高等数学教学中反例的作用

ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｉｎ ｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇ ａ ｎｄ ｒａｉｓｅ ｔｈｅｉｒ ｍａｔｈｅｍａｔ ｉｃ ｔｈｏｕｇ ｈｔ ａｂｉｌｉｔｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｃｏｕｎｔｅｒ—ｅｘａｍｐｌｅｓ
在数学 中，要确立一个命 题为真 ，必 须在 已有 的 知识 之上 ，经过一 系列 的逻辑推理 予 以证 明 ，而要说 明一个命题之为不真 ，却只要举出一个“反例”即可。 正 如美 国学者 Ｂ．Ｒ．盖尔鲍 姆等人所指 出的“一个数 学问题用一个反例予以解决 ，给人 的刺激犹如一出 好 的戏剧 ”。这个 比喻 ，形 象 地 说 明 了“反 例 ”在 数 学教学 中起 着重 要 的作 用 。如 能根据 需 要 ，恰 到好 处地运用 “反例 ”，在解 答 学生 疑难 、启迪 学 生思 维 、 激发学生的学 习积极性、提高学生的分析问题 与解 决 问题 的能力 上 ，起 着重要 的作 用 。
例如 ，在讲导数定义时 ，列举了这样 一个反例：
＋÷）一厂（ ）
ｆ ｍ—— ——一 ＝Ａ，但 函数ｆ（ｘ）可能在任何
一 点都没有导数。可设 ）＝ 蠢 ，对
于 Ｖ戈，因为 ＋ 与 同为有 理数 或 同为 无理 数 ，
故恒有：厂（ ＋音）一，（ ）＝０，所以
＋÷）一 ）
— — ‘ ．——一 ＝０，但是 ）在（一∞，＋∞）内
Ｔｈｅ Ｆｕｎｃｔ ｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｕｎｔｅｒ——ｅｘａｍ ｐｌｅｓ ｉｎ Ｈｉｇｈｅｒ Ｍ ａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
ＬＩＡＯ Ｚｈｏｎｇ——ｃｈｕｎ
（Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｃｏபைடு நூலகம்ｌｅｇｅ ｏｆＣｉｖｉｌ Ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｏｎ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｈｕｎａｎ ４１０００４）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｃｏｕｎｔｅｒ——ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｌｙ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔ ｉｃｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｃａｎ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｍａｋｅ ｔ ｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ａ ｎ ｄ ｇｒａｓｐ ｔ ｈｅ ｄｅｆ ｉｎｉｔ ｉｏｎ，ｂｕｔ ａｌｓｏ ｃｏｒｒｅｃｔ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｅｌＴｏｒｓ，ｓｔ ｉｍｕｌａｔｅ ｔ ｈｅｉｒ
处处间断 ，从 而在任意一点 ）都没有导数。本 例说 明：求 函数在一点 的导数时，自变量的增量必 须是趋向于零的任意量 ，它不能只按某些特定的方 式 趋 向于零 ，从 而 加 深 了学 生 对 定义 本 质 的认 识 ，
收稿 １３期 ：２Ｏ０６—０３—２４ 作 者简介 ：廖仲春 （１９６５一）．女 ．湖南岳阳人 ．副教授 ．研究方 向：高等数学课程与教学论研究 。
第 ２ＯＯ６６卷年第６２ 月 期
． 长沙航空职业技 术学 院学报
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Ｖ０１．６ ＮＯ．２
Ｊｕｎ．２ｏｏ６
高 等 数 学 教 学 中反 例 的作 用
一 、准确 理解 定义 数学 概 念 来 自直 观 的 几 何 模 型 与 物 理 模 型 。 但是 ，数学概念经过抽象而形成的严格 的定义却 又 高于实际而更深刻地反映事物内在的规律 ，因而难 于 接受 。教学 中在 引入 一个 新概 念 时 ，通 常要举 几 个符 合定 义条 件 的 实 例把 概 念 具 体 化 。如 果 再 少 量列 举几 个反 例 ，从 反 面来 说 明定 义 所 述 的 本 质 ， 就会 更利 于学 生加 深对 概念 的理解 和 掌握 。
Ⅳ （可 取 Ｎ ＝ １） 对 任 给 的 Ｉ＂ｔ ＞ Ｎ 有
ｊ 一０
列ｆＬ ｌ是发散的。
数列极 限的 “ —Ｎ”定 义 ：“Ｖ ＞０，ｊ正整 数 Ⅳ，当 Ｉ＂ｔ＞Ｎ时 ，有 Ｉ ａ 一ⅡＩ＜ 。”理解为“有 限个 ＞０，对 每个 都存在正整数 Ⅳ，当 Ｉ＂ ｔ＞Ｎ时，有 Ｉ口 一ａ Ｉ＜
”是 不正确 的。
事实上 ，构造 数列 ａｎ：Ｌ
， 有 无 限多
个 ： ＋ １ 对 每个 ：下１＋ 都存在正整数
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长 沙航 空职业技 术学院学报
第 ６卷
明确 了定 义 的要求 。
又 如 ：对数 列极 限概念 的理 解 ，除用 “ 一Ｎ”定 义 证 明极 限外 ，还 可 以通 过 一些 反例 强化 对这一 概
念 的正确 理解 。例 如 通 过 构 造 反 例 就 可 以说 明将
，
段 。在 以往 的课程 学 习 中 ，他们 形 成 了“加 不 加 括 号都一样”的固有概念 ，要使他们 理解 该性质 ，必 须说明发散 的级数不能随意加括号。在这里 ，反例 也 是 必不可 少 的 。如取级 数 ： ∞ （一１） ＿ 一＋Ｉ】 ＝一１—１＋１＋１—１—１＋１＋１一……
ｎ ｌ
若 每 四项 括 在 一 起 ，所 得 级 数 收 敛 于 ０；若 自 第 二项起 ，每 四项 括 在 一 起 ，所得 级 数 收敛 于 一１； 若 自第三项起 ，每 四项括在一起 ，所得级数收敛于 一 ２；若 每 二项括 在 一起 ，所 得 级数发 散 。
可见 不 同的加 括 号 方式 所 得 级数 有 不 同 的敛 散性 或 不 同 的 和 。 究 其 原 因 ，是 因 为 ｌｉｍ （一
廖 仲春
（长沙民政职业技 术学院 ，湖 南 长沙 ４１０００４）
摘要 ：在高等数学教学 中 ，恰当地利用反例 ，不仅能使学生准确地 理解定义 、正确掌握定理 ，还能 纠正学生 的 错误认识 。激发学生探讨问题的兴趣 ，培养学生数学思维 能力 。
关键 词：高等数学 ；反例 中 图分 类 号 ：Ｇ６４２．４２１ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７１—９６５４（２００６）０２—０１５—０３