2012届高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-4精品练习

第9章第4节
一、选择题
1．(文)(09·某某)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
[答案] B
[解析] 如图(1)，α∩β＝l，m∥l，l1∥l，满足m∥β且l1∥α，故排除A；
如图(2)，α∩β＝l，m∥n∥l，满足m∥β，n∥β，故排除C.
在图(2)中，m∥n∥l∥l2满足m∥β，n∥l2，故排除D，故选B.
[点评] ∵l1与l2相交，m∥l1，n∥l2，∴m与n相交，由面面平行的判定定理可知α∥β；但当m、n⊂α，l1，l2⊂β，l1与l2相交，α∥β时，如图(3)，得不出m∥l1且n∥l2.
(理)设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β
[答案] C
[解析] 对于A，如图正方体α、β分别为平面ABCD与平面
ADD1A1，a、b分别为直线B1B和C1C.a与b也可能平行，对于B，∵a
⊥α，α∥β，∴a⊥β，又b⊥β，
∴a∥b，对于D，a与b也可能平行，故选C.
2．(2010·某某检测)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
[答案] C
[解析] 依题意得，命题“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”是真命题(由“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”可知)；命题“a∥β，且a⊥c⇒β⊥c”是
假命题(直线c 可能位于平面β内，此时结论不成立)；命题“α∥b ，且α⊥c ⇒b ⊥c ”是真命题(因为α∥b ，因此在平面α内必存在直线b 1∥b ；又α⊥c ，因此c ∥b 1，c ⊥b )．综上所述，其中真命题共有2个，选C.
3．(2010·东北三校模拟)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别为A 1B 1，CD ，B 1C 1的中点，则下列命题正确的是( )
A ．AM 与PC 是异面直线
B ．AM ⊥P
C C ．AM ∥平面BC 1N
D ．四边形AMC 1N 为正方形 [答案] C
[解析] 连接MP ，AC ，A 1C 1，AM ，C 1N ，由题易知MP ∥A 1C 1∥AC ，且MP ＝1
2
AC ，所以AM 与
PC 是相交直线，假设AM ⊥PC ，∵BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥AM ，∴AM ⊥平面BCC 1B 1，又AB ⊥平
面BCC 1B 1矛盾，∴AM 与PC 不垂直．因为AM ∥C 1N ，C 1N ⊂平面BC 1N ，所以AM ∥平面BC 1N .又易得四边形AMC 1N 为菱形而不是正方形，故选C.
4．(文)对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A ．a ⊂α，b ⊂αB ．a ⊂α，b ∥α C ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊂α，b ⊥α [答案] B
[解析] a 、b 异面时，A 错，C 错；若D 正确，则必有a ⊥b ，故排除A 、C 、D ，选B. (理)设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面．下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a 、b 与α所成的角相等，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b [答案] D
[解析] 若直线a 、b 与α成等角，则a 、b 平行、相交或异面；对选项B ，如a ∥α，b ∥β，α∥β，则a 、b 平行、相交或异面；对选项C ，若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α、β平行或相交；对选项D ，由
⎭
⎪⎬⎪⎫a ⊥αβ⊥α⇒a ∥β或a ⊂β，无论哪种情形，由b ⊥β都有b ⊥a .，
故选D.
5．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ②AB 与CM 成60°③EF 与MN 是异面直线④MN ∥CD 其中正确的是( )
A．①②B．③④
C．②③D．①③
[答案] D
[解析] 本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示，AB⊥EF，EF与MN 是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.只有①③正确，故选D.
6．(文)(2010·某某潍坊)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，则n∥α
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
[答案] D
[解析] 对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α、β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，∵m∥n，m⊥α，∴n⊥α，又n⊥β，∴α∥β，故选D.
(理)(2010·曲师大附中)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列四个命题中为真命题的是( )
A．若a∥b，b⊂α，则a∥α
B．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥β
C．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
D．若α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则a∥β
[答案] D
[解析] 选项A中，直线a可能在平面α内；选项B中，直线a可能在平面β内；选
项C中，直线a，b为相交直线时命题才成立．
7．(2010·某某某某)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分别是棱AA1、CC1的中点，则过点B、P、Q的截面是( )
A．邻边不等的平行四边形
B．菱形但不是正方形
C．邻边不等的矩形
D．正方形
[答案] B
[解析] 设正方体棱长为1，连结D1P，D1Q，则易得PB＝PQ＝D1P＝D1Q＝
5
2
，取D1D的中
点M，则D1P綊AM綊BQ，故截面为四边形PBQD1，它是一个菱形，又PQ＝AC＝2，∴∠PBQ 不是直角，故选B.
8．(文)(2010·某某日照、聊城模考)已知直线l、m，平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β；
其中真命题是( )
A．①②B．①③
C．①④D．②④
[答案] C
[解析]
[点评] 如图，α∩β＝m，则l⊥m，故(2)假；在上述图形中，当α⊥β时，知③假．
(理)(2010·某某某某市)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是( ) A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m⊂α，n∥α，则m∥n
[答案] D
[解析] 正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.
∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，
∵m⊂α，∴α∩β＝m，
∵n∥α，∴n∥m，故D正确．
9．(文)(2010·顺义一中月考)已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，α∥β，则l∥β
[答案] C
[解析] 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ABD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；
又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.
(理)(2010·某某罗湖区调研)已知相异直线a，b和不重合平面α，β，则a∥b的一个充分条件是( )
A．a∥α，b∥α
B．a∥α，b∥β，α∥β
C．a⊥α，b⊥β，α∥β
D．α⊥β，a⊥α，b∥β
[答案] C
[解析] a∥α，b∥α时，a与b可相交可异面也可平行，故A错；a∥α，b∥β，α∥β时，a与b可异面，故B错；由α⊥β，a⊥α得，a∥β或a⊂β，又b∥β，此时a
与b 可平行也可异面，排除D.
10．(2010·日照实验高中)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，且始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )
[答案] C
[解析] 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN ，则平面MEN ∥平面DCC 1D 1，所以BN ＝AE ＝x (0≤x <1)，
ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，
则y 2
＝4x 2
＋1，y 2
－4x 2
＝1(0≤x <1，y >0)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．故选C.
二、填空题
11．(文)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
[答案] M ∈线段FH
[解析] 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，又平面NHF ∩平面EFGH ＝
FH .故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面B 1BDD 1，故填M ∈线段FH .
(理)(2010·某某市模拟)已知两异面直线a ，b 所成的角为π
3，直线l 分别与a ，b 所成
的角都是θ，则θ的取值X 围是________．
[答案] [π6，π
2
]
12．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．
[答案] 面ABC 和面ABD
[解析] 连结AM 并延长交CD 于点E ，
∵M 为△ACD 的重心，∴E 为CD 的中点， 又N 为△BCD 的重心，∴B 、N 、E 三点共线， 由
EM MA ＝EN NB ＝1
2
得MN ∥AB ， 因此MN ∥平面ABC ，MN ∥平面ABD .
13．如图是一正方体的表面展开图，B 、N 、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中， ①AB 与CD 相交；②MN ∥PQ ；③AB ∥PE ；④MN 与CD 异面；⑤MN ∥平面PQC . 其中真命题的序号是________．
[答案] ①②④⑤
[解析] 将正方体还原后如图，则N 与B 重合，A 与C 重合，E 与D 重合，∴①、②、④、⑤为真命题．
14．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a
3
，过B 1，
D 1，P 的平面交底面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝________.
[答案]
22
3
a [解析] ∵B 1D 1∥平面ABCD ，平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，∴B 1D 1∥PQ ， 又B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ，
设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ，∴△APM ∽△DPQ ，
∴
PQ PM ＝PD
AP
＝2，即PQ ＝2PM ， 又△APM ∽△ADP ，∴PM BD ＝AP AD ＝13，∴PM ＝1
3
BD ，
又BD ＝2a ，∴PQ ＝22
3a .
三、解答题
15．(文)(2010·某某调研)如图，在四棱锥E －ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BE ＝EC ，AE ⊥BE ，M 为CE 上一点，且
BM ⊥平面ACE .
(1)求证：AE ⊥BC ；
(2)如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE . [解析] (1)因为BM ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，所以BM ⊥AE . 因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM ⊂平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC . 因为BC ⊂平面EBC ，所以AE ⊥BC . (2)解法1：取DE 中点H ，连接MH 、AH .
因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点． 所以MH 为△EDC 的中位线，所以MH 綊1
2DC .
因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC 綊AB . 故MH 綊1
2
AB .
因为N 为AB 的中点，所以MH 綊AN .
所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH . 因为MN ⊄平面ADE ，AH ⊂平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE .
解法2：取EB 的中点F ，连接MF 、NF .
因为BM ⊥平面ACE ，EC ⊂平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ，所以M 为CE 的中点，所以MF ∥BC .
因为N 为AB 的中点，所以NF ∥AE ， 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AD ∥BC .所以MF ∥AD .
因为NF 、MF ⊄平面ADE ，AD 、AE ⊂平面ADE ， 所以NF ∥平面ADE ，MF ∥平面ADE . 因为MF ∩NF ＝F ，MF 、NF ⊂平面MNF ， 所以平面MNF ∥平面ADE .
因为MN ⊂平面MNF ，所以MN ∥平面ADE .
(理)(2010·某某市质检)如图所示的几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2，CD ＝1，F 为BE 的中点．
(1)若点G 在AB 上，试确定G 点位置，使FG ∥平面ADE ，并加以证明；
(2)在(1)的条件下，求三棱锥D －ABF 的体积． [解析] (1)当G 是AB 的中点时，GF ∥平面ADE . ∵G 是AB 的中点，F 是BE 的中点， ∴GF ∥AE ，
又GF ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴GF ∥平面ADE . (2)连接CG ，由(1)可知：
GF ∥AE ，且GF ＝12
AE .
又AE ⊥平面ABC ，CD ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE ， 又CD ＝1
2AE ，∴GF ∥CD ，GF ＝CD ，
∴四边形CDFG 为平行四边形， ∴DF ∥CG ，且DF ＝CG .
