高二数学上学期期中试题 文 新人教版 新版

2019学年度上学期期中阶段测试
高二文科(数学)试卷
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第I 卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1. 椭圆22
149
x y +=的焦距是( )
A. B.4 C.6
D.2. 在等差数列{}n a 中，已知212a =，20n a =-，公差2d =-，则n =( )
A.16
B.17
C.18
D.19
3. 直线230x y --=与椭圆2
2
23x y +=的公共点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.4 4. 若
11
0b a
<<，则下列不等式不成立．．．
的是( ) A.
11
a b a
>- B.a b < C.a b > D.22a b > 5. 已知变量x y 、满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则x y +的最大值是( )
A.2
B.5
C.6
D.8
6. 已知21F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1
F 的直线交椭圆于A B 、两点，若1222=+B F A F ，则AB =( )
A.6
B.7
C.5
D.8
7. 已知命题1p 是命题“已知A B 、为一个三角形的两内角,若sin sin A B =，则A B =”的
否命题
命题2p ：公比大于1的等比数列是递增数列。

则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：12()p p ⌝∨和4q ：12()p p ∧⌝中，真命题是( )
A.1q ，3q
B.2q ，3q
C.1q ，4q
D.2q ，4q
8. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
10201021S S =+，则数列{}n a 的公比为( )
A.4
B.2
C.1
D.
1
2
9. 如图，12F F 、分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2
POF ∆是面积为3的正三角形，则2b 的值为( )
6 B.23 C.12 D.1
10. 已知数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2020a 的值为( )
A.
37 B.47 C.57 D.67
11. 设条件p ：实数,m n 满足2403m n mn <+<⎧⎨
<<⎩条件q ：实数,m n 满足01
23
m n <<⎧⎨<<⎩，则p 是q 的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件又不是必要条件
12. 若存在[]1,2x ∈，使不等式
41
4x a x
+≥成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛716,
0 B.⎥⎦
⎤ ⎝⎛34,0 C.()16,0,7⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D.164,73⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡相应位置).
13. 《张邱建算经》记载一题：今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月，日织九匹三丈.
问日益几何？题的大意是说，有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织了5尺，一个月(30天)后共织布390尺，则该女子织布每天增加了 尺.
14. 如果关于x
3
2
ax >+
的解集是非空集合{}4x x m <<，则m = . 15. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数．．，且1321
,,22
a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ . 16. 已知椭圆22221(0)x y a
b a b
+=>>的左右焦点为12F F 、，过2F 的直线与圆222x y b +=相
切于点A ，并与椭圆C 交于两点P Q 、，若12PF PF ⊥，则椭圆的离心率为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分10分)用一根长7.2米的木料，做成“日”字形的窗户框，窗户的宽与高各
为多少时，窗户的面积最大？并求出这个最大值。

(不考虑木料加工时的损耗和中间木料的所占面积)
18. (本小题满分12分)已知椭圆2
2
24x y +=，
(Ⅰ)求出椭圆上的动点P 到点(0,2)Q 的距离的最大值；
(Ⅱ)若点A 是椭圆的左顶点，B C 、在椭圆上，ABC ∆是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，求斜边BC 的长。

19. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满足13,2,3,4,n n a a n n -=+=⋅⋅⋅.
(Ⅰ)若123,,a a a 成等差数列，求1a 的值；
(Ⅱ)是否存在1a ，使数列{}n a 为等比数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由.
20. (本小题满分12分)已知关于x 的不等式2
(4)(4)0kx k x --->，其中k ∈R .
(Ⅰ)当k 变化时，试求不等式的解集A ；
(Ⅱ)对于不等式的解集A ，若满足A B Z =I (其中Z 为整数集)，试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的值，并用列举法表示集合B ，若不能，请说明理由.
21. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的,p q *
∈N ，有p q p q a a a +=+.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)数列{}n b 满足()()1
312423412121212121
n n n n
b b b b b a n -*=-+-+⋅⋅⋅+-∈+++++N ，求数列{}n b 的通项公式.
22. (本小题满分12分)已知椭圆22
162
x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于
M .
(Ⅰ)求证：MF FQ ⊥；(Ⅱ)求
PQ
MF
的最大值.
2019学年度上学期期中阶段测试 高二文科(数学)试卷参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C 8. B 9.B 10. D 11. B 12. A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13.
29
16
14.36 15.223+ 16.35
17．解：由题意 设窗户的宽为x 米，则窗户的高为)2
32.7(x
-米 ………………2分 窗户的面积)232.7(
x x S -⋅=()x x -⋅=4.22
3
()2
22.123)24.2(23⋅=-+⋅≤x x 25
54=
(或16.2=) ………………8分 当且仅当x x -=4.2时，即2.1=x 时，取“=”
答：当窗户宽1.2米，高1.8米时，面积最大，最大值为2.16平方米 ……………10分 18. 解：(1)由题意 设()y x P ,
()()84224222
22
2+--=-+-=-+=y y y y y x PQ ………………2分
()()
221222
≤≤-++-=y y
当2-=y 时，PQ 取最大值
22246max +=+=PQ ………………6分
(2)由题意 等腰直角三角形
设点()m m B ,2- ………………8分
代入方程2224x y +=得 ()4222
2
=+-m m
0432=-m m ，则0=m 或3
4
=
m 斜边BC 长为
3
8
………………12分 19.解：由题意 13,2,3,4,n n a a n n -=+=⋅⋅⋅，
2312+=a a ，9933123+=+=a a a ， ………………2分
若123,,a a a 成等差数列，则2312a a a =+，即()23299111+=++a a a 解得4
5
1-
=a ………………6分 (2)若数列{}n a 为等比数列
则123,,a a a 必成等比数列，则2
231a a a =⋅，即()2
11123)99(+=+a a a
解得341-
=a ，此时,22-=a 33-=a ，公比2
3
=q ………………10分 又54334-=+=a a ，
2
3
3534≠=a a 所以， 不存在1a ，使数列{}n a 为等比数列。

………………12分 20.解：(1)当0k =时，(),4A =-∞；
当0k ＞且2k ≠时，()4,4,A k k ⎛⎫=-∞+
+∞ ⎪⎝⎭
U ； 当2k =时，()(),44,A =-∞+∞U ；(不单独分析2k =时的情况不扣分) 当0k ＜时，4,4A k k ⎛
⎫
=+
⎪⎝⎭
. ………………8分 (2)由(1)知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；
当0k ＜时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集. 因为4
4k k
+
-≤，当且仅当2k =-时取等号， 所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少.
此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---. ………………12分
21.(1)取p n =，1q =，则112n n n a a a a +=+=+.
所以()
*12n n a a n +-=∈N ，即{}n a 是公差为2，首项为2的等差数列.所以2n a n =. 检验对任意p q 、成立 ………………6分
(2)因为
()
1
3124123412121212121
n n n b b b b b --+-++-+++++L ()1n a n =≥① 所以
()()2121121
12212121
n n n n b b b a n ----++-=+++L ≥.② ①—②得：
()
()1
12221
n n n
b n --=+≥，所以()()
()11
1222n n n b n -+=-+≥. 当1n =时，113
b
a =，所以1
b b =，满足上式.
所以()
()()1
1
*12
2n n n b n -+=-+∈N . ………………12分
22.(1)联立()22
1,62
2,x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
可得()222231121260k x k x k +-+-=. 设P 点的坐标为()
,p p x y ，Q 点的坐标为()
,q q x y ，则
221231p q k x x k +=+，22126
31
p q k x x k -=+.
于是有()
2
4431
p q p q k
y y k x x k k -+=+-=
+. 因为PQ 的中点为N ，所以22
262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
.因此ON 的斜率为1
3ON k k =-. 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以13,M k ⎛
⎫-
⎪⎝⎭.故MF 的斜率为13MF k k
=-， 即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直，2
MFQ π
∠=
. ………………6分 (2)设()()2
2
2
2
2
11p q p q x x k x x PQ I MF k
-+-⎛⎫
== ⎪⎝⎭+ ()()22
224p q p q p q k x x k x x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦
()()422
2
2222221442112424313131k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=⎢⎥+++⎣⎦
. 令231u k =+，则
()()2
2
21216111161198
33223416u u I u u u u ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. 由于2311u k =+＞，故101u
≤＜.
因此I 3=m ax (当4u =时取到最大值，也即1k =±).
综上所述，PQ
MF
………………12分。