a·e|＋｜b·e｜≤6，则a·b的最大值是________．［解析]不妨令a·e≥0,b·e≥0，对任意的单位向量e，均有｜a·e｜＋|b·e｜≤错误!，即a·e＋b·e≤错误!，即(a＋b）·e≤错误!成立．∵a ＋b与e同向时等号成立，∴｜a＋b｜≤6。

∴|a｜2＋|b｜2＋2a·b≤6。

∵|a｜＝1,｜b|＝2，∴a·b≤错误!，故a·b的最大值为错误!.
［答案] 12 15．已知|a ｜＝4，｜b ｜＝3，（2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
（1）求a 与b 的夹角θ；
（2）求｜a ＋b ｜；
（3)若错误!＝a ，错误!＝b ,求△ABC 的面积．
[解] （1)∵(2a －3b ）·(2a ＋b ）＝61，
∴4|a ｜2－4a ·b －3|b |2＝61。

又｜a ｜＝4，|b ｜＝3，∴64－4a ·b －27＝61,
∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!.
又0≤θ≤π，∴θ＝
2π3。

（2）|a ＋b ｜2＝（a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2
＝42＋2×（－6）＋32＝13，∴｜a ＋b |＝13.
（3）∵错误!与错误!的夹角θ＝错误!，∴∠ABC ＝π－错误!＝错误!. 又|错误!|＝|a |＝4，｜错误!｜＝｜b ｜＝3，
∴S △ABC ＝错误!|错误!｜|错误!|sin ∠ABC ＝错误!×4×3×错误!＝3错误!.
16.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点,错误!＝x ·错误!＋y ·错误!。

(1）若错误!＝错误!，求x ，y 的值；
（2）若错误!＝3错误!，|错误!｜＝4,｜错误!｜＝2,且错误!与错误!的夹角为60°时，求错误!·错误!的值．
[解] (1）∵BP ，→
＝错误!,∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!，
即2错误!＝错误!＋错误!,∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，即x ＝错误!，
(2）∵错误!＝3错误!，∴错误!＋错误!＝3错误!＋3错误!，
即4错误!＝错误!＋3错误!,∴错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,∴x＝错误!,y ＝错误!。

错误!·错误!＝错误!·（错误!－错误!）
＝1
4错误!
·错误!－错误!错误!·错误!＋错误!错误!·错误!
＝1
4
×22－错误!×42＋错误!×4×2×错误!＝－9.
[延伸拓展］
1．(2017·湖北黄冈二模）已知平面向量a,b，c满足|a|＝｜b｜＝1，a ⊥（a－2b），(c－2a)·（c－b）＝0,则|c|的最大值与最小值的和为( ）A．0 B。

错误!
C.错误!
D.错误!
［解析]∵a⊥（a－2b），∴a·（a－2b）＝0，即a2＝2a·b，又｜a|＝|b｜＝1,∴a·b＝错误!,a与b的夹角为60°。

设错误!＝a，错误!＝b,以O 点为坐标原点，错误!的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝错误!，b＝(1,0）．
设c＝(x，y），则c－2a＝(x－1，y－错误!)，c－b＝(x－1，y)．
又∵（c－2a）·（c－b）＝0，∴(x－1）2＋y（y－3）＝0.即（x－1）2＋错误!2＝错误!,∴点C的轨迹是以点M错误!为圆心，错误!为半径的圆．又｜c|＝x2＋y2表示圆M上的点与原点O（0,0)之间的距离，所以｜c｜
max
＝|OM|＋错误!,｜c|min＝|OM｜－错误!，∴｜c｜max＋|c｜min＝2|OM｜＝2错误!＝错误!,故选D。

2．已知向量a，b满足|a|＝2，｜b｜＝1，且对一切实数x，|a＋x b｜≥｜a＋b｜恒成立，则a,b的夹角的大小为__________．
［解析]｜a＋x b｜≥｜a＋b|恒成立⇒a2＋2x a·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·b x－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－4（－1－2a·b)≤0⇒（a·b＋1)2≤0，∴a·b＝－1,∴cos<a,b〉＝错误!＝－错误!,又〈a，b>∈［0，π］,故a与b的夹角的大小为错误!.
[答案]错误!π。