又∵AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AE ⊥CG . ∵△ABC 为正三角形，G 为AB 的中点， ∴CG ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴CG ⊥平面ABE . 又CG ∥DF ，且CG ＝DF ，
∴DF 为三棱锥D －ABF 的高，且DF ＝ 3. 又AE ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴AE ⊥AB . ∵在Rt △ABE 中，AB ＝AE ＝2，F 为BE 的中点，
∴S △ABF ＝12S △ABE ＝12×1
2×2×2＝1.
∴V D －ABF ＝13S △ABF ·DF ＝13×1×3＝3
3，
∴三棱锥D －ABF 的体积为
3
3
. 16．(文)(2010·某某某某质检)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形
ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12
CD .
(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；
(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由． [解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，
BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，
又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ， ∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合． 取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ， ∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1，
又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，∴EF ∥AB ， ∴F 为PB 的中点，∴NF ＝1
2OB ＝1，∴EF ＝2，
又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，
∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，
∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可．
(理)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面正方形的中心，过A 1、C 1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD －A 1C 1D 1及其三视图．
(1)求证：D1O∥平面A1BC1；
(2)是否存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q？若存在，求出线段PQ的长；若不存在，请说明理由．
[分析] 要证D1O∥平面A1BC1，∵O为DB的中点，∴取A1C1中点E，只须证D1E綊OB，或利用长方体为正四棱柱的特性，证明平面ACD1∥平面A1C1B，假设存在平面A1PQ⊥DC1，利用正四棱柱中，BC⊥平面DCC1D1，故有BC⊥DC1，从而平面A1PQ与平面BCC1的交线PQ⊥DC1，故只须在面DCC1D1的边CC1上寻找点Q，使D1Q⊥DC1即可．
[解析] (1)连接AC，AD1，D1C，易知点O在AC上．
根据长方体的性质得四边形ABC1D1、四边形A1D1CB均为平行四边形，
∴AD1∥BC1，A1B∥D1C，
又∵AD1⊄平面A1C1B，BC1⊂平面A1C1B，∴AD1∥平面A1C1B，
同理D1C∥平面A1BC1，
又∵D1C∩AD1＝D1，
∴根据面面平行的判定定理知平面ACD1∥平面A1BC1.
∵D1O⊂平面ACD1，∴D1O∥平面A1BC1.
(2)假设存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.
连接C1D，过点D1作C1D的垂线交C1C于点Q，过点Q作PQ∥BC
交BC1于点P，连接A1P，A1Q.
∵C1D⊥D1Q，C1D⊥A1D1，D1Q∩A1D1＝D1，
∴C1D⊥平面A1D1Q.
∵A1Q⊂平面A1D1Q，∴C1D⊥A1Q.
∵PQ∥BC∥A1D1，∴C1D⊥PQ，
∵A1Q∩PQ＝Q，∴C1D⊥平面A1PQ.
∴存在过点A1与直线DC1垂直的平面A1PQ，与线段BC1交于点P，与线段CC1交于点Q.
在矩形CDD1C1中，∵Rt△D1C1Q∽Rt△C1CD，
∴C1Q
CD
＝
D1C1
C1C
，结合三视图得
C1Q
2
＝
2
4
，∴C1Q＝1.
∵PQ ∥BC ，∴PQ BC ＝C 1Q CC 1＝14，∴PQ ＝14BC ＝12
. 17．(文)(2010·东北师大附中)如图所示，在棱长为2的正方
体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．
(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1；
(2)求证：EF ⊥B 1C ；
(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．
[解析] (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，
DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，
∴EF ∥平面ABC 1D 1.
(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，
∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，
又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1，
又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .
(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1，
即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝ 2
∵EF ＝12
BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝22＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋22
2＝3， ∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°，
∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13
·S △B 1EF ·CF ＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12
×3×6×2＝1. (理)(2010·某某某某)如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱VA ⊥底面ABCD ，E 、F 、G 分别为VA 、VB 、BC 的中点．
(1)求证：平面EFG ∥平面VCD ；
(2)当二面角V －BC －A 、V －DC －A 依次为45°、30°时，求直线VB 与平面EFG 所成的角．
[解析] (1)∵E 、F 、G 分别为VA 、VB 、BC 的中点，
∴EF∥AB，FG∥VC，
又ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥CD，
又∵EF⊄平面VCD，FG⊄平面VCD，
∴EF∥平面VCD，FG∥平面VCD，
又EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面VCD.
(2)∵VA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥VD.
则∠VDA为二面角V－DC－A的平面角，
∴∠VDA＝30°.同理∠VBA＝45°.
作AH⊥VD，垂足为H，由上可知CD⊥平面VAD，则AH⊥平面VCD.
∵AB∥平面VCD，∴AH即为B到平面VCD的距离．
由(1)知，平面EFG∥平面VCD，则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD 所成的角，记这个角为θ.
∵AH＝VA sin60°＝
3
2
VA，VB＝2VA，∴sinθ＝
AH
VB
＝
6
4
，
故直线VB与平面EFG所成的角是arcsin
6
4
.。